|| 下地・基盤・基礎がしっかりしてる
「正の整数」での「 0 」みたいなものがある感じ。
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めっちゃ下の方に行ってみたら
そこにちゃんと地面がある、みたいな。
『ちゃんと出発点・基盤がある』感じを
「整礎的である」なんて言ったりします。
こいつはあれです。
1 みたいなやつを保証する性質なので超超超重要
基本、これが無いと議論すらままなりません。
というのも、
基礎が無ければ材料が分かりません。
そして材料（定義など）が分からないなら
確実に「演繹」はできませんから
正しいかどうかの判定も不可能。
まあつまり「整礎的ではない」場合
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0,1 \\ \\ && 0 &=&1-1 \\ \\&& 2&=&1+1 \\ \\ && -1&=&0-1 \end{array}
こんな感じの「基準 0,1,+,- 」が無いので
自身をきちんと構成することができません。
まあだから、これはすごく重要なものになる
とまあ要はそんな感じ。
ちなみに「集合論的な数学」だと
『空集合』が下地になります。
天井は今のところ「到達不能基数」ですね。
（ ZFC+GCH の公理系では）
整礎関係の厳密な定義
「集合 S 」とその「部分集合 S_{\mathrm{pt}} 」を定義できる
「関係 R 」についての「極小元 e_{\mathrm{min}} 」がある
\begin{array}{llllll} \displaystyle e_{\mathrm{min}}&R&a \end{array}
そんな感じの『関係 R 』を「整礎関係」と言います。
ちなみに『関係 R 』ですが、
これは具体的には ↓ みたいなのがそうです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle e_1&∈&e_2 \\ \\ e_1&⊂&e_2 \\ \\ \\ e_1&<&e_2 \\ \\ e_1&≤&e_2 \end{array}
この『二項関係 R 』が「整礎関係 R_{\mathrm{found}} だ」ということは
「基礎」となる『極小元 e_{\mathrm{min}} がある』ということですから
\begin{array}{llllll} \displaystyle e_{\mathrm{min}}&<&e_1&<&e_2&<&\cdots&<&e_n&<&\cdots \end{array}
まあつまりこういう「 e_{\mathrm{min}} が存在する」ということで
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&∈&S_{\mathrm{pt}}&⊂&N \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&<&1&<&2&<&\cdots& \end{array}
具体的にはこの「 0 がある」場合
この「 S_{\mathrm{pt}} 」での「関係 R_{\mathrm{found}} 」を『整礎関係』と言います。
ちなみに言い換えるなら
この「整礎関係 R_{\mathrm{found}} 」上では
「 \begin{array}{llllll} \displaystyle e&R_{\mathrm{found}}&e_{\mathrm{min}} \end{array} 」は確実に成立しない、と言えます。
論理式での表現
『関係』と『極小元の存在』
これを表現すれば「整礎的である」の論理式を書けます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀S_{\mathrm{pt}}⊆S&\Bigl[ (S_{\mathrm{pt}}≠∅)⇒(\textcolor{skyblue}{∃e_{\mathrm{min}}} \Bigl( ∀e\,[\,R_{\mathrm{found}}(e,e_{\mathrm{min}})\,] \Bigr) \Bigr] \end{array}
結論はこんな感じなんですけど、
『関係 R 』の表現方法を知らないと
これの意味を読み取ることはできないと思います。
\begin{array}{llllll} \displaystyle e_1&R&e_2&&:=&&R(e_1,e_2) \end{array}
「二項関係」だとまあこんな感じなんですが
これは決まりですね。覚えるしかありません。
ちなみに『整礎的である』ことを満たす有名な例
例えば「整列集合」っていう集合の定義は
横着して書くと ↓ みたいな感じです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{\mathrm{well\,\,Ordered}}&:=&\Bigl\{ e \mid e∈\Bigl( S_{\mathrm{Total \,\, Ordered}} ∩ S_{\mathrm{well\,\,Founded}} \Bigr) \Bigr\} \end{array}
「全順序 \mathrm{Total \,\, Ordered} 」かつ
「整礎的 \mathrm{well\,\,Founded} 」である
この場合、その集合は『整列集合』と言われます。