到達不能基数 Inaccessible Cardinal

|| 到達不能？

数学の「天井」みたいなもの。

サイズの限界を考える時に使われます。

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目次

　

・弱到達不能基数「正則で非可算なことだけが条件の極限基数」

・強到達不能基数「弱到達不能基数に冪集合の条件を加えたやつ」

　

　

・連続体濃度「実数の濃度と同じ濃度」

・連続体仮説「自然数と実数の間に濃度がないという仮説」

　

　

　

　

　

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これは一言で言えば

「めちゃくちゃでかい大きさ」とか

なんかそんな感じのやつなんですけど

　

　

詳しく理解するとなると

『カントールの定理』『冪集合』とか

『順序数』『基数』『極限基数』とか

　

　

この辺りの知識が必須になるので

この記事単体では解説しきれません。

　

　

なのでこの記事を読む前に

まずは必要な知識から覚えることを推奨します。

　

　

　

　

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弱到達不能基数 Weakly Inaccessible

　

|| 弱いっていうか広い到達不能な大きさ

『正則で非可算な極限基数』のこと。

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(ω_n)&=&ω_n \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&<&\aleph \end{array}$

　

『非可算』の条件はついてない場合もあります。

　

　

　

　

　

補足

　

これに限らず

「弱い」という単語は『縛りの弱さ』を表していて

　

　

まあつまり「弱い」ということは

「広い範囲」をカバーしている

ということを意味しています。

　

　

　

　

　

採用されるもの

　

「弱い」ってことは『抽象的』だってことで

「強い」ってことは『具体的』だってことです。

　

　

まあつまり

より実用性があるもの

より直感的に分かりやすいものは強い方になります。

　

　

　

　

強到達不能基数 Strongly Inaccessible

　

|| 字面がなんか超強い

「弱到達不能基数」より具体的なやつ。

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀κ<κ_{\mathrm{inac}} & 2^{κ}<κ_{\mathrm{inac}} \end{array}$

　

「 $κ$ 」は『正則な極限基数』ってことにします。

　

　

　

　

　

最小の到達不能基数

　

弱到達不能基数がそうであるように

これも非可算性を要求しないときがあるようです。

　

　

その場合

『最小の無限濃度 $\aleph_0$ 』が

「強到達不能基数」になります。

　

　

　

　

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冪集合と非加算無限

　

『カントールの定理』より

「基数」には次の関係が成立します。

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&<&|2^N| \end{array}$

　

この時の「冪集合 $2^N$ の濃度」が

「非加算」と呼ばれる大きさで

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀κ<κ_{\mathrm{inac}} & 2^{κ}<κ_{\mathrm{inac}} \end{array}$

　

「到達不能基数」は

これよりも大きなサイズの中でも

特に「正則」な『極限基数』のことを指します。

　

　

　

まあつまり

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |R| \\ \\ |2^N| \end{array}$

　

こういったサイズより確実に大きいと分かる

そんな巨大なサイズが「到達不能基数」になります。

　

　

　

　

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連続体濃度 Continuum

　

|| 連続してるものの濃度

『実数の濃度』のこと。

　

$\begin{array}{cccccccccccccccllllll} \displaystyle |N|&<&|R| \\ \\ &&|R|&=&\aleph \end{array}$

　

「 $\aleph$ 」や「 $\mathfrak{c}$ 」と書かれることが多いです。

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&<&|2^N|&=&\aleph_1 \\ \\ |N|&<&|R|&=&\aleph \end{array}$

　

『 $\aleph_1$ 』ではない理由は

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_1&>&\aleph &&？ \\ \\ \aleph_1&=&\aleph &&？ \\ \\\aleph_1&<&\aleph &&？ \end{array}$

　

その間にあるかもしれないからで

これらが同じである可能性はあります。

（同じとしても特に問題ないことが分かっている）

　

　

　

　

連続体仮説 Continuum Hypothesis

　

|| 間にある濃度についての仮説

↑ の『 $\aleph_0<\aleph_k<\mathfrak{c}$ 』の

『間の濃度 $\aleph_k$ がない』っていう仮説

　

$\begin{array}{ccccccccccccc} \displaystyle \aleph_0&<&\aleph_k&<&\mathfrak{c} \\ \\ n&<&k&<&2^n \end{array}$

　

まあつまり

「自然数全体」より大きくて

「実数全体」より小さいような集合は無い

　

　

言い換えるなら

「最小の濃度 $\aleph_0$ 」の『次の最小の濃度』は

「連続体濃度 $\mathfrak{c}$ 」だって言ってます。

　

　

　

　

　

実際どうなのか

　

これは定理ではなく仮説・公理の類になります。

$ZFC$ では正しいかどうか証明できません。

　

　

「公理系 $ZFC$ 」とは独立な命題である。

正しくても間違ってても特に矛盾は出ない。

　

　

この２つは分かっていますが

だからこそ正しさを証明することはできない

とまあこれはそんな感じのものになります。

　

　

　

　

　

一般連続体仮説 Generalized CH

　

「一般連続体仮説」は

正しかろうと間違っていようと

「 ZFC の正しさ」には影響を及ぼさないので

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle ZFC &&〇 \\ \\ GCH &&？ \end{array}$

　

どちらの場合も採用することができます。

　

　

採用する場合

「一般連続体仮説」は「公理」として扱われ

　

$ZFC+GCH$

　

このように書かれることがあって

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle ZFC+GCH &&〇 \\ \\ ZFC+￢GCH &&〇 \end{array}$

　

この時、この公理系の中で

この仮説は正しかったり間違っていたりします。