|| 順序がちゃんと分かる数
「順番を表す数」のこと（ほぼ自然数）
厳密には『自然数を拡張した数』のこと。
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目次
・自然数と順序数「順番を表現する数」
有限順序数「つまりは自然数のこと」
無限順序数「自然数よりも大きな順序数」
・順序数の定義「推移律と三分律を満たす集合」
・順序数の帰納的定義「簡単な定義」
・順序数の種類「大体三つに分かれてる」
後続順序数「前を持ってる順序数」
極限順序数「無限を表現するための順序数」
これは数学の核です。
数学は『順序』を判別する役割を持っていますので
根本的に、数学は順序とは切っても切り離せません。
というのも
人間の直観に一番近い数的概念は「順序付け」です。
人間はこのために数を扱う
そう言っても過言ではありません。
こじつければたぶん全部そうですし。
そんな「順序」を表す数とくれば
まあそりゃあ大事でしょう。
むしろ大事じゃないわけないです。
順序数と自然数
『順序数』は「直観に根付いた数」で
「自然数」を拡張したものになります。
役割は「自然数よりも広い意味」で
「順番を表現する」こと。
とまあそんなわけですから
「自然数」が分かるならこれは直感的に理解できます。
有限順序数
「順序数」の中で
「自然数」はこのように呼ばれることがあります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\cdots,n,\cdots \end{array}
「有限」とあるように
『順序数』は「無限」も扱う関係上
「有限の範囲」は分けて考えられます。
「集合論」的には ↓ みたいな感じ。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&:=&\{\}&=&∅ \\ \\ 1&:=&0∪\{0\}&=&\{∅,\{∅\}\} \\ \\ 2&:=&1∪\{1\}&=&\{∅,\{∅\},\{∅,\{∅\}\}\} \\ \\ &\vdots \\ \\ n+1&:=&n∪\{n\} \end{array}
『大小比較』なんかの数の本質は
「帰属」や「包含」の『推移的な関係』にありますから
基本的に、集合はこのような構造で定義されます。
無限順序数
「有限」の範囲を抜けて『無限』へ。
この辺りから直観がちょっと怪しくなりますが
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0&=&\{0,1,2,3,4,5,\cdots,n,\cdots\} \end{array}
『自然数全体の集合』を ω_0 と置くことで
「加算無限」を表す『順序数』は ω_0 と定義されます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle n&<&\textcolor{skyblue}{ω_0} \end{array}
確認しておくと
「推移律を満たす ∈ 」を「大小関係 < 」と解釈する時
この関係は明らかに成り立っていることが分かります。
加算無限より大きな順序数
無限の範囲は「加算無限」が上限ではありません。
↑ の定義から見ても分かる通り
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω+1&:=&ω∪\{ω\} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0,1,2,3,...&<&ω&<&\textcolor{skyblue}{ω+1} \end{array}
「加算無限よりも大きな順序数 ω+1 」
こういう数を定義することは可能です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω+(n+1)&:=&ω+n∪\{ω+n\} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle ...,ω+n,\textcolor{skyblue}{ω+(n+1)},... \end{array}
同様の手順でこのような数も定義できますし
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1,2,3,...,n,...&<&ω,...,ω+n,...&<&\textcolor{skyblue}{ω+ω},ω+ω+1... \end{array}
これはどこまでもどこまでも定義可能。
\begin{array}{llllll} \displaystyle …&<&ω+ω,...,ω+ω+n,…&<&ω+ω+ω,...&<&\textcolor{skyblue}{n*ω},... \end{array}
んで、まだまだまだまだ続き続けて
どこまでもどこまでも続いていって
\begin{array}{llllll} \displaystyle ...,n*ω,...,\textcolor{skyblue}{(n+1)ω},...&<&\textcolor{skyblue}{ω*ω},ω*ω+1,...&<&\textcolor{skyblue}{ω^n},... \end{array}
果てなく定義できちゃいます。
\begin{array}{llllllllllllll} \displaystyle ...ω^n,...\textcolor{skyblue}{ω^ω},...&<&\textcolor{skyblue}{ω^{ω^ω}},...&<&\textcolor{skyblue}{ω^{ω^{ω...}}},...&<&\textcolor{skyblue}{ω_1},...,\textcolor{skyblue}{ω_n},...&<&\textcolor{skyblue}{ω_ω},... \end{array}
以上、無限順序数はこんな感じですね。
人間の「大雑把な大きさの比較」とか
そういうのでこの感覚はよく使われてたりします。
順序数の厳密な定義
『順序数』の持つ性質を観察してみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Trans}(α,β)&≡&(α∈β∈S_{\mathrm{Ordinal}})⇒(α∈S_{\mathrm{Ordinal}}) \\ \\ \mathrm{Trichot}(α,β)&≡&(α∈β)∨(α=β)∨(β∈α) \end{array}
『推移律』と『三分律』を満たすことは明らか。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&<&1&<&2 \\ \\ n&& &∈&n+k \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&>&0 \\ \\ 1&<&2 \\ \\ 1&=&1 \end{array}
つまり「集合」で『順序数』を表現したいなら
この性質を満たすように定義しなければなりません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{n+1}&=&2^{S_n} \end{array}
ここで出てくるのが『整列集合』で
『順序数』はこれを基礎にして作られます。
関係 < の定義
大小比較を行う関係 < は
集合論の文脈で定義することができます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle α∈β&≡&α<β \end{array}
具体的にはこんな感じに。
本来であれば
「帰属関係 ∈ 」は『推移律』を満たすとは限りません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∅&∈&\{∅\}&∈&\Bigl\{ \{∅\} \Bigr\} &&〇 \\ \\ ∅&&&∈&\Bigl\{ \{∅\} \Bigr\}&&× \end{array}
しかし『集合が推移律を満たす』場合
「帰属関係 ∈ 」と「 < 」は同様の振る舞いをします。
\begin{array}{llllll} \displaystyle S_{n+1}&=&2^{S_n} \\ \\ S_{n+1}&=&S_n∪\{S_{n}\} \end{array}
これでなんとなく分かると思うんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle n&:=&S_n \\ \\ k&>&1 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle n&∈&n+1&∈&n+k \\ \\ n&&&∈&n+k \\ \\ \\ n&<&n+1&<&n+k \\ \\ n&&&<&n+k \end{array}
「大小関係」を厳密に定義する場合
あらゆる記号は集合論的に解釈できることから
このようにすると良い感じになるわけで。
つまるところ
「推移律を満たす関係 ∈ 」は
「大小比較を表す記号 < 」の定義だとみなすことができます。
まとめ
「順序数」は『推移律』と「三分律」を満たす集合
つまり「 S_{\mathrm{Ordinal}} が順序数」なら
形式的な定義は ↓ になります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀α,β∈S_{\mathrm{Ordinal}}&\Bigl[\,\mathrm{Trans}(α,β)∧\mathrm{Trichot}(α,β)\,\Bigr] \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Trans}(α,β)&≡&(α∈β∈S_{\mathrm{Ordinal}})⇒(α∈S_{\mathrm{Ordinal}}) \\ \\ \mathrm{Trichot}(α,β)&≡&(α∈β)∨(α=β)∨(β∈α) \end{array}
「三分律 \mathrm{law \,\, of \,\, Trichotomy} 」については
ここが整列集合上なので簡略化します。
一般形は書かれ方がえぐいので。
順序数の帰納的定義
順序数の本質は
『推移律』と『三分律』です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle α∈β∈γ&⇒&α∈γ \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle α∈β&∨&α=β&∨&β∈α \end{array}
これを満たす「整列集合 (S,≤) 」は定義に都合が良く
そのため『順序数』はこれによって定義されることになります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&=&∅ \\ \\ \mathrm{ord}(S_α,≤)&=&α \\ \\ \mathrm{Suc}(α)&=&2^α \end{array}
こんな具合に。
初期値
出発点を 0 として
その記号に「空集合 ∅ 」を割り当てます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{ord}(∅,≤)&:=&∅ \\ \\ &=&0 \end{array}
スタンダードなやり方ですね。
記号の定義
『順序数』は「 α 」で表すとします。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{ord}(S_α,≤)&=&α \end{array}
これは後者関数で厳密に定義されるので
中身はこの時点じゃよく分かりません。
後者規則
「後者 \mathrm{Suc}(α) 」は次のように定義します。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(α)&:=&α∪\{α\} \end{array}
これは「順序数の中身」の話ですね。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&:=&∅ \\ \\ 1&:=&0∪\{0\}&=&\{∅, \{∅ \} \} \\ \\ 2&:=&1∪\{1\}&=&\Bigl\{ ∅, \{∅ \},\{ ∅, \{∅ \} \} \Bigr\} \\ \\ &&\vdots \end{array}
この「後者関数」を採用する場合
順序数の具体例はこのように書かれます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(α)&:=&2^α \end{array}
念のため言っておくと
後者関数はこれを採用してもOKです。
というか、こっちの方が良いかもしれません。
順序数の種類
「順序数」は大きく分けて 3 つに分類できます。
内訳は『初期値』『後者規則』『特例』
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0&:=&∅ \\ \\ \mathrm{Suc}(α)&:=&2^α \\ \\ ω&:=&\displaystyle\bigcup_{α<ω}α &(|N|≤ω) \end{array}
最小の『要素』である『 0 』
次を定義できる『後続順序数』
↑ 二つじゃない『極限順序数』
上２つは帰納的定義の焼き回しですね。
これにそれぞれ名前がついてるって話を ↓ でやる感じです。
後続順序数 Successor Ordinal
これは『後者規則』のことです。
なんか（任意の）「順序数 α 」があるとき
\begin{array}{llllll} \displaystyle α&<&\mathrm{Suc}(α) \end{array}
その「次（後ろ）にくる一番小さな順序数」
これを『後続順序数』と呼ぶことがあります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Suc}(α)&:=&α∪\{α\} \\ \\ \mathrm{Suc}(α)&:=&2^α \end{array}
具体的には
こういう \mathrm{Suc}(α) が「後続順序数」ですね。
極限順序数 Limit Ordinal
『初期値 0 』でも『後続順序数』でもない
でも「順序数」であるものをこう呼ぶことがあります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω&:=&\displaystyle\bigcup_{α<ω}α &(|N|≤ω) \end{array}
まあ要は「無限」の話で
「加算無限 ω_0 」以上のやつを表現する時必要に。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0+1&:=&2^{ω_0} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0+ω_0&=&2^{2^{2^{\cdots}}} \\ \\ &=&\displaystyle\bigcup_{α<ω_0}(ω_0+α) \end{array}
具体的にはこんな感じですね。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0&=&\{0,1,2,3,4,5,6,...\} \\ \\ ω_0+ω_0&=&\{0,1,2,3,4,...,n,...,ω_0,ω_0+1,ω_0+2,...\} \end{array}
『自然数全体の集合 ω_0 』として
それ以上のものをこんな風に定義します。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0&<&2^{ω_0} \end{array}
こうすると「カントールの定理」から必ずこうなるので
「無限」でも『大小関係 < 』が使える
とまあそんな感じです。
以上、順序数の基本的なことはこれでおしまい。
これがとても重要だってことが伝わったなら
自分としてはとても嬉しいです。