|| 量子力学の根拠になってる保存則っぽい式
実態は「よく分かんないけど正しい式」です。
『意味を与えられた』結果、使える感じに。
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目次
シュレーディンガー方程式「最も分かりやすい基礎方程式」
ハミルトニアン「位置と運動量を変数に持つ関数」
基礎方程式「量子力学の根拠になる式」
シュレーディンガー方程式の導出「波動方程式に E を代入」
時間依存の方程式「時間の変数がある場合」
ボルンの規則の導出「波動関数に求められる性質」
意味「無意味な式に意味を見出す」
エネルギー「エネルギーの式にしてみる」
波形「波の形を全部表せるようにしたい」
期待値「期待値を導くってことにしてみる」
確率「期待値を導くなら確率も導けるはず」
シュレーディンガー方程式「方程式の本来の形」
無限井戸型ポテンシャル「最も単純な状況」
一般解「波動関数を大雑把に決める」
連続性「波動関数は連続関数」
境界「ポテンシャルの境界で絞り込み」
規格化「ボルンの規則の適用」
解「シュレーディンガー方程式の解」
シュレーディンガー方程式
|| 量子力学の基礎方程式の中で一番わかりやすいやつ
「発想」は別にして、これは数式的には出発点ですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle -\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}&=\displaystyle\frac{p^2}{2m} \\ \\ \displaystyle \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{p^2}{2m}&\displaystyle U(x)\end{pmatrix}&=\displaystyle \hat{H} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{p^2}{2m}\psi(x)+U(x)\psi(x)&=E\psi(x) \\ \\ \hat{H}\psi(x)&=E\psi(x) \\ \\ \\ \psi^*(x)\hat{H}\psi(x)&=\psi^*(x)E\psi(x) \\ \\ \psi^*(x)\hat{H}\psi(x)&=E\psi^*(x)\psi(x) \end{array}
こんなのなんですけど、
このように書かれ方自体はいろいろあって、
なにを基準に置くかで書き方は変化します。
具体的には、「発想」基準だと、
『波動方程式から導かれた』ことを強調して、
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{p^2}{2m}\psi(x)+U(x)\psi(x)&=E\psi(x) \end{array}
このように書かれますね。
「意味」基準であれば、
『期待値を算出するようにする』ことを強調して、
\begin{array}{rlc} \psi^*(x)\hat{H}\psi(x)&=\psi^*(x)E\psi(x) \\ \\ \psi^*(x)\hat{H}\psi(x)&=E\psi^*(x)\psi(x) \end{array}
このように書かれます。
だいたいこの二つが基本形になってまして、
他の書き方はこれの派生と考えて特に問題は無いです。
例えば「時間」を考慮する場合だと
\begin{array}{rlc} \displaystyle \hat{H}\psi(x,t)&\displaystyle =iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(x,t) \end{array}
このように書かれますが、
これの雛型も基本形です。
基本形とは違う形ですが、
式変形して整理するとこうなります。
この辺り、詳しくは後で話します。
今はとりあえず、こういう感じ、
くらいに思っておけば大丈夫です。
ハミルトニアン
|| 位置と運動量で書ける関数の一般化
これは『位置・運動量を変数に持つ関数』のことで、
「エネルギー全体の値」とかを表す時に使われます。
主な役割は「定義」と「省略」ですね。
具体的には、
「エネルギー」っていう基本的な単位とかを、
『運動』『位置』だけで定義する、みたいな。
\begin{array}{rlc} \displaystyle H&=E_{\mathrm{total}} \\ \\ &=E_{\mathrm{kinetic}}+E_{\mathrm{potential}} \\ \\ &\displaystyle =\frac{1}{2}mv^2+mgx \\ \\ &\displaystyle =\frac{p^2}{2m}+mgx \\ \\ \\ \displaystyle H&=H(x,p) \\ \\ &=T+V \\ \\ &\displaystyle =\frac{p^2}{2m}+U(x) \end{array}
この「 H 」がハミルトニアンって呼ばれてます。
他の記号は慣例でして、
T は運動エネルギーを。
V は位置エネルギーを表しています。
V はポテンシャルって呼ばれることが多いですね。
特に深い理由はありませんけど、
こっちで書かれてる場合が多め。
ただまあ、 T+V の形じゃ
なんかよく分からんと思うので、
とりあえず見慣れた形を↓に書いときます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle H &\displaystyle =\frac{1}{2m}p^2+mgx \\ \\ &\displaystyle =\frac{1}{2}mv^2+mgx \end{array}
これは学校で習った物理でみかけるやつですね。
エネルギー保存の法則ってやつです。
一次元より上の次元の場合
↑のは「点」での話なので、
一応、「平面・立体」の場合も書いておきます。
まあ、そんな難しい話じゃありません。
『向き（ベクトル）』を考慮するだけですので。
\begin{array}{rlc} q&=\begin{pmatrix} x&y \end{pmatrix} \\ \\ p&\displaystyle =m\frac{dq}{dt} \\ \\ &\displaystyle = m\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial q}{\partial x}\frac{dx}{dt}&\displaystyle\frac{\partial q}{\partial y}\frac{dy}{dt} \end{pmatrix} \\ \\ \\ \displaystyle H(p,q)&\displaystyle =\frac{p・p}{2m}+V(q) \\ \\ &\displaystyle =\frac{1}{2m}\begin{pmatrix} \displaystyle\left(\frac{\partial q}{\partial x}\frac{dx}{dt}\right)^2+\displaystyle\left(\frac{\partial q}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right)^2 \end{pmatrix}+V\begin{pmatrix} x&y \end{pmatrix} \end{array}
記号は慣例ですね。
q は位置を表すベクトルで、
p は運動量 mv を表すベクトルです。
ベクトルの中身は、
「位置」の場合だと (x,y) とか、
三次元の場合なら (x,y,z) とかになります。
運動量はちょっと特殊で、
例えば↓みたいに書かれることがあります。
\begin{array}{rlc} \displaystyle p&\displaystyle =iℏ\frac{d}{dq} \\ \\ \displaystyle H(p,q)\psi(q)&\displaystyle =\frac{1}{2m}\left(i^2ℏ^2\frac{d^2}{dq^2}\psi(q) \right)+V(q)\psi(q) \end{array}
これは「運動量演算子」の表示ですね。
これを使うと『変数を位置 q に限定』できます。
はい、とまあこんな感じで、
ハミルトニアンはこういう時に使われます。
使い道は主に「省略」です。
これ自体に意味は特にありません。
基礎方程式
|| 粒子のエネルギーから量子のエネルギーへ
これは『量子力学の数式的な基礎』ですね。
\begin{array}{rlc} E\psi(x)&=\displaystyle \hat{H}\psi(x) \\ \\ \psi^*(x)E\psi(x)&=\displaystyle \psi^*(x)\hat{H}\psi(x) \\ \\ \psi^*(x)E\psi(x)&=\displaystyle \psi^*(x)\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{(iℏ)^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}&U(x) \end{pmatrix}\psi(x) \end{array}
現代では『量子の変化』についての根拠になってます。
これは厳密には
『古典力学のエネルギーの法則を拡張したもの』で、
具体的には「波動の式で粒子を考える」ことで、
『量子のエネルギーについての関係』
というのを考えた結果が↑なんですよ。
バリエーション自体は３つあって、
『ハイゼンベルグの運動方程式』とか、
『相互作用描像』とかがあります。
『シュレーディンガー方程式』は
あくまで「基礎方程式の一つ」です。
時間変化での記述の違い
基礎方程式というのは、
『時間』を考える部分で分岐しています。
具体的には、
↓みたいな数式はどれも基礎方程式なんですが、
\begin{array}{rlc} \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(x,t)&\displaystyle =\hat{H}\psi(x,t) \\ \\ \displaystyle iℏ\frac{d}{dt}A(t)&\displaystyle =\left[ \hat{A}(t),\hat{H}(t) \right] \end{array}
『時間が固定されてる部分』ってのが違うんですよ。
例えばシュレーディンガー方程式なら、
観測可能量（？） A が固定されてます。
って言われてもよく分かんないと思うので、
ちょっとだけ説明しておきますね。
\psi(x,t) を波動関数、
t を時間とし、
\hat{A} を観測可能量（物理量）とします。
\begin{array}{rlc} \psi(t)&=e^{ i\frac{\hat{H}}{ℏ}(t-t_0)} \\ \\ \hat{A}(t)&=\psi^*(t)\hat{A}\psi(t) \\ \\ \\ \displaystyle \langle A \rangle &\displaystyle =\displaystyle \langle \psi(t)|\hat{A}|\psi(t) \rangle \\ \\ &= \displaystyle \langle \psi(t_0)|\hat{A}(t)|\psi(t_0) \rangle \\ \\ \\ \displaystyle \hat{H}(t)\psi(t) &= \displaystyle \psi^*(t)\hat{H}\psi(t)\,\psi(t) \\ \\ &= \displaystyle \psi^*(t)E\psi(t)\,\psi(t) \\ \\ &=\hat{H}\psi(t) \end{array}
観測可能量とかはこんな感じなんですけど、
この辺りはとりあえず後回し。詳しくは後で。
今はとりあえず、
A を『物理量』だと思っておいてください。
シュレーディンガー方程式の導出
『物質波』は覚えているでしょうか。
\begin{array}{rlc} \displaystyle E&=mc^2 &=hν \\ \\ \\ p&=mc &\displaystyle =\frac{hν}{c} \\ \\ &&\displaystyle =\frac{h}{λ} \end{array}
「電子もまた波である」って感じの話なんですけど、
実はこの話から、基礎方程式は予想されるんですよ。
というのも、「物質」を『定常波』だと考えて、
「定常波の波動方程式」を考えてみるんです。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{2π}{λ}&=k \\ \\ \displaystyle k^2\psi(x)+\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \end{array}
「時間に依存しない式」として
こんなのが導かれたのを覚えてませんか？
で、これを式変形していくわけなんですが、
ここで『物質波』の式を使うと、
\begin{array}{rlc} p&\displaystyle =\frac{h}{λ} \\ \\ \displaystyle λ&\displaystyle =\frac{h}{p} \\ \\ \\ k&\displaystyle = \frac{2π}{λ} \\ \\ &\displaystyle =2π\frac{1}{\frac{h}{p}} &\displaystyle =2π\frac{p}{h} \\ \\ &\displaystyle = \frac{p}{ℏ} &\displaystyle \left( ℏ=\frac{h}{2π} \right) \end{array}
このように k を書き換えることができて、
\begin{array}{rlc} \displaystyle k^2\psi(x)+\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \\ \\ \displaystyle \frac{p^2}{ℏ^2}\psi(x)+\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \end{array}
こんな感じに、
『運動量』を「変数」として、
式に組み込むことができます。
ただこの式、どんな「意味」があるんでしょうか？
見た目、なにを表したいのかまったく分かりません。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{p^2}{ℏ^2}\psi(x)+\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \end{array}
てなわけで、この意味不明をどうにかするために、
とりあえず「エネルギー」を変数に加えてみます。
なんでそうするかについては、
一言で言うなら「単位合わせをしたい」って感じ。
\begin{array}{rlc} \displaystyle Eχ&=α \\ \\ E&=β \end{array}
「式の最終形・単位」を『エネルギー』で揃えて、
そこから「意味」を考えてみる、みたいな。
そういう流れで式の意味を考えていきます。
じゃあそのために具体的にどうすればいいのか。
それを考えてみると、
『運動量とエネルギーを変数に持つ式』
というのが必要なことがなんとなく分かりませんか？
「運動量を変数に持つ式」を
「エネルギーの式」にしたいので。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{orange}{E}&\displaystyle =\textcolor{pink}{\frac{p^2}{2m}}+\textcolor{skyblue}{U(x)} \end{array}
となると、例えば『エネルギー保存の法則』とか、
こういうのが候補にきますよね。
でまあ、こいつはかなり有名ですし、
扱いやすい上に応用範囲も広いですから、
「要求を満たすもの」として非常に最適。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{orange}{E}&\displaystyle =\textcolor{pink}{\frac{p^2}{2m}}+\textcolor{skyblue}{U(x)} \\ \\ E-U(x)&\displaystyle =\frac{p^2}{2m} \\ \\ \\ \displaystyle p^2&\displaystyle =2m(E-U(x)) \end{array}
なので採用し、
式変形のためにこのように変形して、
「運動量の式」から『エネルギーの式』へ変形。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{p^2}{ℏ^2}\psi(x)+\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \\ \\ \displaystyle \frac{2m(E-U(x))}{ℏ^2}\psi(x)+\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \end{array}
ここまで来れば、
後は単純な式変形をするだけですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{2m(E-U(x))}{ℏ^2}\psi(x)+\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \\ \\ \displaystyle (E-U(x))\psi(x)+\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \\ \\ \displaystyle E\psi(x)-U(x)\psi(x)+\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \end{array}
\begin{array}{llll} \displaystyle \textcolor{orange}{E}&=&\displaystyle \textcolor{pink}{\frac{p^2}{2m}}&\displaystyle +\textcolor{skyblue}{U(x)} \\ \\ \displaystyle \textcolor{orange}{E}\psi(x)&=&\displaystyle \textcolor{pink}{-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2 }{d x^2}}\psi(x)&\displaystyle +\textcolor{skyblue}{U(x)}\psi(x) \end{array}
するとまあこんな感じに、
『なんかいい感じの式』が得られます。
結論から言うと、
これが「シュレーディンガー方程式」です。
厳密にはまだ違うんですが、
それは「仮説」か「実証済み」かの差なので、
式の見た目だけではわかりません。
というのも、
これは『数式上は正しい』もので、
「エネルギー」を基準にして求められただけ。
分かってるのはただそれだけで、
他のことはなーんにも分かりません。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{orange}{E}\psi(x)&=\displaystyle \textcolor{pink}{-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2 }{d x^2}}\psi(x)\displaystyle +\textcolor{skyblue}{U(x)}\psi(x) \end{array}
「エネルギーの式っぽい」けど、
そもそも、なにを求めたいのか。
どういう意味を持つ式なのか。
この段階では、まだ何も分かんないんですよ。
『エネルギーの平均を導く式』っていう
「計算結果についての意味」を持つ、
というのは何度か言っていますが、
これは後付けされたもの。
結果的にそうなっただけで、
式だけ眺めていても決して分かりません。
詳しくは後で話しますが、簡単に言うと、
実はこの式が導く「解のほとんど」は、
特に意味を持たないんです。
というのも、範囲があまりにも広すぎるんですよ。
宇宙の中で人が住める星を探すような、
なんかそんな感覚の式なんです、これ。
なのでその範囲を狭める操作が必要で、
そのアプローチの１つとして、
『意味のある計算結果』を導くとする
という方針・ルールが採用され、
結果「エネルギーの平均を導く」と、
そうなって、初めて意味を持ったんです。
そしてそんな感じのあれこれは、
この式単体を眺めていても分かりません。
まあですから、↑はまだ未完成なんです
詳しくは↓で。
とりあえず、ここではなんとなく分かればOK。
物理量演算子
運動量演算子とかエネルギー演算子とか、
この辺りの用語について解説しておきます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \hat{p}&\displaystyle =iℏ\frac{d}{dx} \\ \\ \hat{H}&\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{2m}(iℏ)^2\frac{d^2}{dx^2}&\displaystyle U(x) \end{pmatrix} \end{array}
結論を言っておくと、
これらの根拠は「シュレーディンガー方程式」です。
まあ、これはほんとそのままですね。
↓を見れば、まあそりゃそうだと思えるかと。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{p^2}{ℏ^2}\psi(x)+\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}&=0 \\ \\ \displaystyle \frac{p^2}{ℏ^2}\psi(x)&\displaystyle =-\frac{d^2 }{d x^2}\psi(x) \\ \\ \displaystyle p^2\psi(x)&\displaystyle =-ℏ^2\frac{d^2 }{d x^2}\psi(x) \\ \\ \\ \displaystyle \hat{p}(\hat{p}\psi(x))&\displaystyle =iℏ\frac{d}{d x}\left(iℏ\frac{d}{d x}\psi(x)\right) \\ \\ \displaystyle \hat{p}\psi(x)&\displaystyle =iℏ\frac{d}{d x}\psi(x) \\ \\ \\ \displaystyle \hat{p}&\displaystyle =iℏ\frac{d}{d x} \end{array}
運動量演算子はこんな感じですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{orange}{E}\psi(x)&\displaystyle =\textcolor{pink}{-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2 }{d x^2}}\psi(x)+\textcolor{skyblue}{U(x)}\psi(x) \\ \\ \displaystyle \hat{H}\psi(x)&\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2 }{d x^2} & U(x) \end{pmatrix}\psi(x) \\ \\ \\ \displaystyle \hat{H}&\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2 }{d x^2} & U(x) \end{pmatrix} \end{array}
エネルギー演算子はそのままこんな感じです。
単にベクトルで表現してるだけ。
３次元への拡張
この形で書かれることも多いので、
念のため、紹介しておきます。
やることは「運動量 p 」を考えて、
3次元のベクトルを考えるだけですね。
\begin{array}{rlc} q&=\begin{pmatrix} x&y&z \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle p&\displaystyle =iℏ\frac{d}{dq} \\ \\ \displaystyle p&\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial x}&\displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial y}&\displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \end{array}
これを使って基礎方程式を書くと、
↓みたいな形に。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \psi(q)&\displaystyle =\psi(x,y,z) \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{orange}{E}\psi(q)&\displaystyle =\frac{1}{2m}\textcolor{pink}{(iℏ)^2\frac{d^2 }{d q^2}}\psi(q)+\textcolor{skyblue}{U(q)}\psi(q) \\ \\ \displaystyle \textcolor{orange}{E}\psi(q)&\displaystyle =\frac{1}{2m}\textcolor{pink}{(iℏ)^2\left(\frac{\partial ^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \right)}\psi(q)+\textcolor{skyblue}{U(q)}\psi(q) \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \Delta&=\nabla・\nabla \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial ^2 }{\partial x^2} & \displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial y^2} & \displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \end{pmatrix} \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \textcolor{orange}{E}\psi(q)&\displaystyle =\textcolor{pink}{-\frac{ℏ^2}{2m}\Delta}\psi(q)+\textcolor{skyblue}{U(q)}\psi(q) \end{array}
この辺は「偏微分」のあれですね。
座標を追っていけば言ってることは分かると思います。
んでこの場合、演算子は↓に。
\begin{array}{rlc} \displaystyle\hat{p}&\displaystyle =iℏ\frac{d}{d q} \\ \\ \displaystyle \hat{p}&\displaystyle =iℏ\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =iℏ\nabla \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \hat{H}&\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2 }{d q^2} & U(q) \end{pmatrix} \\ \\ \displaystyle \hat{H}&\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle -\frac{ℏ^2}{2m}\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial^2 }{\partial x^2} &\displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial y^2} &\displaystyle\frac{\partial^2 }{\partial z^2} \end{pmatrix} & U(q) \end{pmatrix} \\ \\ &\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle -\frac{ℏ^2}{2m}\Delta & U(q) \end{pmatrix} \end{array}
一般化しようと思ったらキリがないですが、
３次元の場合だとこんな感じになります。
１次元以上で話をすることは多いので、
基本的にこっちを使うと思っておいてください。
時間依存のシュレーディンガー方程式
↑では「定常波」で求めてみましたが、
実は『全ての波』に範囲を広げても、
シュレーディンガー方程式は導くことができます。
さっそく計算してみましょうか。
「波動方程式」「光量子仮説」「物質波」を使います。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =-ω^2 \psi(q,t) \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial q^2}&\displaystyle =-k^2\psi(q,t) \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle E&=mc^2&=hν \\ \\ p&=mc&\displaystyle=\frac{hν}{c} \\ \\ \displaystyle λ&\displaystyle =\frac{h}{p} \end{array}
流れは定常波の時とだいたい同じです。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t)&\displaystyle =r\,e^{i(ωt-kq)} \\ \\ \displaystyle \psi(q,t)&\displaystyle =r\,e^{iωt}e^{i(-kq)} \end{array}
違うとすればこの部分ですね。
ここで「時間変化を除ける定常波」ではなく、
『全ての波』を考えます。
\begin{array}{rll} \displaystyle ℏ&\displaystyle =\frac{h}{2π} \\ \\ k&\displaystyle =\frac{2π}{λ}&\displaystyle =2π\frac{1}{\frac{h}{p}} \\ \\ &\displaystyle =2π\frac{p}{h}&\displaystyle =\frac{p}{ℏ} \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle ν&\displaystyle =\frac{ω}{2π} \\ \\ E& = \displaystyle hν&\displaystyle =h\frac{ω}{2π} \\ \\ \\ \displaystyle ω&\displaystyle =\frac{E}{ℏ} \end{array}
変数も、角速度 ω を考える部分は違いますね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial q^2}&\displaystyle =-k^2\psi(q,t) \\ \\ &\displaystyle =-\frac{p^2}{ℏ^2}\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2}&\displaystyle =-ω^2\psi(x,t) \\ \\ &\displaystyle =-\frac{E^2}{ℏ^2}\psi(q,t) \end{array}
以上、材料は揃いました。
後は式変形して整理してみます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle -\frac{p^2}{ℏ^2}\psi(q,t)&\displaystyle =\frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial q^2} \\ \\ \displaystyle p^2\psi(q,t)&\displaystyle =-ℏ^2\frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial q^2} \\ \\ \displaystyle p(p\psi(q,t))&\displaystyle =iℏ\frac{\partial }{\partial q}\left(iℏ\frac{\partial }{\partial q}\psi(q,t)\right) \end{array}
運動量はこう。
\begin{array}{rlc} \displaystyle -\frac{E^2}{ℏ^2}\psi(q,t)&\displaystyle =\frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2} \\ \\ \displaystyle E^2\psi(q,t)&\displaystyle =-ℏ^2\frac{\partial^2 \psi(q,t)}{\partial t^2} \\ \\ \displaystyle E(E\psi(q,t))&\displaystyle =iℏ\frac{\partial }{\partial t}\left(iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)\right)\end{array}
角速度はこうで、
\begin{array}{rlc} \displaystyle p\psi(q,t)&\displaystyle =iℏ\frac{\partial }{\partial q}\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle \hat{p}&\displaystyle =iℏ\frac{\partial }{\partial q} \\ \\ \\ \displaystyle E\psi(q,t)&\displaystyle =iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t) \end{array}
まとめるとこうですから、
基礎方程式は↓みたいに。
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\psi(q,t)&\displaystyle =iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle \hat{H}\psi(q,t)&\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{p^2}{2m} & U(q) \end{pmatrix}\psi(q,t) \\ \\ \\ \displaystyle \hat{H}\psi(q,t)&\displaystyle =\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{2m}(iℏ)^2\frac{\partial^2 }{\partial q^2} & U(q) \end{pmatrix}\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle \hat{H}\psi(q,t)&\displaystyle = -\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,t) + U(q)\psi(q,t) \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\psi(q,t)&\displaystyle =\hat{H}\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,t) + U(q)\psi(q,t) \end{array}
はい、ちゃんと良い感じの式が導けましたね。
E の部分には違いがありますが。
導出の時点では
これはまだ仮説の段階です。
ただまあ、すでに昔の人がいろいろ調べていて、
これが正しい計算結果を導くことは判明しています。
確認しておくと、
順序は『仮説』→『実証』→『正しい』です。
導出の段階は『仮説』の段階になります。
ボルンの規則の導出
これは「式の意味」を考える過程で、
『必要になる性質』として導かれたルールです。
\begin{array}{rlc} \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,t) + U(q)\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle E\psi(x,t)&=\hat{H}\psi(x,t) \\ \\ \displaystyle E\psi&=\hat{H}\psi \end{array}
そもそもこれが何を求めたいのか。
この式だけを見ても意味分かんないですよね。
波動関数 \psi が『波を表してる』として、
だからなに？ って話じゃないですか。
せっかく『粒子の性質』を
『波の式で表すことができた』のに、
肝心の式自体が意味不明。
式から算出される値にしても、
E\psi(x,t)
これは「複素数全体」を表しているだけで、
特に意味のある値を導くわけではありません。
まあつまるところ、
これには『特に意味はない』わけで、
なんか複素数の値になる、ってことが分かるだけ。
すごく味気無いです。
せっかく良い感じの式が得られたのに、
それには特に意味が無いってのは、なんか・・・
とまあそういうわけなので、
どうにか『意味を与える』ために、
どうにかしてみよう！
とまあそんな感じで、
昔の人は知恵を振り絞ったわけですね。
意味を与える
基本に立ち返って考えてみましょうか。
まず事実を確認してみます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,t) + U(q)\psi(q,t) \end{array}
↑は「エネルギーについての式っぽい式」です。
加えて各変数には、とれる値の制限がありません。
特に \psi(q,t) は全ての複素数になり得るので、
なんの値でもとれてしまいます。
つまり方程式として解く場合、
位置・時間のどちらを固定しても、
\psi(q,t) の値の範囲を制限できないんです。
\begin{array}{rlcc} \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,t) + U(q)\psi(q,t) \\ \\ \psi(q,t)&=\textcolor{pink}{r}\,e^{iωt}\,e^{-ikq} \\ \\ \\ \\ t=c \\ \\ \\ 0&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,c) + U(q)\psi(q,c) \\ \\ \psi(q,c)&\displaystyle =\frac{1}{U(a)}\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,c) \\ \\ \\ \\ q=a \\ \\ \\ \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(a,t)&\displaystyle =0 + U(a)\psi(a,t) \\ \\ \psi(a,t)&\displaystyle =\frac{1}{U(a)}iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(a,t) \end{array}
\psi(q,c) も \psi(a,t) も、
任意の実数を表す r がある限り、
値がとれる範囲は複素数全体のまま。
変数を両方とも固定してしまう
というのも考えられますが、
\begin{array}{rlc} \displaystyle 0&=0+U(a)\psi(a,c) \\ \\ U(a)\psi(a,c)&=0 \end{array}
そうすると、単なる定数の等式になるだけ。
意味のある解は導けません。
どこかを固定するしかない
「どこかを固定」しないことには
『意味のある計算結果』を導けそうにありません。
\begin{array}{rlc} \psi(q,t)&=\textcolor{pink}{r}\,e^{iωt}\,e^{-ikq} \end{array}
それが事実から分かったことで、
特に任意の実数 r がすごく邪魔な気がします。
結論から言っておくと、
『意味を与えるため』に、
この任意の実数 r を制限します。
具体的には、
『エネルギーの期待値 \overline{E} を導くことにする』ために、
『 \psi をどうにかして 1 にする』ことによって。
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\,χ(\psi)&=\overline{E} \\ \\ \displaystyle χ(\psi)&=1 \\ \\ \\ \displaystyle E\int\psi^{*}(q)\psi(q)\,dq&=\overline{E} \\ \\ \displaystyle\int\psi^{*}(q)\psi(q)\,dq&=1 \end{array}
式としてはこんな感じですね。
なんで↑にするかは後で話すとして、
このように「波動関数の役割」っていうのを、
『確率に関連するものに限定する』ことで、
任意の実数 r の値を制限します。
これはもちろん
↓以外の方法でも良いかもしれません。
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\int\psi^{*}(q)\psi(q)\,dq&=\overline{E} \\ \\ \displaystyle\int\psi^{*}(q)\psi(q)\,dq&=1 \end{array}
なにせ実際のところ、
「波動関数の絶対値の２乗を 1 にする」以外にも、
r を制限する方法はいくらでも思い付きます。
ただ、これ以外の方法には
『意味を与える指針』ってのがありません。
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\int\psi^{*}(q)\psi(q)\,dq&=\overline{E} \\ \\ \displaystyle\int\psi^{*}(q)\psi(q)\,dq&=1 \end{array}
というのも↑のやり方は、
『エネルギーを導くことにする』というような
分かりやすい指針を持っています。
しかしぱっと浮かんだものはどうでしょうか？
そういう「指針」はありますか？
無いですよね。
まあ、要はそんな感じで、
\displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)=-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,t) + U(q)\psi(q,t)
目的をあくまで『意味を与えること』とするなら、
ただ r を制限するだけのルールに意味は無いんです。
なので r を制限するやり方には、
そういう「意味を与える指針」が必要になります。
とまあこの辺りの話はこんな感じなので、
ここからは『 r を制限する理由』について、
その目的を考えつつ見ていこうと思います。
まあ結論としては↓になるんですが、
\begin{array}{rlc} \displaystyle χ(\psi)&\displaystyle =\int_{\mathrm{all}}\psi^*(q,t)\psi(q,t)\,dq \\ \\ & =1 \end{array}
この『意味のある値を導ける条件』を
どのようにして見つけるのか。
このあたりがよく分かんないと思うので、
↓で説明していきます。
量子のエネルギーを表したい
『式への意味付け』は当然大事なんですけど、
『複素数の意味付け』も実は大事です。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t)&=r\,e^{i(ωt-kq)} \\ \\ z&=r\,e^{iθ} \\ \\ &=r\,(\cosθ +i\sin θ) \end{array}
無意味になる原因となってるのは、
複素数全体を表してしまうこれ。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t)&=r\,e^{i(ωt-kq)} \end{array}
確認しておくと、
変数 q,t がなんの値をとったとしても、
任意の実数 r が、値の範囲を全体に広げます。
そのためこのままの状態では、
『意味のある値』を導くことができません。
まあつまり、
これはこのままの形じゃだめなんですね。
じゃあどうすればいいのか。
ちょっと考えていくわけですが、
「意味」となると、まず「 0,1,2 」などの、
『意味を持ち易い基本的な値』が思い浮かびませんか？
というのも、数値的に意味を持ち易いのは、
0,1,2 の３つがほとんど。
例えば「量を表す単位」とかは全部 1 ですし、
『基準』としての在り方はすごく実感できると思います。
0 も似たようなもので、
これは無いってことを表現する場合が多いですね。
あるいは原点などの、出発点・基準点を意味します。
2 にしても、
「 1 とは違うもの」としての意味を持っていますし、
次元を拡張する場合とかで必ず出てきます。
とまあこのように 0,1,2 の 3 つの値は、
「意味」に近い位置にあるんですよ。
ちなみに他の数字ですが、
これらが意味を持つことは基本的にはありません。
稀に 3,5,9,12,60,100 辺りが意味を持ちますが、
これは極一部の例外ですね。
例えば 1 分は 60 秒、
1 時間は 60 分ですが、
これ以外で 60 が意味を持つことはほぼありません。
あったとしても、非常にローカルなものになるので、
共通認識としての意味にはならないでしょう。
以上、そういう感じなので、
「意味」を考えるために、
とりあえず波動関数にこれらをぶちこんでみます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\psi(q,t)&=0 \\ \\ E\psi(q,t)&=E \\ \\ E\psi(q,t)&=2E \end{array}
するとこんな感じになりますが、どうでしょうか。
意味を見出せますか？
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\psi(q,t)&=0 \\ \\ E\psi(q,t)&=2E \end{array}
0,2 はちょっと意味分かんないですね。
なんのことだかさっぱりです。
E×1=E
ただ、 1 の場合だけは、
なんか、意味を読み取れませんか？
というのも、これは見たまま、
「エネルギー」を表してませんか？
まあ、この時点ではそれだけですが、
これだけが、ちゃんと意味を読み取れます。
整理しておくと、
\psi(q,t) が 1 とするなら、
あるいは 1 を \psi(q,t) で表せば、
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t)&=1 \\ \\ \displaystyle χ\left( \psi (q,t) \right)&=1 \end{array}
式全体である E\psi(q,t) が、
『エネルギーの値を導く』っていう、
「意味」を持つことになります。
波の形と範囲の広さ
↑のように波動関数の値を決めてしまえば、
式が「意味」を持つことは分かりました。
しかし単純に波動関数 \psi(q,t) を 1 にする場合では、
\begin{array}{rlc} \displaystyle r\,e^{iθ}&=r(\cos θ+i \sin θ) \\ \\ &=1 \\ \\ \\ r\cos θ&=1 \\ \\ i\,r\sinθ &=0 \end{array}
このように r 以外に、
「変数のとれる範囲」もまた限定されてしまうため、
「式の意味の範囲」がすごく狭くなってしまいます。
なにより、
これでは『全ての波形』を表すことができません。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(q,t)&=r\,e^{i(ωt-kq)} \end{array}
確認しておくと、
r を変えても「波の形」は変わりません。
r は「波の大きさ・広さ」を変える実数です。
なので『波の形だけを保証したい』なら、
r が変わっても特に問題はありません。
\begin{array}{rlc} \displaystyle r\,e^{iθ}&=r(\cos θ+i \sin θ) \\ \\ &=1 \\ \\ \\ r\cos θ&=1 \\ \\ i\,r\sinθ &=0 \end{array}
しかし↑のように『変数が限定される』場合は、
「表現できる波の形」は制限されてしまいます。
つまるところ、
「単に波動関数 \psi(q,t) を 1 にするだけ」では、
『限定され過ぎてしまう』わけで、
\begin{array}{rlc} \displaystyle θ&=0+2nπ \\ \\ θ&=ωt-kq \end{array}
これではただの「エネルギー保存の法則」
あちらを立てればこちらが立たず。
この時点ではそんな感じなんですが、
『全ての波の形を表せる』ことを担保しつつ、
『 1 にすることができる』操作が存在すれば、
「意味」のために必要な要求を、
全て満たすことができます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle\int \psi^*(x)\psi(x)\,dx&=1\end{array}
でまあ、それがこれなんですね。
この「内積を 1 とする」操作は、
『 r を限定するために 1 にする』ことや、
『全ての波形を表す』ことを実現します。
\begin{array}{rlc} \displaystyle\int \psi^*(x)\psi(x)\,dx&=1 \\ \\ \displaystyle r^2\int_{0}^{\frac{2π}{k}} e^{-i(ωt-kx)}e^{i(ωt-kx)}\,dx&=\displaystyle r^2\int_{0}^{\frac{2π}{k}} e^{0}\,dx \\ \\ &\displaystyle =r^2\Bigl[\, x \,\Bigr]_{0}^{\frac{2π}{k}} \\ \\ &\displaystyle =\frac{2π}{k}r^2 \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{2π}{k}r^2&=1 \\ \\ r^2&\displaystyle =\frac{k}{2π} \end{array}
この操作は、変数に制限がかかりません。
しかし r にだけは制限がかかります。
そう、この操作を行ったとしても、
『全ての波形を表現できる』し、
その上で『 r の値を 1 にできる』んです。
すごい都合が良いですが、
そういう都合の良い操作を求めた結果、
\begin{array}{rlc} \displaystyle\int \psi^*(x)\psi(x)\,dx&=1\end{array}
これが見つかったんですね。
期待値と確率っぽい形
↑の操作が発見された経緯について見ていきます。
と言っても、これはそんなに難しくありません。
\begin{array}{rlc} \displaystyle Eχ(\psi)&=E \\ \\ χ(\psi)&=1 \end{array}
重要なのはこの「形」なんですけど、
なんか、すごく見覚えがありませんか？
\begin{array}{rlc} \displaystyle Ep(x)&=\overline{E} \\ \\ \displaystyle\int p(x)\,dx&=1 \end{array}
『期待値』と『確率』を思い出してみてください。
この形とすごく似てると思いませんか？
1 の意味
整理しておくと、
χ(\psi) は『エネルギーにかけられている値』です。
Eχ(\psi)
そしてこれは「意味」を考える上で、
「 1 になる」ってことにとりあえずされています。
とまあそんな感じなんですが、どうでしょう？
なんか、これだけじゃよく分からなくないですか？
具体的には、これをただ「 1 とするだけ」ってのは、
なんかスッキリしませんよね。
E×1
これが「エネルギーの値である」とする以上、
この引っ付いている 1 にもまた、
なんらかの意味がある、と考えたくなりませんか？
エネルギーの期待値
というわけで考えていくわけですが、
1 と言えば、やはり『確率』
思い返してみれば、
E は『エネルギーの値』ってだけで、
その他には具体的な意味を持っていません。
しかしこの 1 を『確率だ』と考えると、
この Eχ(\psi) を『エネルギーの期待値』だと、
そう考えることができませんか？
というわけで、
試しに『エネルギーの期待値だ』としてみます。
数式的には、とりあえず↓みたいにしてみます。
両方の式を合わせてみたいので。
\begin{array}{rlc} \displaystyle Eχ(\psi)&=\overline{E} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x\,p(x) \,dx&=\overline{x} \end{array}
するとなんか、それっぽくなりましたね。
複素関数と確率
しかしこれ、このままだとダメです。
\psi(x) は p(x) とは根本的に異なるので。
\psi は全ての波形を表せる複素数関数
p(x) は確率と解釈できる実数値関数
\begin{array}{rlc} \displaystyle \int\psi(x)\,dx &\displaystyle ≠\int p(x)\,dx \end{array}
積分値の範囲がそもそも一致しません。
『確率だ』ってことにするにしても、
このままでは負の値やら虚数やらをとっちゃいます。
より厳密に「確率の公理」で考えてみても、
\begin{array}{rll} \displaystyle \displaystyle 0&\displaystyle ≤\int_a^b p(x)\,dx&≤1 \\ \\ &\displaystyle \int_{\infty}^{-\infty}p(x) \,dx&=1 \end{array}
「確率として定義されるもの p(x) 」は↑を満しますが、
『波の形を表す関数』はこれを満たしません。
\begin{array}{rlc} \psi(x)&=r\,e^{ikx} \\ \\ \\ \displaystyle \int_a^b\psi(x)\,dx&\displaystyle =\frac{r}{k}\Bigl[ \sin kx -i\cos kx \Bigr]_a^b \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}}\psi(x)\,dx&\displaystyle =\frac{r}{k}\Bigl[ \sin kx -i\cos kx \Bigr]_{0}^{\frac{2π}{k}} \\ \\ &=0 \end{array}
関数の範囲を制限してもこれは同じですね。
\begin{array}{rlc} \psi(x)&=r\,\cos kx \\ \\ \\ \displaystyle \int_a^b\psi(x)\,dx&\displaystyle =\frac{r}{k}\Bigl[ \sin kx \Bigr]_a^b \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}}\psi(x)\,dx&\displaystyle =\frac{r}{k}\Bigl[ \sin kx \Bigr]_{0}^{\frac{2π}{k}} \\ \\ &=0 \end{array}
実数値関数だと仮定しても、
「負の値」をとってしまうこともありますし、
そもそも全区間が 1 になりません。
つまるところ、
\psi(x) は「確率の公理」を満たさないんです。
なので、これはこのままでは『確率』と解釈できません。
確率だと解釈したい
『確率の公理を満たすようにしたい』なら、
\psi を『確率として加工』しなければなりません。
でもまあ加工って言っても
具体的にどうすればいいのか分かりませんよね。
結論を言うと↓の考え方を使うんですが、
\begin{array}{rll} \displaystyle \displaystyle \psi&=r(\cosθ+i\sinθ) \\ \\ \displaystyle \psi^{*}&=r(\cosθ-i\sinθ) \\ \\ \displaystyle r&=\sqrt{a^2+b^2} \\ \\ \\ \displaystyle \psi^{*}\psi&=|\psi|^2 \\ \\ &=r^2>0 \end{array}
なんでこうするのかもよく分かんないと思います。
整理すると、
『複素数』は「確率だと解釈できない」し、
そもそも『確率』は「正の実数値」です。
ということは、
『確率だと解釈したい』のであれば、
『複素数を正の値にしなければならない』わけで、
つまりは、そういう『正の値にする操作』が必要だ
ということが予想できます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle z&=a+bi \\ \\ z^*&=a-bi \\ \\ \\ z^*z&=a^2+b^2 \end{array}
んでまあそういうことであれば、
やはり最も都合が良いのは「複素共役」
『複素数』を考える時、
実数への変換と言えばだいたいこれを使います。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi^{*}\psi&=|\psi|^2 \\ \\ &=r^2 \end{array}
数式的にはこのように『複素数の長さ』を得て、
「実数と比較できる形」に。
より具体的には、
「複素数」を「ベクトル」と解釈して、
その『長さ』をベースにして意味を与える感じですね。
イメージとしては、
『平面で伸びている直線』を
無理矢理『実数直線と平行』にします。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \psi&=r(\cosθ+i\sinθ) \\ \\ \displaystyle \psi^{*}&=r(\cosθ-i\sinθ) \\ \\ \\ \displaystyle \psi^{*}\psi&=r^2 \\ \\ \displaystyle \sqrt{\psi^{*}\psi}&=\sqrt{|\psi|^2} \\ \\ |\psi|&=r \end{array}
数式的にはこんな感じ。
確率と関数の規格化
波動関数 \psi は『波の形を表す式』ですから、
出力することになる値は「座標」になります。
『確率』を意味する値をとるわけではないですし、
その値は連続的です。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \overline{x}&\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} xp(x) \,dx \\ \\ \displaystyle 1&\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} p(x) \,dx \end{array}
確認しておくと、連続値で考える場合、
『面積』としての『確率』はこうなります。
で、これに倣うなら、
波動関数を確率として加工する場合、
↓のような形にするとなんだか良い気がしませんか？
\begin{array}{rlc} \displaystyle \overline{x}&\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} xp(x) \,dx \\ \\ \displaystyle 1&\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty} p(x) \,dx \\ \\ \\ \displaystyle \overline{x}&\displaystyle =\int_{0}^{\frac{2π}{k}} x\psi^*(x)\psi(x) \,dx \\ \\ \displaystyle \textcolor{pink}{1}&\displaystyle =\int_{0}^{\frac{2π}{k}} \psi^{*}(x)\psi(x) \,dx \end{array}
というのも、このようにすれば、
『実数と比較できる形へ変換する』ことと、
『全区間が 1 になる』ことを実現できます。
「規格化」の由来はここですね。
\begin{array}{rlc} \psi^{*}(x)\psi(x)&=r\,e^{-ikx}\,r\,e^{ikx} \\ \\ &=r^2\,e^{ikx-ikx} \\ \\ &=r^2e^0 \\ \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}} \psi^{*}(x)\psi(x) \,dx &\displaystyle =r^2\Bigl[ x \Bigr]_{0}^{\frac{2π}{k}} \\ \\ &\displaystyle =r^2\frac{2π}{k} \end{array}
これは 1 になるとは限りませんが、
\begin{array}{rlc} \displaystyle r^2\frac{2π}{k}&=\textcolor{pink}{1} \\ \\ r^2&\displaystyle =\frac{k}{2π} \end{array}
「 1 ということにする」ことで、
『確率』にしてしまいます。
\begin{array}{rlrl} \displaystyle 0&\displaystyle ≤\int_{a}^{b}|\psi|^2\,dx&\displaystyle ≤\int_{0}^{\frac{2π}{k}}|\psi|^2\,dx \\ \\ &&\displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}}|\psi|^2\,dx&=1 \end{array}
確認しておくと、
このように全区間積分の値を 1 にすれば、
\begin{array}{rlrl} \displaystyle 0&\displaystyle ≤\int_{a}^{b}p(x)\,dx&\displaystyle ≤\int_{-\infty}^{\infty}p(x)\,dx \\ \\ &&\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}p(x)\,dx&=1 \end{array}
強引ではありますが、
「確率の公理」をちゃんと満たします。
波動関数が確率を導くように加工する
整理しておきます。
波動関数は↓のように加工すると、
\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{a}^{b}|\psi|^2\,dx&≥0 \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}}|\psi|^2\,dx&=1 \end{array}
「確率として扱うことが可能」に。
加えて「意味を与える」という目的を実現できる、
『期待値を求めたい』という要望も実現できました。
\begin{array}{rrl} \displaystyle \int_{a}^{b}\psi^{\dagger}\psi\,dx&\displaystyle =\int_{a}^{b}|\psi|^2\,dx&≥0 \\ \\ &\displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}}|\psi|^2\,dx&=1 \end{array}
まとめると、
数式的にはこのようにすれば、
あらゆる要望が実現されます。
もちろん他にもやり方は考えられるでしょう。
でもまあ、最も分かりやすいやり方はこれで、
他のやり方はこれよりも複雑になります。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} xp(x)\,dx&=\overline{x} \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}} E\psi^{\dagger}\psi\,dx&=\overline{E} \end{array}
\begin{array}{rcl} \displaystyle \psi^{\dagger}\psi&≡&p(x) \end{array}
比較するとこんな感じ。
補足しておくと、
↑の場合は３次元空間の話ではなく、
x 軸と虚数軸の２次元平面の話になります。
３次元以上を考える場合は重積分を使いますね。
要領は偏微分の感覚と似たような感じ。
\begin{array}{rlc} \displaystyle D&= \Bigl\{ (x,y) \, \mid \, x_1≤x≤x_2,y_1≤y≤y_2 \Bigr\} \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_D \psi^*(q)\psi(q) \,dq &\displaystyle =\int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} \psi^{*}(x,y)\psi(x,y) \,dxdy \\ \\ &\displaystyle =\int_{y_1}^{y_2}\left( \int_{x_1}^{x_2} \psi^*(x,y)\psi(x,y) \,dx \right)\,dy \\ \\ &\displaystyle =\int_{y_1}^{y_2}S(y)\,dy \\ \\ \\ dS&=dxdy \\ \\ dV&=f(x,y)dxdy \end{array}
平面の面積 → 立体の体積
という感じに次元を拡張するだけで、
基本的な形は変わりません。
データ形式とベクトル
「行列」形式の由来について、話をしてみます。
数式的には↓の形にする理由を説明する感じですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi^{\dagger}\hat{H}\psi \end{array}
結論から言っておくと、
これは「スカラー値にする手順」を考えると、
こうするしかないからこうしてます。
特に『統計』を考えると、
『PCで計算する』場合の
「手順」を考える必要があって、
\begin{array}{rlll} \displaystyle \psi^{\dagger}\hat{H}\psi&=\psi^{\dagger}E\psi \\ \\ \displaystyle \int \psi^{\dagger}E\psi\,dx&\displaystyle =\int E\psi^{\dagger}\psi\,dx \\ \\ &\displaystyle =\int E|\psi|^2\,dx \\ \\ &=\overline{E} \end{array}
そのためのやり方の中で最適なのが
↑のやり方なんですね。
なんでこうすると良いかについては、
「手続き」に必要な「データの形式」から
どのようにすべきか、みたいに考えると分かります。
というのも、
これはデータ形式の話になるのであれですが、
集めた「サンプル（データ）」は、
基本的に『ベクトル』で表現されるんですよ。
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\psi&\displaystyle =\begin{pmatrix} E_1\psi_1&E_2\psi_2&\cdots&E_n\psi_n \end{pmatrix} \\ \\ \\ \overline{E}&\displaystyle =\frac{1}{n}\Bigl( E_1+E_2+\cdots+E_n \Bigr) \\ \\ \psi&=c_1\psi_1+c_2\psi_2+\cdots+c_n\psi_n \\ \\ \\ E&=\begin{pmatrix} E_1&E_2&\cdots&E_n \end{pmatrix} \\ \\ \psi&=\begin{pmatrix} \psi_1&\psi_2&\cdots&\psi_n \end{pmatrix} \end{array}
そして『ベクトルで表現できる』ということは、
『行列で表現されることもある』わけで、
\psi^{\dagger}\hat{H}\psi
そうなると、
この「並び」で計算しなければ、
『スカラー値を導く』ことができません。
なので、式はこの形になるんです。
他の形には基本的になりません。
行列とベクトルと順番
「行列」→「スカラー値」について、
↑の話が何でそうなるのか確認しておきます。
\begin{array}{rlcc} \displaystyle \int \hat{H}\psi^{\dagger}\psi \,dx&=\hat{H} &&\mathrm{Matrix} \\ \\ \displaystyle \int\psi^{\dagger}\hat{H}\psi \,dx&=\overline{E} &&\mathrm{Scalar} \end{array}
まあこれは見たままですね。
データ形式をベクトルだと仮定すると、
『スカラー値を出すようにしたい』なら、
波動関数の位置はこうするしかありません。
以上、このように「定義」することで、
波動関数は『確率を表現できるもの』として、
「役割」を与えられたんですね。
ボルンの規則っていうのは、
つまりはこの『決まり』のこと。
シュレーディンガー方程式
以上をまとめて、
基礎方程式の本来の形を書いておきます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,t)+U(q)\psi(q,t) \\ \\ \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)&\displaystyle =\hat{H}\psi(q,t) \end{array}
波動方程式の「エネルギーの式」への変形がこれ。
よくシュレーディンガー方程式と言われてるのもこれ。
実際には式の一部ですが。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}} \psi^*(x)\psi(x)\,dx &=1 \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}} \psi^*(q)\psi(q)\,dq &=1 \end{array}
『式の意味』を考えた場合、
「波動関数が満たすべき条件」がこれ。
ボルンの規則って呼ばれてます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi^*\hat{H}\psi&=\mathrm{Scholar} \\ \\ \displaystyle \int \psi^*\hat{H}\psi \,dq&=\overline{E} \end{array}
で最後、
「データの形式」が『ベクトル』の場合、
式はこのような順番である必要が。
まとめると、
シュレーディンガー方程式の本来の形は↓です。
\begin{array}{rlc} \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{2m}(iℏ)^2\frac{\partial^2 }{\partial q^2}&U(q) \end{pmatrix}&=\hat{H} \\ \\ \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(q,t)&\displaystyle =\hat{H}\psi(q,t) \\ \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}} \psi^*(q)\psi(q)\,dq &=1 \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{2π}{k}} \psi^*(q)\hat{H}\psi(q)\,dq&=\overline{E} \end{array}
このワンセットが、
シュレーディンガー方程式になります。
無限井戸型ポテンシャル
|| ものすごく単純な状況
これは「シュレーディンガー方程式の解」
というのを考えるための、代表的な問題です。
m=1,2,3,4,...
\displaystyle \psi(x)= \left\{ \begin{array}{cll} \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}}\cos n\frac{π}{2a}x & n=2m-1 & (-a≤x≤a) \\ \\ \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}}\sin n\frac{π}{2a}x & n=2m & (-a≤x≤a) \\ \\ 0 & & (x<-a,a<x) \end{array} \right.
先に結論を書いておくと、
これが「方程式の解」になります。
んで、肝心の『井戸型ポテンシャル』なんですけど、
\begin{array}{rlc} \displaystyle U(x)&=\begin{cases} \,\,0 & (0≤x≤a) \\ \,\infty & (x<0,a<x) \end{cases} \\ \\ \displaystyle U(x)&=\begin{cases} \,\,0 & (-a≤x≤a) \\ \,\infty & (x<-a,a<x) \end{cases} \end{array}
結論から言うと、
こういう風に「式で表される図形」のことを、
『無限井戸型ポテンシャル』と言います。
イメージは「コ」の字型の入れ物で、
箱の底から↑までの高さが無限。
つまり「 -a≤x≤a 」までは移動できて、
その時に『位置エネルギーが 0 になる』状況。
まあ要は
『位置エネルギーを考えたくない』
『位置が簡単に分かる』
こういう要望を実現した結果、
「高さが無限の井戸」ができちゃったって感じです。
確認しておくと、
↓を見たらだいたい分かると思います。
\begin{array}{rlc} E\psi(x)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+U(x)\psi(x) \end{array}
まあ要はそういうことで、
この「位置エネルギー U(x) を定めるため」に、
この『井戸型ポテンシャル』を考えたわけですね。
もちろん他のやつでもよくて、
「深さが有限」のやつも当然あります。
ただ「最も単純な計算」となると、
これ以上のものは無いんですよ。
方程式の単純化
「シュレーディンガー方程式を解く」と言っても、
何をすればいいのかよく分かりません。
なのでとりあえず、
『式をできるだけ単純に』してから
どうすればいいのかを考えて、
最終的に、
計算手順の雛型を導いてみます。
そのために式の確認をしておくと、
\begin{array}{rlc} \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial q}\psi(q,t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial q^2}\psi(q,t) + U(q)\psi(q,t) \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x,t)&=r\,e^{i(ωt-kx)} \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&=r\,e^{iωt}e^{-ikx} \\ \\ \\ \displaystyle \psi(x)&=r\,e^{-ikx} \\ \\ \displaystyle \phi(t)&=e^{iωt} \\ \\ \displaystyle \psi(x,t)&=\psi(x)\phi(t) \end{array}
\begin{array}{rlc}\displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(x,t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x,t) + U(x)\psi(x,t) \\ \\ \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(x)\phi(t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)\phi(t) + U(x)\psi(x)\phi(t) \end{array}
指数の法則 x^{a+b}=x^ax^b から、
波動関数の変数はこう分離することが出来て、
\begin{array}{rlc} \displaystyle iℏ\frac{\partial }{\partial t}\psi(x)\phi(t)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)\phi(t) + U(x)\psi(x)\phi(t) \\ \\ \displaystyle iℏ\frac{\partial \phi(t)}{\partial t}\psi(x)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}\phi(t) + U(x)\psi(x)\phi(t) \end{array}
「 \psi(x)\phi(t) 」で両辺を割ると、
定数 E を考えれば、
\begin{array}{rlc} \displaystyle iℏ\frac{\partial \phi(t)}{\partial t}\frac{1}{\phi(t)}&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}\frac{1}{\psi(x)} + U(x) \end{array}
\displaystyle \begin{cases} \displaystyle E=-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}\frac{1}{\psi(x)} + U(x) \\ \\ \displaystyle E=iℏ\frac{\partial \phi(t)}{\partial t}\frac{1}{\phi(t)} \end{cases}
\displaystyle \begin{cases} \displaystyle E\psi(x)=-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + U(x)\psi(x) \\ \\ \displaystyle E\phi(t)=iℏ\frac{\partial \phi(t)}{\partial t} \end{cases}
式はこのように、
変数ごとに分離することができるわけで。
ということは、
「別々に考える」ことができそうです。
これでまあなんとなく分かると思うんですけど、
\begin{array}{rlc} E\psi(x)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+U(x)\psi(x) \end{array}
この計算と↑の計算って、
「似たような感じ」になりそうじゃないですか？
要はまあ、そういう話ですね。
「シュレーディンガー方程式の計算」の手順
というのを調べるために、
井戸型ポテンシャルという「状況」と
「1次元」という変数が最小限のパターンで、
『計算手順の雛型』を導く、と。
まあそういう感じのことをするために、
『無限井戸型ポテンシャル』を
「時間を除く１次元の式」で考えるわけです。
位置での場合分け
「無限井戸型ポテンシャル」での
『波動関数』を、これから考えていきます。
\begin{array}{rlrr} \displaystyle \textcolor{skyblue}{U}(x)&=0&&(-a≤x≤a) \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle E\psi(x)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + \textcolor{skyblue}{U}(x)\psi(x) \\ \\ \displaystyle E\psi(x)&\displaystyle =-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}&\displaystyle =-\frac{2m}{ℏ^2}E\psi(x) \end{array}
まず「 -a≤x≤a 」の範囲はこう。
要望通り、位置エネルギーを取り除けてます。
というわけで次、
「 x<-a,a<x 」の範囲なんですけど、
\begin{array}{rlrr}\displaystyle U(x)&=\infty & & (x<-a,a<x) \end{array}
\begin{array}{lrl} &\displaystyle |\psi(x)|^2&=0 \\ \\ ⇒&\psi(x)&=0 \\ \\ ⇒&\displaystyle E\psi(x)&=0 \end{array}
U(x)=\infty の場合については、
「その位置には行けない」ことから、
『存在確率 |\psi(x)|^2=0 』と考えます。
まあこれはあれです。
「無限に高い壁」を乗り越えるには、
「無限にエネルギーが必要」だから、
それは「行けない」のとほぼ同じだよね
という感じ。
なのでこの場合では存在確率を 0 と設定し、
式全体の値を 0 と考えます。
以上、まとめると、
↓であることがとりあえず導けました。
\displaystyle \begin{array}{rlll} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}&\displaystyle =-\frac{2m}{ℏ^2}E\psi(x) && U(x)=0 \\ \\ \psi(x)&=0 && U(x)=\infty \end{array}
ひとまず、これで一区切り。
波の式と波動方程式
複素数の一般形を確認して、
波動方程式を弄ってみます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x)&=r(\cosθ+i\sinθ) \\ \\ \displaystyle \psi(x)&=r\,e^{iθ} \\ \\ \displaystyle \psi(x)&=r\,e^{αx} \end{array}
波動方程式の性質↓から、
\begin{array}{rlc} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}&\displaystyle =-\frac{2m}{ℏ^2}E\psi(x) \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}&=-k^2\psi(x) \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle k&\displaystyle =\sqrt{\frac{2mE}{ℏ^2}} \end{array}
まあこんな感じになるので、
↓のような解を導けることが分かります。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}&=-k^2\psi(x) \\ \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}&\displaystyle =\frac{\partial^2 (r\,e^{αx})}{\partial x^2} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial^2 (r\,e^{αx})}{\partial x^2}&\displaystyle =r\frac{\partial e^{αx}}{\partial x} \\ \\ & =rα^2e^{αx} \\ \\ & =α^2\psi(x) \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle α^2\psi(x)&=-k^2\psi(x) \\ \\ \displaystyle (α^2+k^2)\psi(x)&=0 \\ \\ \\ \displaystyle α^2+k^2&=0 \\ \\ \displaystyle α&=±ik \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x)&=r\,e^{±ikx} \end{array}
以上、こんなのが導けるわけですが、
これ、このままだとよく分かんないですよね。
特に何か特定できたわけではありませんし、
↑から分かることも特に無いですし。
解を導く準備と一般解
よく分からないものは
とりあえずよく分からないまま放置して、
その上で話を進めていきます。
具体的には、
「よく分からないもの」を
「現時点での解」だ、として、
その「よく分からない解」を、
「いろんな条件」で絞り込むわけですが、
「解の全体を表すやつ」は必要ですよね？
これはまあ、要はそういう話です。
というわけで、
そのために『波動関数』の「一般解」を考えて、
それを「現時点での解」にします。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}&=-k^2\psi(x) \end{array}
具体的にどうするかというと、
解になる波動関数 \psi(x) を、
「二階微分されて形が元に戻る関数」として、
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x)&=A\cos kx+B\sin kx \\ \\ \displaystyle \psi(x)&=Ce^{ ikx}+De^{- ikx} \end{array}
このような形が考えられるので、
これを「解」とします。
「一般解」っていうのは、
要はこういう感じのものです。
厳密には「微分方程式の全ての解」
という感じなんですけど、
\begin{array}{rlc} \displaystyle y^{\prime}&\displaystyle =\frac{d}{dx}f(x) \\ \\ y&\displaystyle =\int \frac{d}{dx}f(x) \,dx +C \end{array}
まあこの用語はなんとな～く分かってればOK。
とりあえず「解の全体を表すもの」
とでも思ってれば、
それでだいたい合ってます。
使い方は↑で言った通り、
これを「条件」で絞り込んでいって、
より具体的な形にしていきます。
まあ要は、これは計算の途中ですね。
どう考えていくかを整理するために、
いったんこういう解を定めてます。
まあとりあえず式の確認をしておきましょうか。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \psi(x)&=r\,e^{±ikx} \\ \\ \\ \displaystyle e^{ikx}&=\cos kx+i\sin kx \\ \\ \displaystyle e^{-ikx}&=\cos (-kx)+i\sin (-kx) \\ \\ &\displaystyle =\cos kx-i\sin kx \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \cos(-θ)&=\cosθ \\ \\ \displaystyle \sin(-θ)&=-\sinθ \end{array}
使うのはこれです。
加えて任意の定数 A,B,S,T も使います。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x)&=Se^{ikx}+Te^{-ikx} \\ \\ &\displaystyle =(S+T)\cos kx+(S-T)i\sin kx \end{array}
\displaystyle \begin{array}{llllllll} S=1&T=0 & → && \psi(x)&=e^{ikx} \\ \\ S=0&T=1 & → && \psi(x)&=e^{-ikx} \end{array}
軽く確認しておくと、
まあこんな感じですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle A&=S+T \\ \\ B&=i(S-T) \end{array}
他にもこうすれば、
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x)&=A\cos kx+B\sin kx \end{array}
こうなるので、
まあこれは、どっちでも良いです。
見ての通り、
これは単なる計算上の手続きなので、
「書き方の変更」くらいに思っておきましょう。
\displaystyle \psi(x)= \left\{ \begin{array}{cllll} A\cos kx+B\sin kx && (-a≤x≤a) \\ \\ 0 && (x<-a,a<x) \end{array} \right.
難しく考える必要はありません。
これを採用するのは、
「計算しやすいと思われるから」で、
それ以上の意味は特に無いので。
ともかく、
「現時点で分かってること」をこれと定めて、
これから、これをもっと具体的にしていきます。
波動関数の連続性
話は飛びますが、
ここで『波動関数は連続でなければならない』
という制約についての話をしておきます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle -\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+U(x)\psi(x)&=E\psi(x) \\ \\ \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\psi(x)&\displaystyle =\frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(x)\Bigr) \psi(x) \end{array}
根拠は基本的にこれ。
「不連続である」と仮定して、
「不連続な点」を考えることで、
式の矛盾を導くと、そういう結論になります。
どういうことかというと、
要は「波動関数が不連続」だと
矛盾が生じてしまうんですよ。
だから、矛盾しないために、
『波動関数は連続でなければならない』
という制約を課す感じです。
一応、軽く証明をしておきましょうか。
↓の式を使います。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\psi(x)&\displaystyle =\frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(x)\Bigr) \psi(x) \end{array}
というわけで「不連続」だと『仮定』して、
「不連続な点」を考えます。
すると「不連続な点 δ 」では、
当然ながら『2点の変化』を表す「微分」は
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{d}{dx}\psi(δ)&=\infty \\ \\ \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\psi(δ)&=\infty \end{array}
まあこうなるわけですよ。
念のため確認しておくと、
微分の定義を考えてもらえば分かる通り、
例えば点が x=0 で不連続な場合、
\begin{array}{rlc} a&≠b \\ \\ \\ f(0) &=a \\ \\ \displaystyle \lim_{h→0+0} f(0+h) &=b \\ \\ \\ \displaystyle f^{\prime}(0)& = \displaystyle \lim_{h→0} \frac{f(0+h)-f(0)}{(x+h)-x} \\ \\ &\displaystyle =\lim_{h→0} \frac{b-a}{h} \\ \\ &=\infty \end{array}
このように発散するので、
当然、↑のようになりますよね。
整理すると、
「不連続な波動関数の微分」は
「不連続な点で発散してしまう」ので、
『等式が正しいとする』のであれば、
当然↓も無限になる必要があります。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\psi(x)&=\infty \\ \\ \displaystyle \frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(x)\Bigr) \psi(x) &\textcolor{pink}{=}\infty \end{array}
しかし、↓側の式はどうでしょう？
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(x)\Bigr) \psi(x) &\textcolor{pink}{=}\infty&(\mathrm{?}) \\ \\ \\ \displaystyle \int |\psi(x)|^2\,dx&≤1 \\ \\ E-U(x)&(\mathrm{?}) \end{array}
確認すると、
E-U(x) の部分は↓のようになり、
\begin{array}{rllll} \displaystyle &E-U(x)&=\infty&&\Bigl( U(x)=-\infty \Bigr) \\ \\ -\infty<&E-U(x)&<\infty &&\Bigl( U(x)=\mathrm{limited} \Bigr) \\ \\ &E-U(x)&=-\infty &&\Bigl( U(x)=\infty \Bigr) \end{array}
「無限のポテンシャル」を持つ場合では、
「無限のエネルギーを持つ粒子は無い」
と考えられることから、
そこに「粒子がある確率は 0 」と言えるので、
\begin{array}{rlll} \displaystyle \psi(x)&=0&&\Bigl( U(x)=-\infty,\infty \Bigr) \end{array}
こうですから、結果、
\begin{array}{rllll} -\infty<& \displaystyle \frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(x)\Bigr) \psi(x)&<\infty&&\Bigl( U(x)=\mathrm{limited} \Bigr) \\ \\ &\displaystyle \frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(x)\Bigr) \psi(x)&=0&&\Bigl( U(x)=-\infty,\infty \Bigr) \end{array}
\begin{array}{rlc}-\infty<& \displaystyle \frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(x)\Bigr) \psi(x)&<\infty \end{array}
↑の部分は有限の値になります。
無限になることはありません。
しかし「不連続な点 δ 」では、
「等式を満たしたい」なら
「無限にならないといけない」わけで。
ということは、
『不連続である』という仮定の下では、
「左辺と右辺が一致しない」わけです。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\psi(x)&\displaystyle =\frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(x)\Bigr) \psi(x) \end{array}
なら、これは矛盾してます。
\begin{array}{rlc}\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\psi(d)&\displaystyle \textcolor{pink}{≠}\frac{2m}{ℏ^2} \Bigl(E-U(d)\Bigr) \psi(d) \end{array}
ということは必然、
『波動関数は不連続ではない』となり、
であるならば、
「波動関数」は「連続」だと考えられます。
連続性と存在確率
「境界 x=-a,a での波動関数」について、
『連続性』を使って絞り込んでみます。
これはまあ、あれです。
無限の高さを持つ井戸型の場合
「高さ無限の位置」へは
『移動できない』わけですから、
その高さにおける『粒子の存在確率』は、
「 0 である」と考えるのが妥当。
\begin{array}{rlc} \displaystyle |\psi(x)|^2&=0 &&x<-a,a<x \\ \\ \psi(x)&=0 && |\psi(x)|≥0\end{array}
ということは、
つまり波動関数はこうなるはず。
んで、こっからが本題なんですけど、
「波動関数」には『連続的である』
という制約がありますよね。
となると、
「位置エネルギー」が「 0 から \infty になる境界」は、
いったいどうなるのか。
\begin{array}{llc} \displaystyle \psi(a)&=\mathrm{?} \\ \\ \displaystyle \psi(-a)&=\mathrm{?} \end{array}
とまあこんな感じで、
なんか、「境界」について、
波動関数の値を絞り込めそうな気がしませんか？
とまあ、要はそういう話で、
実際、絞り込むことはできちゃいます。
と言われても分からんと思うので、
ともかく、まずは計算してみましょうか。
『連続性の証明』ということなので、
「右極限と左極限」を使います。
まず「ポテンシャルが無限の位置」では
\begin{array}{rlc} \displaystyle \lim_{x→-a-0} \psi(x) &=0 \\ \\ \displaystyle \lim_{x→a+0} \psi(x) &=0 \end{array}
当然、こうなります。
これは↑の確認ですね。
記号の意味が分かれば疑問は無いでしょう。
んでまあ片側がこうなると分かってるので、
『連続している』のであれば、
\begin{array}{rlc} \displaystyle \lim_{x→-a-0} \psi(x)&=\displaystyle \lim_{x→-a+0} \psi(x) \\ \\ &=\displaystyle \lim_{x→-a} \psi(x) \\ \\ &=0 \\ \\ \\ \displaystyle \lim_{x→a-0} \psi(x)&=\displaystyle \lim_{x→a+0} \psi(x) \\ \\ &=\displaystyle \lim_{x→a} \psi(x) \\ \\ &=0 \end{array}
こうなるわけで、
となると必然、
『連続である場合』は、必ず↓のようになります。
\begin{array}{llc} \displaystyle \psi(a)&=0 \\ \\ \displaystyle \psi(-a)&=0 \end{array}
はい。
とまあそういうわけで、
『連続性を満たすため』には、
「境界」は、このようになる必要があるんですね。
境界条件から導かれる解
↑の条件から、
解をより具体的にしていきます。
整理しておくと、
波動関数は↓になるので、
\begin{array}{llllll} A\cos k(-a)+B\sin k(-a) \\ \\ =A\cos ka-B\sin ka \end{array}
\displaystyle \psi(x)= \left\{ \begin{array}{clllll} A\cos ka+B\sin ka&=0 && (x=a) \\ \\ A\cos ka-B\sin ka&=0 && (x=-a) \end{array} \right.
この連立方程式を解いて、
A,B を求めます。
というわけで、
さっそく計算していきましょうか。
まず A=0,B=0 のパターンですが、
これは特に意味が無いので考慮しません。
固有値方程式の時と同様ですね。
特に意味が無い部分は無視して、
意味のある解を求めていきます。
A≠0
\begin{array}{rlc} \displaystyle (A\cos ka+B\sin ka) \\ \\ \displaystyle +(A\cos ka-B\sin ka) \\ \\ \displaystyle =2A\cos ka \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle 2A\cos ka&=0 \\ \\ \displaystyle ka&\displaystyle =\frac{π}{2},\frac{3}{2}π,\frac{5}{2}π,... \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle k≥0 , a≥0 &→& ka≥0 \end{array}
まずこのパターンではこう。
B≠0
\begin{array}{rlc} \displaystyle (A\cos ka+B\sin ka) \\ \\ \displaystyle -(A\cos ka-B\sin ka) \\ \\ \displaystyle =2B\sin ka \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle 2B\sin ka&=0 \\ \\ \displaystyle ka&=0,π,2π,... \end{array}
そしてこのパターンではこうなので、
まとめると、
\begin{array}{rlll} \displaystyle ka&\displaystyle =0,\frac{1}{2}π,π,\frac{3}{2}π,2π,... \\ \\ \displaystyle k&\displaystyle =n\frac{π}{2a} &&(n=0,1,2,3,...) \end{array}
このように「境界の条件」から、
『より具体的な定数 k 』が導かれます。
「飛び飛びな値」の由来はこの辺りですね。
計算上、この部分で初めてこういう値が導かれます。
\begin{array}{llc} \displaystyle m&=0,1,2,3,4,5,6,7,... \\ \\ 2m&=0,2,4,6,8,10,... \\ \\ 2m+1&=1,3,5,7,9,11,... \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x)&=\left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle A\cos kx && n=2m+1 && (-a≤x≤a) \\ \\ \displaystyle B\sin kx && n=2m && (-a≤x≤a) \\ \\ 0 && && (x<-a,a<x) \end{array} \right. \\ \\ &= \left\{ \begin{array}{clllllll} \displaystyle A\cos n\frac{π}{2a}x && n=2m+1 && (-a≤x≤a) \\ \\ \displaystyle B\sin n\frac{π}{2a}x && n=2m && (-a≤x≤a) \\ \\ 0 && && (x<-a,a<x) \end{array}\right. \end{array}
ともかく以上のことから、
「波動関数」はこうなります。
存在の仮定と n
結論を言うと、
n=0 にはなりません。
確認しておくと、
\begin{array}{rlc} \displaystyle k≥0 \\ \\ a≥0 \end{array}
これらの値はこの範囲にあります。
ということは、
仮に n=0 を認める場合、
\begin{array}{rlc} \displaystyle k=0 &\mathrm{or}& a=0 \end{array}
このようになるわけで。
であるなら、
「波動関数」は↓のようになってしまいます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle B≠0 \\ \\ A=0 \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(x)&=A\cos ka+B\sin ka \\ \\ &=A\cos 0a+B\sin 0a &=0 \\ \\ \\ \displaystyle \psi(x)&=A\cos ka+B\sin ka \\ \\ &=A\cos k0+B\sin k0 &=0 \end{array}
そう、 n=0 の場合、
『存在確率が 0 の状態』が導かれるんです。
まあつまり、
「 n=0 の状態」というのは、
『存在確率が 0 の状態』なんですよ。
言い換えるなら、
「 n=0 の状態」は『存在しません』
ということは、計算上の値から、
n=0 は『存在しないことが分かる』ので、
\begin{array}{rlc} \displaystyle n>0 \end{array}
『何かが存在すると仮定する』場合、
「波動関数における n 」は、
必ずこの範囲でなければなりません。
まとめると、
『何かが存在すると仮定する』場合、
m=1,2,3,4,...
\displaystyle \psi(x)= \left\{ \begin{array}{clllllll} \displaystyle A\cos n\frac{π}{2a}x && n=2m-1 && (-a≤x≤a) \\ \\ \displaystyle B\sin n\frac{π}{2a}x && n=2m && (-a≤x≤a) \\ \\ 0 && && (x<-a,a<x) \end{array} \right.
「波動関数」はこのようになります。
ボルンの規則を適用
\psi を定める条件と言えば、
「境界」や「存在の仮定」の他にも、
『確率解釈』ってのがあります。
これは具体的には『規格化』なんですけど、
思えば、まだこれは行っていません。
まあそういうわけなので、
これから「規格化」を行っていきます。
m=1,2,3,4,....
\displaystyle \psi(x)= \left\{ \begin{array}{clllllll} \displaystyle A\cos n\frac{π}{2a}x && n=2m-1 && (-a≤x≤a) \\ \\ \displaystyle B\sin n\frac{π}{2a}x && n=2m && (-a≤x≤a) \\ \\ 0 && && (x<-a,a<x) \end{array} \right.
確認しておくと、
「波動関数」はこうです。
\begin{array}{llc} \displaystyle \int_{-a}^{a}|\psi(x)|^2dx&=1 \\ \\ \displaystyle \int_{-a}^{a} \left| A\cos n\frac{π}{2a}x \right|^2 dx&=1 \\ \\ \displaystyle \int_{-a}^{a} \left| B\sin n\frac{π}{2a}x \right|^2 dx&=1 \end{array}
んで「規格化」するとこんな感じに。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \int_{-a}^{a} \left| \cos n\frac{π}{2a}x \right|^2 dx&=\mathrm{?} \\ \\ \displaystyle \int_{-a}^{a} \left| \sin n\frac{π}{2a}x \right|^2 dx &=\mathrm{?} \end{array}
問題を単純化すればこうなので、
見た目、計算を行えば、
任意定数 A,B は絞り込めそうな気がしませんか？
ボルンの規則から分かる解
ボルンの規則から、
任意定数 A,B を絞り込んでいきます。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \int_{-a}^{a} \left| A\cos n\frac{π}{2a}x \right|^2 dx&=\displaystyle A^2\int_{-a}^{a} \cos^2 n\frac{π}{2a}x \,dx \\ \\ &=1 \end{array}
やることはこれの計算ですね。
この計算結果から任意定数を導きます。
使う材料から確認しておきましょうか。
まず \cos^2 θ の図形ですけど、
これはy軸対称の図形なので、
\begin{array}{rlc} \displaystyle A^2\int_{-a}^{a} \cos^2 n\frac{π}{2a}x \,dx &= \displaystyle 2A^2\int_{0}^{a} \cos^2 n\frac{π}{2a}x \,dx \\ \\ &=1 \end{array}
左右同じ積分値になります。
続いて、↓を確認。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \displaystyle \cos(θ+θ)&=\cosθ\cosθ-\sinθ\sinθ \\ \\ \displaystyle 2\cos^2 θ&=1+\cos2θ \end{array}
↑が分かれば、
↓の式変形が分かるので、
\begin{array}{rlc} \displaystyle 2A^2\int_{0}^{a} \frac{1}{2}\left( 1+\cos 2n\frac{π}{2a}x \right) dx&=1 \\ \\ \displaystyle A^2\int_{0}^{a} \left( 1+\cos n\frac{π}{a}x \right) dx&=1 \end{array}
後は微分した式から、
\begin{array}{rlc} \displaystyle \cos n\frac{π}{a}x& =\displaystyle \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\displaystyle n\frac{π}{a}}\,\sin n\frac{π}{a}x \right) \end{array}
積分結果は↓になりますから、
\begin{array}{lc} \displaystyle A^2 \left[ x+\frac{1}{\displaystyle n\frac{π}{a}}\sin n\frac{π}{a}x \right]_{0}^{a} dx \\ \\ =A^2\Bigl( (a+0)-(0+0) \Bigr) \\ \\ =1 \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \sin n\frac{π}{a}a &=0 \\ \\ \displaystyle \sin n\frac{π}{a}0 &=0 \end{array}
\begin{array}{rlc} \displaystyle \sin0&=\sin nπ \\ \\ &=0 \end{array}
計算結果はこのようになります。
ここまで来れば、
後はもう消化試合ですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle A^2[a-0]&=1 \\ \\ \displaystyle A^2&\displaystyle =\frac{1}{a} \end{array}
残る B ですけど、
こちらも同じ様に求めることが。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \cos(θ+θ)&=\cosθ\cosθ-\sinθ\sinθ \\ \\ \displaystyle -2\sin^2θ&=-1+\cos 2θ \end{array}
違うのはこの部分くらいで、
後はほとんど同じですね。
\begin{array}{rlc} \displaystyle B^2 \left[ x\textcolor{skyblue}{-}\frac{1}{\displaystyle n\frac{π}{a}}\sin n\frac{π}{a}x \right]_{0}^{a} dx&=1 \end{array}
A の時とほとんど同じなので、
すぐに計算結果が分かると思います。
\begin{array}{rlc} \displaystyle B^2&\displaystyle =\frac{1}{a} \end{array}
以上、まとめると、
任意定数は↓になります。
\begin{array}{rlc} \displaystyle A&= \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}} \\ \\ \displaystyle B&= \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}} \end{array}
符号については
どうせ 2 乗するのでどっちでも良いです。
方程式の解
以上をまとめると、
波動関数が↓のようになることが分かりました。
\displaystyle \psi(x)= \left\{ \begin{array}{cll} \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}}\cos n\frac{π}{2a}x & n=2m-1 & (-a≤x≤a) \\ \\ \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}}\sin n\frac{π}{2a}x & n=2m & (-a≤x≤a) \\ \\ 0 & & (x<-a,a<x) \end{array} \right.
整理しておくと、
「ポテンシャルの適用」「一般解の用意」
\begin{array}{rlc} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}&\displaystyle =-\frac{2m}{ℏ^2}E\psi(x) \\ \\ \\ \displaystyle \psi(x)&\displaystyle = \left\{ \begin{array}{cllll} A\cos kx+B\sin kx && (-a≤x≤a) \\ \\ 0 && (x<-a,a<x) \end{array} \right. \end{array}
「連続性の確認」「境界の条件」
\begin{array}{rlc} \displaystyle \psi(a)&=0 \\ \\ \psi(-a)&=0 \\ \\ \\ \displaystyle ka&\displaystyle =0,\frac{1}{2}π,π,\frac{3}{2}π,2π,... \\ \\ \displaystyle k&\displaystyle =n\frac{π}{2a} &&(n=0,1,2,3,...) \end{array}
「存在の仮定」「確率解釈」「規格化」
\begin{array}{rlc} n&≠0 \\ \\ \displaystyle A&= \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}} \\ \\ \displaystyle B&= \displaystyle \sqrt{\frac{1}{a}} \end{array}
↑の条件で絞り込まれた結果、
この波動関数は導かれています。
無限井戸型ポテンシャルでのエネルギーの値
↑が分かると何が良いのか。
↑だけじゃよく分かんないと思いますが、
例えば「エネルギーの値」について考えると、
なんとなく分かるかもしれません。
\displaystyle \begin{array}{rlc} k & \displaystyle =\sqrt{\frac{2mE}{ℏ^2}} \\ \\ \displaystyle k & \displaystyle =n\frac{π}{2a} \end{array}
というのも、
まあこうなるわけですが、
この式から『エネルギーの最小値』が導けるんです。
\begin{array}{rlc} \displaystyle \sqrt{\frac{2mE}{ℏ^2}} &\displaystyle = n\frac{π}{2a} \\ \\ \displaystyle \frac{2mE}{ℏ^2}&\displaystyle = n^2\frac{π^2}{2^2a^2} \\ \\ \\ \displaystyle E&\displaystyle =n^2\frac{π^2ℏ^2}{8ma^2} \end{array}
連続値じゃなくなるのも興味深いですが、
なにより『エネルギーは 0 にならない』
というのが非常に面白い結果で、
\begin{array}{rlc} \displaystyle E_n&\displaystyle =n^2\frac{π^2ℏ^2}{8ma^2} \\ \\ \displaystyle E_1&\displaystyle =\frac{π^2ℏ^2}{8ma^2} & > & 0 \end{array}
どういうことかというと、
これを根拠にすれば、
『電子の軌道』についての説明ができるんです。
記事冒頭で語りましたが、
『電子は原子核に落ちない』
ということの数式的な説明が↑でなされていて、
だからこそ、
『今の原子の形』が正しくなっています。
んで、この事実を考慮すると、
『ミクロの世界での物質の動きが分かった』
というのが「量子力学の成果」と言えるので、
なんか、分かると良い感じがしませんか？
とまあ最後雑になりましたが、
これはまあこんな感じです。