投稿日: 投稿者: takan

可測関数 Measurable Function


|| 必ず測度を定義できる関数のこと

要するに普通の関数のこと

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目次

　

可測関数「普通の関数の厳密な定義」

　

　　　可測関数の条件「定義域と像が可測集合」

　　　可測関数の実数上での条件「区間内にある感じ」

　

　

可測関数の具体例「連続関数とか定義関数とか」

　

　　　連続関数は可測関数

　　　定義関数は可測関数

　

　

可測関数の性質「いろいろやっても可測関数」

　

　　　可測関数の定数倍は可測関数

　　　可測関数同士の和は可測関数

　

　　　可測関数同士の積は可測関数

　　　可測関数の冪乗は可測関数

　

　　　可測関数の合成関数は可測関数

　　　可測関数の列の上限下限も可測関数

　

　　　可測関数の正成分・負成分は可測関数

　　　可測関数の絶対値は可測関数

　

　

　

　

　

　

厳密に理解したいなら

「測度」「ルベーグ測度」「位相空間」

「可測空間」「完全加法族」「ボレル集合」

　

μ∗(A∪B)=μ(A)+μ(B)\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(A∪B)&=&μ(A)+μ(B) \end{array}

　

この辺りを知っておく必要がありますが

　

　

かなり込み入ってるので

簡単に理解したいのであれば

この辺りの話はスルーしながら読み進めてください。

　

　

　

　

　

可測関数 Measurable Function

　

|| 可測空間の構造が破綻しない関数

可測空間同士を繋ぐ関数のこと

　

(X,σX)→(Y,σY)\begin{array}{llllll} \displaystyle (X,σ_X)&→&(Y,σ_Y) \end{array}

　

f:X→Y\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&X&\to&Y \end{array}

　

DY∈σY→f−1(DY)∈σX\begin{array}{cclllllll} D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \end{array}

　

まあ要は「普通の関数」のことで

　

f(x)=xx∈DX∈σXf(x)=2xx∈DX∈σXf(x)=sin⁡xx∈DX∈σXf(x)=exx∈DX∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&x && x∈D_X∈σ_X \\ \\ f(x)&=&2x && x∈D_X∈σ_X \\ \\ f(x)&=&\sin x && x∈D_X∈σ_X \\ \\ f(x)&=&e^x && x∈D_X∈σ_X \end{array}

　

ほぼ全ての関数は可測関数になります。

　

　

　

補足しておくと

X,YX,Y の中身にはだいたい実数 R,R2R,R^2 が来ます。

（その場合はボレル集合族上で定義される）

　

　

　

　

　

可測関数の条件

　

可測空間まわりの話はちょっと面倒ですが

こいつの定義自体はすごく単純です。

　

DY∈σY→f−1(DY)∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \end{array}

　

というのも、ちょっと記号があれですが

これは要は「両側が可測集合」ってことなので

定義自体はほんとにそのまま

　

σXσYf−1(DY)←DYf−1(y)←y\begin{array}{ccccccl} \displaystyle σ_X && σ_Y \\ \\ f^{-1}(D_Y) &←&D_Y \\ \\ f^{-1}(y) &←&y \end{array}

　

ちょっと迂遠な言い回しかもしれませんが

特に変な条件ではありません。

　

　

　

　

　

単純な疑問

　

これはどうしてか

逆関数 f−1:X←Yf^{-1}:X←Y で定義されてますが

　

DX∈σX→f(DX)∈σYx∈DX→f(x)∈DY\begin{array}{ccccccccccccccl} \displaystyle D_X∈σ_X &&\to&& f(D_X)∈σ_Y \\ \\ x∈D_X &&\to&& f(x)∈D_Y \end{array}

　

別にこれでもよくない？ってなりますよね。

　

x∈DX∈σXf(x)∈f(DX)∈σY\begin{array}{cccllllll} \displaystyle x&∈&D_X&∈&σ_X \\ \\ f(x)&∈&f(D_X)&∈&σ_Y \end{array}

　

これはこれで

DX,f(DX)D_X,f(D_X) は両方とも可測集合ですし。

　

　

　

　

　

なぜ逆関数なのか

　

これは主に

「逆関数の性質」の良さと

　

f(X∪A)=f(X)∪f(A)f−1(Y∪B)=f−1(Y)∪f−1(B)f(X∩A)⊂f(X)∩f(A)f−1(Y∩B)=f−1(Y)∩f−1(B)\begin{array}{ccccccccccc} \displaystyle f(X ∪ A)&=&f(X) ∪ f(A) \\ \\ f^{-1}(Y ∪ B)&=&f^{-1}(Y) ∪ f^{-1}(B) \\ \\ \\ \displaystyle f(X ∩ A)&\textcolor{skyblue}{⊂}&f(X) ∩ f(A) \\ \\ f^{-1}(Y ∩ B)&\textcolor{pink}{=}&f^{-1}(Y) ∩ f^{-1}(B) \end{array}

　

f(X)∖f(A)⊂f(X∖A)f−1(Y)∖f−1(B)=f−1(Y∖B)\begin{array}{ccccccccccccc} f(X)\setminus f(A) &\textcolor{skyblue}{⊂}&f(X\setminus A) \\ \\ f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(B) &\textcolor{pink}{=}& \displaystyle f^{-1}(Y\setminus B) \end{array}

　

「操作」的な話が理由になっていて

　

f(x)=log⁡x\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \log x \end{array}

　

例えばこういった関数の可測性を確認する時

　

{x∈A∣c≤f(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

　

この集合があらゆる cc で可測集合になる

　

　

みたいな条件をよく使うんですが

　

ec=elog⁡xec=x\begin{array}{cccccllll} \displaystyle e^c&=&e^{\log x} \\ \\ e^c&=&x \end{array}

　

c≤log⁡x→ec≤x\begin{array}{llllll} \displaystyle c≤\log x &&\to&& e^c≤x \end{array}

　

これについて確認するためには

このように「逆関数」を求める必要があって

　

I=(−∞,∞)\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&(-\infty,\infty) \end{array}

　

{x∈I∣c≤log⁡x}={x∈I∣ec≤x}=[ec,∞)\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈I \mid c≤\log x \}&=&\{ x∈I \mid e^c≤x \} \\ \\ &=&[e^c,\infty) \end{array}

　

「区間は可測集合である」ことから

　

DY∈σY→f−1(DY)∈σX[c,∞)∈σY→[ec,∞)∈σX[c,∞)∈σY→f−1([c,∞))∈σX\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \\ \\ \\ [c,\infty)&∈&σ_Y &&\to&& [e^c,\infty)&∈&σ_X \\ \\ [c,\infty)&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}([c,\infty))&∈&σ_X \end{array}

　

こんな感じの流れで

可測性は「逆関数」から確認されます。

　

　

　

これは他の関数を調べる場合も同様で

　

{x∈A∣c≤f(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

　

これが「可測集合」であることを調べる際には

だいたい「逆関数」を求めることになります。

（一方向だけじゃなく双方向を調べるので）

　

　

　

　

　

可測集合を意識した条件

　

「可測空間 (X,σX)(X,σ_X) 」が定まっているなら

「完全加法族である σXσ_X の要素」は

「可測集合 AA 」でなければなりません。

　

R={x∣−∞<x<∞}=(−∞,∞)R+=R∪{−∞,∞}=[−∞,∞]\begin{array}{llllll} \displaystyle R&=&\{ x \mid -\infty<x<\infty \} \\ \\ &=&(-\infty,\infty) \\ \\ \\ \displaystyle R^+&=&R∪\{-\infty,\infty\} \\ \\ &=&[-\infty,\infty] \end{array}

　

f:A→R+\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&\to&R^+ \end{array}

　

この事実から

　

　

「可測集合 AA 上の話」として

　

　

DX={x∈A∣c≤f(x)}=f−1([c,∞])\begin{array}{llllll} D_X&=&\displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \\ \\ &=& f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr) \end{array}

　

あらゆる値 c∈Rc∈R で

f−1([c,∞])f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr) が「可測集合 DX∈σXD_X∈σ_X 」である

　

A[c,∞]f−1(f(x))∈σX←f(x)∈σY\begin{array}{cccccccll} \displaystyle A &&[c,\infty] \\ \\ f^{-1}\Bigl( f(x) \Bigr)∈σ_X &←& f(x)∈σ_Y \end{array}

　

始めに紹介した条件を

　

(Y,σY)→(R,Borel(R))(R,B(R))(R,B(R))(R,B(R))(R,σ(O(R)))\begin{array}{llllll} \displaystyle (Y,σ_Y)&&\to&&\begin{array}{llll} \displaystyle (R,\mathrm{Borel}(R)) \\ \\ (R,\mathfrak{B}(R)) \\ \\ (\mathbb{R},\mathfrak{B}(\mathbb{R})) \\ \\ (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) \\ \\ (\mathbb{R},σ(O(\mathbb{R}) ) ) \end{array} \end{array}

　

可測だと分かってる R,R+R,R^+ で言い換えたこれが

　

　

関数 ff が「可測関数である」ための

最低限の条件として扱われることがあります。

（こっちの方がよく使う）

　

　

　

補足しておくと

c<f(x)c<f(x) のとり方については

　

{x∈A∣f(x)≤c}=f−1([−∞,c]){x∈A∣f(x)<c}=f−1([−∞,c)){x∈A∣c<f(x)}=f−1((c,∞])\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)≤c \} &=& f^{-1}\Bigl( [-\infty,c] \Bigr) \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)<c \} &=& f^{-1}\Bigl( [-\infty,c) \Bigr) \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid c<f(x) \} &=& f^{-1}\Bigl( (c,\infty] \Bigr) \end{array}

　

「ボレル集合」が「完全加法族」である

つまりこの集合が「可測である」以上

　

{x∈A∣f(x)≤c}c={x∈A∣c<f(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)≤c \}^c &=&\{ x∈A \mid c<f(x) \} \end{array}

　

「可測集合の補集合もまた可測集合」なので

どのようにとってもOKです。

　

　

　

　

　

可測関数であると同値？

　

AA が可測集合であること

　

(A,σA)(R+,B(R+))f:A→R+\begin{array}{ccccccccccll} &&(A,σ_A)&&(R^+,\mathfrak{B}(R^+)) \\ \\ \displaystyle f&:&A&\to&R^+ \end{array}

　

関数 ff がこうであること

　

　

この前提のもと

「 ff が可測関数である」こと

　

DY∈σY→f−1(DY)∈σXI∈B(R+)→f−1(I)∈σA\begin{array}{cccccclcccll} \displaystyle D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \\ \\ I&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&& f^{-1}(I)&∈&σ_A \end{array}

　

全ての cc で

　

f−1([c,∞])={x∈A∣c≤f(x)}\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

　

これが「可測集合になる」こと

　

　

これらが同値であることを

念のため確認しておきます。

　

　

　

　

　

可測関数である → この条件

　

まず以下が正しいことを前提として

　

I∈B(R+)→f−1(I)∈σA\begin{array}{llllll} \displaystyle I&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&& f^{-1}(I)&∈&σ_A \end{array}

　

集合 II について

　

I=[c,∞]\begin{array}{llllll} \displaystyle I&=&[c,\infty] \end{array}

　

任意にとれる値 cc を使って

このように定めてみると

　

f−1([c,∞])={x∈A∣c≤f(x)}\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

　

逆関数の中身はこうで

　

I∈B(R+)→f−1(I)∈σA\begin{array}{llllll} \displaystyle I&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&& f^{-1}(I)&∈&σ_A \end{array}

　

f−1(I)∈σA{x∈A∣c≤f(x)}∈σA\begin{array}{ccclll} f^{-1}(I)&∈&σ_A \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \}&∈&σ_A \end{array}

　

これは前提より

「可測集合」になりますから

　

{x∈A∣c≤f(x)}∈σA\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \}&∈&σ_A \end{array}

　

任意の cc でこれが可測集合になる以上

『可測集合である → 実数での条件』

これは成立すると言えます。

　

　

　

　

　

この条件 → ff は可測関数である

　

↑ の話とは逆に

　

f−1([c,∞])={x∈A∣c≤f(x)}\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

　

今度は

任意の cc でこれが可測集合になる

　

f−1([c,∞])∈σA\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \end{array}

　

この条件を前提に考えてみます。

　

　

すると

　

[c,∞]∈B(R+)\begin{array}{llllll} \displaystyle [c,\infty]&∈&\mathfrak{B}(R^+) \end{array}

　

これは単なる事実で

　

True→f−1([c,∞])∈σA[c,∞]∈B(R+)→f−1([c,∞])∈σA\begin{array}{cllllll} \mathrm{True} &&\to&&\displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \\ \\ [c,\infty]∈\mathfrak{B}(R^+) &&\to&&\displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \end{array}

　

明らかにこれは成立しますから

　

[c,∞]∈B(R+)→f−1([c,∞])∈σAI∈B(R+)→f−1(I)∈σA\begin{array}{cccccccccc}[c,\infty]&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&&\displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \\ \\ \displaystyle I&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&& f^{-1}(I)&∈&σ_A \end{array}

　

すぐにこれが事実として導かれ

　

f:A→R+\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&\to&R^+ \end{array}

　

ff の定義より

　

f−1([c,∞])={x∈A∣c≤f(x)}\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

　

f−1(Y)f^{-1}(Y) の YY は

[c,∞][c,\infty] の形に限定されてますから

　

[c,∞]∈B(R+)→f−1([c,∞])∈σA\begin{array}{llllll} \displaystyle [c,\infty]&∈&\mathfrak{B}(R^+) &&\to&&\displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \end{array}

　

ff は間違いなく可測関数だと言えるため

　

　

『実数での条件 → 可測集合である』

これもまた成立すると言えます。

　

　

　

　

　

他の範囲のとり方

　

↑ は以下の場合でも

　

{x∈A∣c<f(x)}{x∈A∣f(x)<c}{x∈A∣f(x)≤c}\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c<f(x) \} \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)<c \} \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid f(x)≤c \} \end{array}

　

同様の手順を辿ることができますから

全て「可測関数である」ことの条件になります。

　

　

　

　

　

非可測関数の例

　

「非可測な関数」を作るのは

「ルベーグ非可測な集合」を前提とすれば

　

1V(x)={1x∈V0x∉V\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_V(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{llllll} \displaystyle 1&&x∈V \\ \\ 0&&x∉V \end{array} \right. \end{array}

　

簡単に生成できます。

（ヴィタリ集合は別記事）

　

　

　

　

　

可測関数の具体例

　

可測空間 (X,σX),(Y,σY)(X,σ_X),(Y,σ_Y) 上の話とすると

ほぼ全ての関数は可測関数になります。

（より正確にはそうでなければなりません）

　

f(x)=ax+bf(x)=ax2f(x)=sin⁡x\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&ax+b \\ \\ f(x)&=&ax^2 \\ \\ f(x)&=&\sin x \end{array}

　

1A(x)={1x∈A0x∉A\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_A(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle 1 &&x \in A \\ \\ 0 &&x \not\in A \end{array} \right. \end{array}

　

具体的にはこれらは可測関数で

　

　

これらの足し算やら掛け算やら

合成関数やら逆関数も可測関数になります。

（こっちもそうじゃないといけません）

　

　

　

　

　

連続関数は可測関数

　

「連続関数」は「区間→区間」の関数で

　

2x:1→212x:1←2\begin{array}{llllll} \displaystyle 2x&:&1&\to&2 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}x&:&1&←&2 \end{array}

　

「逆関数」はただ逆を辿るだけなので

直感的にはもちろん可測関数です。

（というか可測関数であるべきです）

　

　

　

　

　

連続関数ならなんでも可測関数？

　

定義からちゃんとそうなるのか

きちんと確認するために定義を確認しておきます。

　

lim⁡x→cf(x)=f(c)\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to c}f(x)&=&f(c) \end{array}

∣x−c∣<δ⇒∣f(x)−f(c)∣<ε\begin{array}{llllll} \displaystyle |x-c|<δ&&⇒&&|f(x)-f(c)|<ε \end{array}

　

まず「連続関数」ですが

これは「全ての cc で連続である関数」のことで

　

　

「定義域」の中では

どの点も「繋がっている」状態にあります。

　

　

これで分かると思うんですが

　

f:A→R+\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&\to&R^+ \end{array}

　

関数がこのように定義できるなら

　

c≤f(x)→[c,∞]\begin{array}{llllll} \displaystyle c&≤&f(x) &&\to&&[c,\infty] \end{array}

　

関数はこの範囲の値をとる上に

　

f−1([c,∞])={x∈A∣c≤f(x)}\begin{array}{llllll} f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} \end{array}

　

任意の cc でこれが成立するので

これはこのようになります。

　

　

　

　

　

開集合と閉集合と連続

　

これを厳密に示すには

「位相」「開集合」の説明が必要です。

　

　

ただこの辺りは長くなりすぎるので

省略して結果だけ紹介すると

　

∣x−c∣<δ→∣f(x)−f(c)∣<ε\begin{array}{llllll} \displaystyle |x-c|<δ &\to& |f(x)-f(c)|<ε \end{array}

　

「位相空間」上では

　

f−1([c,∞])←[c,∞]\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&←&[c,\infty] \end{array}

　

(X,OX)→(Y,OY)\begin{array}{llllll} \displaystyle (X,O_X)&\to&(Y,O_Y) \end{array}

　

「連続写像（関数）」は

　

f−1(V)∈OX←V∈OY\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}(V)∈O_X &&←&& V∈O_Y \end{array}

　

「開集合 ← 開集合」（開区間 ← 開区間）

「閉集合 ← 閉集合」になる（詳細は別記事）

という形で定義されているので

　

O∈σ\begin{array}{llllll} \displaystyle O&∈&σ \end{array}

　

「開集合・閉集合が可測である」ことから

　

f−1([c,∞])∈σA\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&∈&σ_A \end{array}

　

逆像 f−1([c,∞])f^{-1}([c,\infty]) もまた可測になるため

「連続関数」は「可測である」と言えます。

（直感的には (0,1)←(0,2)(0,1)←(0,2) こんな感じ）

　

　

　

　

　

定義関数は可測関数

　

定義関数については

　

A⊂XA∈σX\begin{array}{ccccllll} A&⊂&X \\ \\ \displaystyle A&∈&σ_X \end{array}

　

「逆関数の定義域が 00 か 11 」であること

　

1A(x)={1x∈A0x∉A\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_A(x)&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle 1 &&x \in A \\ \\ 0 &&x \not\in A \end{array} \right. \end{array}

　

その考えられる出力が

以下の 44 通りしかないことから

　

1A−1(1)→A1A−1(0)→Ac\begin{array}{llllll} \displaystyle 1_A^{-1}(1)&→&A \\ \\ 1_A^{-1}(0)&→&A^c \end{array}

　

∅∈σXA∈σXAc∈σXX∈σX\begin{array}{llllll} ∅&∈&σ_X \\ \\ \displaystyle A&∈&σ_X \\ \\ A^c&\in&σ_X \\ \\ X&∈&σ_X \end{array}

　

その全ての要素が

「 σXσ_X の要素である」

これが確かである以上

　

DY=0,1\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Y&=&0,1 \end{array}

　

DY∈σY→1A−1(DY)∈σX0,1∈σY→∅,A,Ac,X∈σX\begin{array}{rcccrll} D_Y∈σ_Y &&\to&& 1_A^{-1}(D_Y)∈σ_X \\ \\ \displaystyle 0,1∈σ_Y &&\to&& ∅,A,A^c,X ∈σ_X \end{array}

　

改めて言うまでもなく

「定義関数 1A(x)1_A(x) 」は

「可測関数」の条件を満たすと言えます。

　

　

　

　

　

可測関数への各操作

　

まず前提として

「普通の関数」は「可測でなければならない」

これが順番的には先であることを意識しておきましょう。

　

f+gfgf∘gαfα∈R∣f∣αα∈R\begin{array}{cllllll} \displaystyle f+g \\ \\ fg \\ \\ f\circ g \\ \\ αf &&α∈R \\ \\ |f|^α &&α∈R \end{array}

　

その上で

「可測関数の定義として定めたこと」

　

DY∈σY→f−1(DY)∈σX\begin{array}{llllll} D_Y&∈&σ_Y &&\to&& f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \end{array}

　

f−1([c,∞])={x∈A∣c≤f(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{-1}\Bigl( [c,\infty] \Bigr)&=&\displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} &∈&σ_X \end{array}

　

これが正しいかどうか確認していきます。

　

　

　

　

　

使う記号の整理

　

ちょっと記号がややこしいので

使うやつを整理しておきます。

　

(X,σX)(Y,σY)(Z,σZ)\begin{array}{ccccccccccc} (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \end{array}

　

まず可測空間はこんな感じ

　

(X,σX)(Y,σY)(Z,σZ)x∈X∈σXy∈Y∈σYz∈Z∈σz\begin{array}{ccccccccccc} (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ x∈X∈σ_X && y∈Y∈σ_Y && z∈Z∈σ_z \end{array}

　

実数 x,y,zx,y,z の所在はこんな感じで

　

(X,σX)(Y,σY)(Z,σZ)fX→YgY→Z\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f &X &\to& Y \\ \\ g& && Y &\to &Z \end{array}

　

関数（一意出力の写像）はこんな感じです。

　

　

　

また

　

(X,σX)(Y,σY)(Z,σZ)f−1X←Yg−1Y←Z\begin{array}{ccccccccccc} & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f^{-1} &X &←& Y \\ \\ g^{-1}& && Y&←&Z \end{array}

　

逆関数 f−1,g−1f^{-1},g^{-1} はこんな感じで

　

　

合成関数 g∘fg \circ f は

　

(X,σX)(Y,σY)(Z,σZ)fX→YgY→Zg∘fX→Z(g∘f)−1X←Z\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f &X &\to& Y \\ \\ g& && Y&\to&Z \\ \\ \\ g \circ f &X&& &\to& Z \\ \\ (g \circ f)^{-1} &X&& &←& Z \end{array}

　

g∘f(x)=g(f(x))\begin{array}{llllll} \displaystyle g \circ f(x)&=&g\Bigl( f(x) \Bigr) \end{array}

　

ちょっとややこしいですが

　

(g∘f)−1\begin{array}{llllll} \displaystyle (g \circ f)^{-1} \end{array}

　

経路が Z→Y→XZ \to Y\to X であることから

　

(X,σX)(Y,σY)(Z,σZ)f−1X←Yg−1Y←Z(g∘f)−1X←Zf−1∘g−1X←Z\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f^{-1} &X &←& Y \\ \\ g^{-1}& && Y&←&Z \\ \\ \\ (g \circ f)^{-1} &X&& &←& Z \\ \\ f^{-1} \circ g^{-1} &X&& &←& Z \end{array}

　

(g∘f)−1(z)=xf−1∘g−1(z)=f−1(g−1(z))=f−1(y)=x\begin{array}{llllll} (g \circ f)^{-1}(z)&=&x \\ \\ \\ \displaystyle f^{-1} \circ g^{-1}(z) &=& f^{-1} \Bigl( g^{-1}(z) \Bigr) \\ \\ &=&f^{-1} \Bigl( y \Bigr) \\ \\ &=&x \end{array}

　

(g∘f)−1(z)=f−1∘g−1(z)f−1∘g−1=f−1(g−1(z))\begin{array}{llllll} \displaystyle (g \circ f)^{-1}(z)&=&f^{-1} \circ g^{-1} (z) \\ \\ && f^{-1} \circ g^{-1}&=&f^{-1} \Bigl( g^{-1}(z) \Bigr) \end{array}

　

こんな感じになっています。

　

　

　

　

　

合成関数の諸注意

　

合成関数は交換ができない

　

g∘f≠f∘g\begin{array}{llllll} \displaystyle g \circ f&≠&f \circ g \end{array}

　

これはちゃんと理解しておく必要があります。

　

f(x)=x+1g(x)=2x+1→f(g(x))=(2x+1)+1g(f(x))=2(x+1)+1\begin{array}{llllll} \displaystyle \begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&x+1 \\ \\ g(x)&=&2x+1 \end{array} &\to& \begin{array}{llllll} \displaystyle f \Bigl( g(x) \Bigr)&=&(2x+1)+1 \\ \\ \displaystyle g \Bigl(f(x) \Bigr)&=&2(x+1)+1 \end{array} \end{array}

　

記号としては細かく見えますが

交換をしてしまうのは明確な間違いなので

しないようにしましょう。

　

g(y)=zDefinedf(z)=？not  Defined\begin{array}{ccccr} \displaystyle g(y)&=&z && \mathrm{Defined} \\ \\ f(z)&=& ？ &&\mathrm{not} \,\, \mathrm{Defined} \end{array}

　

ちなみに表記としては

「出力 zz するやつ g(y)g(y) が左」で

「その中身 y=f(x)y=f(x) が右」になります。

　

　

　

　

　

可測関数の定数倍は可測関数

　

ff が可測関数である

　

{x∈A∣c≤f(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x) \} &∈&σ_X \end{array}

　

この事実から

　

Akf={x∈A∣c≤kf(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{kf}&=&\displaystyle \{ x∈A \mid c≤kf(x) \} \end{array}

　

Akf→{x∈A | ck≤f(x)}∈σX0<k{x∈A | c≤0}∈σXk=0{x∈A | f(x)≤ck}∈σXk<0\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{kf} &\to&\begin{array}{rllllll} \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, \frac{c}{k}≤f(x) \right\}∈σ_X &&0<k \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤0 \right\}∈σ_X &&k=0 \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, f(x)≤\frac{c}{k} \right\}∈σ_X &&k<0\end{array} \end{array}

　

{x∈A | c≤0}={Ac≤0∅0<c\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤0 \right\} &=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccclllll} \displaystyle A && c≤0 \\ \\ ∅ && 0<c \end{array} \right. \end{array}

　

これはすぐに導かれます。

　

　

　

　

　

可測関数同士の和は可測関数

　

f,gf,g が可測関数である

これがゴールであることから

　

Af+g={x∈A∣c≤f(x)+g(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{f+g}&=&\displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x)+g(x) \} \end{array}

　

今の時点ではよく分かりませんが

　

{x∈A∣c1≤f(x)}∈σX{x∈A∣c2≤g(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \{ x∈A \mid c_1≤f(x) \}&∈&σ_X \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid c_2≤g(x) \} &∈&σ_X \end{array}

　

{x∈A∣c1≤f(x)}∪{x∈A∣c2≤g(x)}{x∈A∣c1≤f(x)}∩{x∈A∣c2≤g(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c_1≤f(x) \}&∪&\{ x∈A \mid c_2≤g(x) \} \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid c_1≤f(x) \}&∩&\{ x∈A \mid c_2≤g(x) \} \end{array}

　

可測だと示したい Af+gA_{f+g} を

どうにかこんな形にすれば

　

{x∈A∣c≤f(x)+g(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x)+g(x) \} &∈&σ_X \end{array}

　

「可測関数の和」の可測性

これを示すことができそうな気がします。

　

　

　

　

　

力技で分割する

　

ゴールは明確なので

　

c≤f(x)+g(x)−g(x)+c≤f(x)\begin{array}{rllllll} \displaystyle c&≤&f(x)+g(x) \\ \\ -g(x)+c&≤&f(x) \end{array}

　

この関係と

　

A∩B={x∣x∈A∧x∈B}={x∣x∈A}∩{x∣x∈B}\begin{array}{llllll} A∩B&=& \displaystyle \{ x \mid x∈A∧x∈B \} \\ \\ &=& \{ x \mid x∈A \}∩\{ x \mid x∈B \} \end{array}

　

集合の共通部分の定義

　

(a,∞)=⋃q∈Q(a,q)\begin{array}{llllll} (a,\infty)&=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q} (a,q) \end{array}

　

そして和集合の性質から

　

−g(x)+c≤f(x)−g(x)+c<q<f(x)\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c && &≤&f(x) \\ \\ -g(x)+c &<& q&<&f(x) \end{array}

　

点 qq で分割して

f(x),g(x)f(x),g(x) を分離してみます。

　

Af+g={x∈A∣c≤f(x)+g(x)}={x∈A∣−g(x)+c≤f(x)}=⋃q∈Q{x∈A∣−g(x)+c<q∧q<f(x)}=⋃q∈Q{x∈A∣−g(x)+c<q}∩{x∈A∣q<f(x)}\begin{array}{llllll} A_{f+g} &=& \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x)+g(x) \} \\ \\ &=&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q \}∩\{ x∈A \mid q<f(x) \} \end{array}

　

するとこのような形になるので

　

{x∈A∣−g(x)+c<q}∈σX{x∈A∣q<f(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q \}&∈&σ_X \\ \\ \{ x∈A \mid q<f(x) \}&∈&σ_X \end{array}

　

これが可測で

　

{x∈A∣−g(x)+c<q}∩{x∈A∣q<f(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q \}∩\{ x∈A \mid q<f(x) \} &∈&σ_X \end{array}

　

この「共通部分」「和集合」

これらも「可測」になることから

　

{x∈A∣c≤f(x)+g(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid c≤f(x)+g(x) \}&∈&σ_X \end{array}

　

結果的として

これは可測関数の条件を満たすことになります。

　

　

　

　

　

変な式変形

　

以下の式変形について

　

Af+g={x∈A∣−g(x)+c≤f(x)}=⋃q∈Q{x∈A∣−g(x)+c<q∧q<f(x)}\begin{array}{llllll} A_{f+g} &=&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

　

着地を考えると

　

A∩B={x∣x∈A∧x∈B}={x∣x∈A}∩{x∣x∈B}\begin{array}{llllll} A∩B&=& \displaystyle \{ x \mid x∈A∧x∈B \} \\ \\ &=& \{ x \mid x∈A \}∩\{ x \mid x∈B \} \end{array}

　

{x∈A∣−g(x)+c<q}∩{x∈A∣q<f(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q \}∩\{ x∈A \mid q<f(x) \} &∈&σ_X \end{array}

　

最終的にこうなる

ここを目指している

そのことは納得できると思うんですが

　

Af+g={x∈A∣−g(x)+c≤f(x)}=⋃q∈Q{x∈A∣−g(x)+c<q∧q<f(x)}\begin{array}{llllll} A_{f+g} &=&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

　

これほんと？って感じだと思うので

きちんと確認しておきます。

　

　

　

　

　

代わりの数と全部の数

　

以下の大小関係から

　

−g(x)+c≤f(x)\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c&≤&f(x) \end{array}

　

以下の関係に切り替える

　

−g(x)+c<q∧q<f(x)\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c<q&∧&q<f(x) \end{array}

　

これは関数を分離する上で必須の操作ですが

　

{x∈A∣−g(x)+c≤f(x)}=⋃q∈Q{x∈A∣−g(x)+c<q∧q<f(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle &&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

　

ここで「和集合をとれば両者が一致する」

この部分、なんかちょっと怪しいですよね。

　

　

やってることは

　

−g(x)+c≤f(x)→q<f(x)−g(x)+c≤f(x)→−g(x)+c<q\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c&≤&f(x) &&\to && && q&<&f(x) \\ \\ \displaystyle -g(x)+c&≤&f(x) &&\to &&-g(x)+c&<&q \end{array}

　

g(x)[c−q,∞)f(x)[q,∞)\begin{array}{rllllll} \displaystyle g(x) && [c-q,\infty) \\ \\ f(x) && [q,\infty) \end{array}

　

「範囲を定数 qq で固定する」ことと

（関数 f(x),g(x)f(x),g(x) のままでは範囲が特定できない）

　

{x∈A∣−g(x)+c<q1∧q1<f(x)}{x∈A∣−g(x)+c<q2∧q2<f(x)}⋮\begin{array}{cllllll} \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q_1∧q_1<f(x) \} \\ \\ \displaystyle \{ x∈A \mid -g(x)+c<q_2∧q_2<f(x) \} \\ \\ \vdots \end{array}

　

⋃q∈Q{x∈A∣−g(x)+c<q∧q<f(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

　

定数 qq の全域化・変数化なんですが

（関数 f,gf,g が任意の値をとることから）

　

q<f(x)→∀q q<f(x)[q,∞]→[−∞,∞]\begin{array}{ccccccclll} \displaystyle q<f(x) &&→&&\displaystyle \forall q \, q<f(x) \\ \\ [q,\infty] &&→&& [-\infty,\infty] \end{array}

　

ちょっと分かり辛いと思います。

　

(a,∞)=⋃q∈Q(a,q)(−∞,b)=⋃q∈Q(q,b)\begin{array}{cllllll} (a,\infty)&=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q} (a,q) \\ \\ (-\infty,b)&=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q} (q,b) \end{array}

　

これが分かればなんとなく分かると思うんですが

　

{x∈A∣−g(x)+c≤f(x)}=⋃q∈Q{x∈A∣−g(x)+c<q∧q<f(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle &&\{ x∈A \mid -g(x)+c≤f(x) \} \\ \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{q∈Q}\{ x∈A \mid -g(x)+c<q∧q<f(x) \} \end{array}

　

やってることが理解できないと

これがこうなる理由は分からないかもしれません。

　

　

　

　

　

有理数の稠密性

　

↑ は「有理数が稠密である」こと

　

a<q<b\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&q&<&b \end{array}

　

これを利用した考え方なんですが

「稠密」とかいきなり言われても

なんかよく分からないですよね。

　

　

「稠密（ちゅうみつ）」の意味は

「ぎっしり詰まってる」とか

なんかそういう感じなんですが

　

a<q<b\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&q&<&b \end{array}

　

これだけ言われてもって感じだと思います。

　

　

　

　

　

稠密だから間が存在する

　

「稠密である」こと

　

a<q<b\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&q&<&b \end{array}

　

これは数式的には

このような有理数 qq が必ず存在する

という感じに定義されていて

　

　

以下の操作は

　

−g(x)+c≤f(x)−g(x)+c<q<f(x)−g(x)+c<q∧q<f(x)\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c &&&& ≤ &&&& f(x) \\ \\ \displaystyle -g(x)+c&<&&&q&&&<&f(x) \\ \\ \displaystyle -g(x)+c&<&q&&∧&&q&<&f(x) \end{array}

　

「稠密である」からこそできることになります。

　

　

大小関係が以下のようになるなら

　

−g(x)+c<f(x)\begin{array}{llllll} \displaystyle -g(x)+c & < & f(x) \end{array}

　

f(x)f(x) と −g(x)+c-g(x)+c の差をどれだけ縮めても

その間に qq は必ず存在するので

　

　

　

　

　

可測関数同士の積は可測関数

　

これは関数の積の式変形から

　

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2\begin{array}{llllll} \displaystyle (a+b)^2 &=& a^2+2ab+b^2 \\ \\ (a-b)^2 &=& a^2-2ab+b^2 \end{array}

　

f(x)g(x)=14((f(x)+g(x))2−(f(x)−g(x))2)\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)g(x)&=&\displaystyle \frac{1}{4}\left ( \Bigl( f(x)+g(x) \Bigr)^2-\Bigl( f(x)-g(x) \Bigr)^2 \right) \end{array}

　

「 22 乗しても可測である」

　

Af2={x∈A | c≤(f(x))2}\begin{array}{llllll} A_{f^2}&=& \displaystyle \left\{ x∈A \,\middle|\, c≤\Bigl(f(x) \Bigr)^2 \right\} \end{array}

　

Af2=Ac<0Af2={x∈A | f(x)≤−c∧c≤f(x)}0≤c\begin{array}{cccllllll} \displaystyle A_{f^2}&=&A &&c<0 \\ \\ A_{f^2}&=&\displaystyle \left\{ x∈A \,\middle|\, f(x)≤-\sqrt{c} ∧ \sqrt{c}≤f(x) \right\} &&0≤c \end{array}

　

c≤(f(x))2→f(x)≤−c∧c≤f(x)\begin{array}{llllll} \displaystyle c≤\Bigl(f(x)\Bigr)^2&\to&f(x)≤-\sqrt{c} ∧ \sqrt{c}≤f(x) \end{array}

　

「可測関数の定数倍は可測である」

「可測関数の和も可測である」

これらを踏まえると

　

{x∈A | c≤f(x)g(x)}{x∈A | c≤14((f(x)+g(x))2−(f(x)−g(x))2)}\begin{array}{llllll} \displaystyle \left\{ x∈A \,\middle|\, c≤f(x)g(x) \right\} \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤\frac{1}{4}\left ( \Bigl( f(x)+g(x) \Bigr)^2-\Bigl( f(x)-g(x) \Bigr)^2 \right) \right\} \end{array}

　

f,gf,g が可測であれば

その積 f(x)g(x)f(x)g(x) が可測であることは

すぐに確かめられます。

　

　

　

　

　

可測関数の絶対値の冪乗は可測関数

　

ff が可測関数であることから

　

{x∈A∣c≤∣f(x)∣α}\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \{ x∈A \mid c≤|f(x)|^α \} \end{array}

　

{x∈A | c1α≤∣f(x)∣}∈σX0<α{x∈A | c≤1}∈σXα=0{x∈A | ∣f(x)∣≤c1α}∈σXα<0\begin{array}{rllllll} \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c^{\frac{1}{α}}≤|f(x)| \right\}∈σ_X &&0<α \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤1 \right\}∈σ_X &&α=0 \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, |f(x)|≤ c^{\frac{1}{α}} \right\}∈σ_X &&α<0 \end{array}

　

これもすぐに確認することができます。

　

　

指数の大小関係と

　

2<∣x∣−22<1∣x∣22∣x∣2<1∣x∣2<12\begin{array}{cccllll} \displaystyle 2&<& |x|^{-2} \\ \\ 2&<&\displaystyle \frac{1}{|x|^{2}} \\ \\ 2|x|^{2}&<& 1 \\ \\ |x|^{2}&<&\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}

　

2<∣x∣−2∣x∣<2−12\begin{array}{cccll} \displaystyle 2&<& |x|^{-2} \\ \\ |x|&<&2^{-\frac{1}{2}} \end{array}

　

集合の関係がちょっと大変ですが

　

c1α≤∣f(x)∣f(x)≤−c1αc1α≤f(x)\begin{array}{llllll} && && \displaystyle c^{\frac{1}{α}}&≤&|f(x)| \\ \\ f(x)&≤&\displaystyle -c^{\frac{1}{α}} && \displaystyle c^{\frac{1}{α}}&≤&f(x) \end{array}

　

A∣f∣α={x∈A | c1α≤∣f(x)∣}={x∈A | f(x)≤−c1α∧c1α≤f(x)}={x∈A | f(x)≤−c1α}∩{x∈A | c1α≤f(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{|f|^α} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c^{\frac{1}{α}}≤|f(x)| \right\} \\ \\ &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, f(x)≤-c^{\frac{1}{α}} ∧ c^{\frac{1}{α}}≤f(x) \right\} \\ \\ &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, f(x)≤-c^{\frac{1}{α}} \right\}∩\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c^{\frac{1}{α}}≤f(x) \right\} \end{array}

　

この辺りが分かれば

特に疑問に思う部分は無いと思います。

　

　

　

　

　

可測関数の合成関数は可測関数

　

これは可測関数の定義から

　

DZ∈σZ→(g∘f)−1(DZ)∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Z&∈&σ_Z &&\to&&(g \circ f)^{-1}(D_Z)&∈&σ_X \end{array}

　

このような形ですぐに導かれます。

　

(X,σX)(Y,σY)(Z,σZ)fX→YgY→Zg∘fX→Z(g∘f)−1X←Z\begin{array}{ccccccccccccccc} \displaystyle & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ \\ f &X &\to& Y \\ \\ g& && Y&\to&Z \\ \\ \\ g \circ f &X&& &\to& Z \\ \\ (g \circ f)^{-1} &X&& &←& Z \end{array}

　

というのも

f,gf,g は前提より可測関数なので

　

(X,σX)(Y,σY)(Z,σZ)f−1X←Yg−1Y←Z\begin{array}{ccccccccccc} & (X,σ_X)&&(Y,σ_Y)&&(Z,σ_Z) \\ \\ f^{-1} &X &←& Y \\ \\ g^{-1}& && Y&←&Z \end{array}

　

当然 ↓ のようになりますから

　

DZ∈σZ→g−1(DZ)∈σYDY∈σY→f−1(DY)∈σX\begin{array}{llllll} D_Z&∈&σ_Z &&\to&&g^{-1}(D_Z)&∈&σ_Y \\ \\ D_Y&∈&σ_Y &&\to&& \displaystyle f^{-1}(D_Y)&∈&σ_X \end{array}

　

g−1(DZ)∈σY→f−1(g−1(DZ))∈σX\begin{array}{cccllllll} g^{-1}(D_Z)&∈&σ_Y&&\to&&f^{-1}\Bigl(g^{-1}(D_Z) \Bigr)&∈&σ_X \end{array}

　

→→ の推移律

　

A→B→CA→C\begin{array}{llllll} \displaystyle A&\to&B&\to&C \\ \\ A && \to &&C \end{array}

　

つまり「三段論法」を考えると

　

DZ∈σZ→g−1(DZ)∈σYg−1(DZ)∈σY→f−1(g−1(DZ))∈σX\begin{array}{llllll} D_Z&∈&σ_Z &&\to&&g^{-1}(D_Z)&∈&σ_Y \\ \\ && && &&g^{-1}(D_Z)&∈&σ_Y &&\to&&f^{-1}\Bigl(g^{-1}(D_Z) \Bigr)&∈&σ_X \end{array}

　

DZ∈σZ→f−1(g−1(DZ))∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Z&∈&σ_Z &&\to&&f^{-1}\Bigl(g^{-1}(D_Z) \Bigr)&∈&σ_X \end{array}

　

そのまま

このような関係が得られます。

　

　

　

　

　

可測関数の合成関数は可測である

　

以上のことから

　

DZ∈σZ→f−1(g−1(DZ))∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Z&∈&σ_Z &&\to&&f^{-1}\Bigl(g^{-1}(D_Z) \Bigr)&∈&σ_X \end{array}

　

(g∘f)−1(z)=f−1∘g−1(z)=f−1(g−1(z))\begin{array}{llllll} \displaystyle (g \circ f)^{-1}(z)&=&f^{-1} \circ g^{-1}(z) \\ \\ &=&f^{-1} \Bigl( g^{-1}(z) \Bigr) \end{array}

　

こうなので

　

DZ∈σZ→(g∘f)−1(DZ)∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle D_Z&∈&σ_Z &&\to&&(g \circ f)^{-1}(D_Z)&∈&σ_X \end{array}

　

こうなりますから

「可測関数 f,gf,g の合成関数 g∘fg\circ f 」は

「可測関数の条件」を満たしていると言えます。

　

　

　

　

　

可測関数の列の上限下限も可測関数

　

これは要は「極限」をとっても

それが「可測関数」になるって話で

なんかややこしそうなんですが

　

f1(x),f2(x),f3(x),...∈{fn(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle f_1(x),f_2(x),f_3(x),...&∈&\{f_n(x)\} \end{array}

　

{x∈A | fn(x)≤c}∈σX{x∈A | c≤fn(x)}∈σX\begin{array}{llllll} \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, f_n(x)≤c \right\}&∈&σ_X \\ \\ \displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤f_n(x) \right\}&∈&σ_X \end{array}

　

可測関数の列 {fn(x)}\{f_n(x)\} をこうだとして

　

sup⁡{fn(x)}=f‾(x)inf⁡{fn(x)}=f‾(x)\begin{array}{rllllll} \displaystyle \sup \{f_n(x)\} &=& \overline{f}(x) \\ \\ \displaystyle \inf \{f_n(x)\} &=& \underline{f}(x) \end{array}

　

その上限と下限をこんな感じに書くとするなら

　

Asup={x∈A | f‾(x)≤c}=⋂n=1∞{x∈A | fn(x)≤c}∈σXAinf={x∈A | c≤f‾(x)}=⋂n=1∞{x∈A | c≤fn(x)}∈σX\begin{array}{lcrllllll} \displaystyle A_{\mathrm{sup}} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, \overline{f}(x)≤c \right\} \\ \\ &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ x∈A \, \middle| \, f_n(x)≤c \right\}&∈& σ_X \\ \\ \\ \displaystyle A_{\mathrm{inf}} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c≤\underline{f}(x) \right\} \\ \\ &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ x∈A \, \middle| \, c≤f_n(x) \right\} &∈& σ_X \end{array}

　

関数のとる範囲 f‾(x)≤c\overline{f}(x)≤c に気を付ければ

これは意外と簡単に示すことができます。

　

　

　

　

　

可測関数の正成分と負成分も可測

　

まず正成分 f+f_+ 負成分 f−f_- ですが

　

f+(x)={f(x)0<f(x)0f(x)≤0=max⁡{f(x),0}f−(x)={−f(x)f(x)<000≤f(x)=max⁡{−f(x),0}=−min⁡{f(x),0}\begin{array}{llllll} \displaystyle f_+(x)&=&\displaystyle\left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle f(x) &&0<f(x) \\ \\ 0 && f(x)≤0 \end{array} \right. \\ \\ &=&\max\{ f(x),0 \} \\ \\ \\ \displaystyle f_-(x)&=&\displaystyle\left\{ \begin{array}{clllll} \displaystyle -f(x) &&f(x)<0 \\ \\ 0 && 0≤f(x) \end{array} \right. \\ \\ &=&\max\{ -f(x),0 \} \\ \\ &=&-\min\{ f(x),0 \} \end{array}

　

これはこんな感じのやつで

　

f++→+−→0f−−→++→0\begin{array}{cccclll} \displaystyle f_+&&+→+ && -→0 \\ \\ f_-&&-→+ && +→0 \end{array}

　

こんな感じのことをやってます。

　

　

でまあ言ってしまえばそれだけなので

　

Af+={x∈A | c<f+(x)}Af−={x∈A | c<f−(x)}\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{f_+} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c<f_+(x) \right\} \\ \\ A_{f_-} &=&\displaystyle \left\{ x∈A \, \middle| \, c<f_-(x) \right\} \end{array}

　

Af+={Ac<0{x∈A | c<f(x)}0≤cAf−={Ac<0{x∈A | c<−f(x)}0≤c\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{f_+} &=& \displaystyle \left\{ \begin{array}{cllllll} \displaystyle A &&c<0 \\ \\ \left\{ x∈A \, \middle| \, c<f(x) \right\} && 0≤c \end{array} \right. \\ \\ \\ A_{f_-} &=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{cllllll} \displaystyle A &&c<0 \\ \\ \left\{ x∈A \, \middle| \, c<-f(x) \right\} && 0≤c \end{array} \right. \end{array}

　

f+,f−f_+,f_- が正 ++ であることに気を付ければ

これの可測性は簡単に確認できます。

　

　

　

　

　

可測関数の絶対値も可測関数

　

これは ↑ の事実から

　

∣f(x)∣=f+(x)+f−(x)\begin{array}{llllll} \displaystyle |f(x)|&=&f_+(x)+f_-(x) \end{array}

　

「可測関数の和」は可測ですから

すぐに可測だということが分かります。

　

　

　

補足しておくと

この「絶対値の可測性」から

「ルベーグ積分の近似定理」が導かれます。