極限基数 Limit Cardinal


|| 基数で無限を扱いたい

『無限』を考えると出てくる

ある「特殊な基数」を『極限基数』と言います。

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この記事は

基数』を知っている前提で書かれています。

 

 

なので、他にも『順序数』とか

その辺りの知識が無いと

読んでも意味わかんないと思います。

 

 

 


目次


概要「極限基数の雰囲気」

 

順序数と基数「要素の数を表す数」

フォンノイマンの割り当て「順序数を使った基数の定義」

 

 

共終数「上限が同じやつの中で一番小さな部分集合」

   共終数の具体例「共終数を実際に求めてみた」

 

 

正則基数「要は普通の基数(共終数と一致)」

特異基数「よく分からん基数(共終数より大きい)」

 

 

 


 


 

『極限基数』っていうのは

「基数」の分類の一つで

 

 

基本的には

順序数」と似たり寄ったりのものになります。

 

 

まあつまり「極限基数」は

「極限順序数」とほぼ同じものです。

(違うところもわりとあります)

 

 

 

そもそもの話

「基数」の割り当ての方法

それ自体がそもそも「順序数」基準ですし

 

 

似てるもなにも

ほとんど同じじゃんって感じではあるんですが

 

 

『正則』って概念を考える時とか

そういう場面でこれは必要になったりします。

 

 

 

 

 

基数と順序数

 

「超限基数(無限基数)」は

『記号 κ 』で表されることが多いです。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle κ&=&ω \end{array}

 

基本的に「順序数」とほぼ同様

似たようなグレードで定義されていて

 

 

まず「有限」の範囲の話だと

「自然数」は全て基数として定義されています。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&ω_0 \end{array}

 

「最小の無限基数 \aleph_0 」も

「最小の極限順序数 ω_0 」で定義されていて

 

 

まあ見ての通り

ここまでは順序数と全く同じです。

 

 

 

他の基数についても

基本的にこれと同様の形で定義されています。

 

 

 

 

 

基数の分類

 

「自然数」周りの話を含め

「基数」は大まかには3つに分類されています。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle n∈ω∈ω^+ &&⇒&&n<ω<ω^+ \end{array}

 

「自然数 n

「極限基数 κ=ω

『後続基数 κ^+

 

 

 

 

 

後続基数とは

 

「後続型基数 κ^+ 」は

「無限基数 κ よりも大きな基数」の中では

特に「最小の基数」のことを指すもので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle κ&<&κ^+ \end{array}

 

まあつまり

ある「無限基数」の「次の基数」のことを指します。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle κ^+&=&κ+1 \end{array}

 

有限の場合はそのままです。

ただの足し算。

 

 

 

 

 

極限基数とは

 

「後続型」では表せない「無限基数」

これを『極限基数』と言います。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0 \end{array}

 

感覚的には『例外』って感じで

だから固有の名前がついてる感じです。

 

 

ちなみに「加算無限 ω_0 」みたいな

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle n&<&\aleph_0 \\ \\ &&\aleph_0&<&2^{N} \end{array}

 

『小さいのから作れない』やつなんかが

「極限基数」と呼ばれるものになります。

 

 

 


 


順序数と基数

 

「基数」の定義は

『要素の個数を表す』性質上

「順序数」を使って表現されることが多いです。

 

\begin{array}{rllllll} \displaystyle \mathrm{Cardinal}(S)&=&|S| \\ \\ && |S|&=&\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&=&|N| \\ \\ |Z|&=&|N| &&N+N \\ \\ |Q|&=&|N| &&N\times N \end{array}

 

「順序数」での定義自体は

「割り当ての方法の一つ」でしかないんですけど

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle α&<&α+1 \end{array}

 

「順序数」はいろんな性質を満たす

 

 

これが既に保証されていて

基数自体がだいたい同じようなものなので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}

 

「基数」の定義といったら

だいたい「順序数」がベースに来ます。

 

 

 


 


フォン・ノイマンの割り当て

 

|| 順序数による基数の定義

「基数」の中身は直感的に明らかですが

↑ の時点では厳密には定まっていません。

 

\begin{array}{cllllll} \displaystyle ∀β \left[ ∃α \Bigl[ (β<α)⇒(|β|<|α|) \Bigr] \right] \\ \\ ↓ \\ \\ |S|=\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}

 

でもまあ『普通の数』だとは分かるので

「順序数」で定義する。

 

 

これを『フォン・ノイマンの割り当て』と言い

基本、基数はこのように解釈されます。

 

 

 

 

 

補足

 

最小になるこの定義の \min(α)

「始順序数 Initial Ordinal 」と呼ばれるもので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}

 

最小値にしてる理由は

「無限基数」の要請を満たすため。

それ以上でも以下でもありません。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&=&\aleph_0 \\ \\ &&\aleph_0&=&ω_0 \end{array}

 

まあつまり

この『始順序数』を

無限濃度の「整列集合 S の濃度」として割り当てる。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&=&ω_0 \\ \\ |S|&=&α_{\mathrm{min}} \end{array}

 

これがフォン・ノイマンの割り当ての本質になります。

 

 

 

 

 

定義の妥当性

 

上の定義について

具体的な値を入れて確認してみます。

 

 

 

 

 

有限の場合

 

これは確認するまでも無く妥当でしょう。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle S=\{1\} &&→&&|S|=1 \\ \\ S=\{1,4,8\} &&→&&|S|=3 \end{array}

 

|S| は1つしかないので当然こうなります。

 

 

 

 

 

無限の場合

 

『最小値』で定義している理由は

「無限濃度」の定義を確認すると分かります。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&\aleph_0 \\ \\ |N|&=&ω_0 \end{array}

 

というのも

『最小の無限濃度 \aleph_0 』を

そのまま『自然数全体 ω_0 』で割り当てるとすると

 

\begin{array}{rlrlllll} \displaystyle 2|N|&=&2ω_0 \\ \\ 2|N|&=&|N| \\ \\ \\ n|N|&=&nω_0 \\ \\ n|N|&=&|N| \end{array}

 

当然ながら

「他の無限集合」の中でも

「自然数全体」と同じ濃度を持つものはありますから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 2|N|&=&2ω_0 \\ \\ 2|N|&=&|N|&=&ω_0 \end{array}

 

このような「順序数」を割り当てても

これは特に問題が出ない。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0 &2ω_0&3ω_0&\cdots&nω_n \end{array}

 

でも、この濃度は全て \aleph_0 であるはず。

 

 

ということは「違う値にはならないはず」なので

 

 

「無限基数」を「順序数」で定義する

この割り当ての問題点として

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |S|&=&\displaystyle\min \left\{ α∈ON \mid |S|=|α| \right\} \end{array}

 

↑ の定義にある条件『 |α|=|S| 』を満たす

『順序数 α の候補』が

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \{ω_0,2ω_0,3ω_0,...,nω_0\} \end{array}

 

「複数存在してしまう」

という事実が挙げられます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&ω_0,2ω_0,3ω_0,...,nω_0 \end{array}

 

しかし「全単射」で定義される基数は

その候補から『一つに絞る』ことができてしまうので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&ω_0 \end{array}

 

『基数』の定義から

「最小の無限に合わせなければならない」

という要望・要請を叶える必要が出てくる。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&\min \{ω_0,2ω_0,3ω_0,...,nω_0\} \end{array}

 

だから「全単射をとれる集合」を

『ひとまとめにする』ために『最小』を使う。

 

 

とまあこんな感じの流れで

最小値が使われることになった

 

 

とまあ、そういう経緯でこんな感じになってます。

 

 

 

 

 

全体と部分集合

 

↑ の 2|N| なんかの話は

 

\begin{array}{cccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&\cdots \\ \\ (1,1)&(1,2)&(2,1)&(2,2)&\cdots \end{array}

 

まあこんな感じの話なんですが

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&2&3&4&\cdots \\ \\ 10&20&30&40&\cdots \end{array}

 

こういう「自然数の一部」でありながら

「全単射 10n がある」やつも基数は \aleph_0 です。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&3&5&7&\cdots \\ \\ 10&20&30&40&\cdots \end{array}

 

しかしこいつに対応する順序数は

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |\{1,3,5,7,...\}|&=&ω_0 \end{array}

 

これ以外にはうまく想像ができません。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle N_{\mathrm{pt}}&⊂&N \end{array}

 

このような部分集合は

作ろうと思えばいくらでも考えられるんですけど

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 2|N| &=&2ω_0 \end{array}

 

こういったものと違い

「部分集合に割り当てるもの」については

順序数的にはよく分からない。

 

 

でも極限基数をうまく定義したいなら

当然これらの性質もまた考慮しなければならない。

 

 

とまあそんな感じで

こういった部分集合についての問題も

この極限基数は抱えていたりします。

 

 

 

 

 

終端を共有している

 

これらが持ってる『共通の性質』として

『終端(右端)が見えない』っていう性質を考えると

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle 1&2&3&4&5&6&7&8&\cdots \\ \\ 1&&3&&5&&7&&\cdots \\ \\ &2&&4&&6&&8&\cdots \end{array}

 

「終端を共有している」

という概念を考えることができます。

 

 

 

で、実はこの「終端が同じ」って感覚には

「共終」という名前がついていて

 

\begin{array}{lclllll} \displaystyle α_1&=&\{1,3,5,7,...\} \\ \\ α_2&=&\{2,4,6,8,...\} \\ \\ &\vdots \end{array}

 

この「共終な集合」の中でも

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \min \{ ω_0,α_1,α_2,α_3,... \}&=&ω_0 \end{array}

 

特に『最も小さい集合』には

「共終数」なんて名前がついていたりします。

 

 

 


 


共終数 Cofinality

 

|| 終端を共有してる感じ

ある「特殊な順序数」のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle α_{\mathrm{pt}}&⊆&α \end{array}

\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&α_{\mathrm{pt}}&→&α \end{array}

\begin{array}{llllll} \displaystyle \sup_{α_{\mathrm{<}}∈α_{\mathrm{pt}}}\{ f(α_{<}) \} &=&α \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&\min{α_{\mathrm{pt}}} \end{array}

 

「順序数 α 」の『部分集合 α_{\mathrm{pt}} の上限』が

『順序数 α である \sup(α_{\mathrm{pt}})=α 』時

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α_{\mathrm{pt}} \end{array}

 

その中の『最小の部分集合 α_{\mathrm{pt}} 』を

「共終数」と言います。

 

 

 

ちなみに α=0 の場合は

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(0)&=&0 \\ \\ &&0&=&\{\} \end{array}

 

「空集合の部分集合」は

「空集合しかない」ので当然こうなります。

 

 

 

 

 

共終数の役割

 

基本的に

これは 2 つの『極限順序数』の判定に使われます。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)=α&&→&&\mathrm{Regular} \\ \\ \mathrm{cf}(α)<α &&→&&\mathrm{Singular} \end{array}

 

『正則 \mathrm{Regular} 』か

『特異 \mathrm{Singular} 』か

 

 

 

ちなみに共終数 \mathrm{cf}(α)

定義より「 α の部分集合」なので

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&>&α \end{array}

 

このようになることはありません。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α \\ \\ \mathrm{cf}(α)&<&α \end{array}

 

必ずこのどちらかになります。

 

 

 

 

 

正則性と共終

 

「ふつう」の『極限順序数』であれば

『上限が一致する部分集合』は「共終」であるはず

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle ω_0&=&\{1,2,3,4,...\} \end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \sup\{1,2,3,4,...\}&=&ω_0 \\ \\ \displaystyle \sup\{2,4,6,8,...\}&=&ω_0 \\ \\ \displaystyle \sup\{1,3,5,7,...\}&=&ω_0 \end{array}

 

自然数全体を見てみればこれは明らかで

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α \end{array}

 

普通(正則)であれば

これは間違いなくこうなります。

 

 

 

 

 

正則ではない

 

「共終数」をとってみると

なぜか「上限 α 」と同じにならない。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&<&α \end{array}

 

普通「正則(直感的・基礎が明確)」なら

どう考えても「同じになるはず」なのに。

 

 

とまあそんな感じになるような

直観から外れたものは「特異」と表現されます。

 

 

 

 

 

後続順序数の共終数

 

「特異順序数」の具体的な中身については

『後続順序数 ω+1 』などが挙げられます。

 

\begin{array}{llllll} ω_0+1&=&ω_0∪ \{ ω_0 \} \\ \\ \displaystyle ω_0+1&=& \{ 0,1,2,3,4,...,ω_0 \} \end{array}

 

こいつの部分集合の中でも

特に ω_0+1 と『上限』が一致するものの中で

 

\begin{array}{rllllll} \displaystyle \{0,2,4,6,8,...,ω_0\} \\ \\ \{1,3,5,7,9,...,ω_0\} \\ \\ \{ω_0\} \end{array}

 

特に「最小」のものは

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle α&<&β \\ \\ α&∈&β \end{array}

 

大小関係 <

帰属関係 で定義されている事実から

 

\begin{array}{llllll} ω_0&∈&\{ω_0\}&∈&ω_0+1 \\ \\ \displaystyle ω_0&<&\{ω_0\}&<&ω_0+1 \end{array}

 

この「変な部分集合 \{ω_0\} 」になるので

この場合、明らかに要素数は 1 であることから

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle α+1&=&α∪\{α\} &&\Bigl( \mathrm{or} \,\, 2^α \Bigr)\end{array}

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |\{α\}|&=&1 \end{array}

 

『後続順序数の定義』より

「後続順序数」の共終数は必ず 1 になります。

 

 

 

 

 

ちなみに「基数」の大小関係は

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle |A|&≤&|B| \end{array}

 

「単射の存在」で定義されています。

 

 

 


 


正則基数 Regular Cardinal

 

|| 普通な感じの無限基数

「見慣れた基数」のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α \end{array}

 

「極限基数」の一種です。

 

 

 

 

 

無限基数の厳密な定義

 

「フォン・ノイマンの割り当て」では

『無限基数』は ↓ のように定義されています。

 

 

『最小の無限基数 \aleph_0 』は

「自然数全体(最小の無限順序数)」とする。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&=&ω_0 \end{array}

 

『後続基数 κ^+ 』は

「他のより小さな基数で作れる基数」とする。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle κ^{+}&=&f_+(κ) \end{array}

 

『極限基数 κ_{\mathrm{lim}} 』は

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle κ_{\mathrm{lim}}&=&\displaystyle \sup\left\{ \bigcup_{κ<κ_{\mathrm{lim}}}κ \right\} \end{array}

 

「自身より下の基数」の『上限』とする。

 

 

 

まとめると

つまりは『 ω=\aleph 』ってことで

 

\begin{array}{llllll} \{ 0,1,2,3,4,5,6,... \}&=&\displaystyle\bigcup_{α<ω_0}α \\ \\ \displaystyle \{ 0,1,2,3,4,5,6,... \}&=&ω_0 \end{array}

 

この感覚をそのまま使って表現されています。

 

 

 

以上が無限基数の定義で

この中でも「共終数」が

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&=&α \end{array}

 

このようになるものを「正則基数」と言い

これ以外のあんまり見ないものは

「特異基数」と呼ばれます。

 

 

 

 

 

弱極限基数と強極限基数

 

条件が緩い

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle κ_{\mathrm{lim}}&=&\displaystyle \sup\left\{ \bigcup_{κ<κ_{\mathrm{lim}}}κ \right\} \end{array}

 

これは「弱極限基数」と呼ばれることがあって

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle κ<κ_{\mathrm{lim}} &&→&&2^κ<κ_{\mathrm{lim}} \end{array}

 

条件が絞られているこれは

「強極限基数」と呼ばれることがあります。

 

 

 


 


特異基数 Singular Cardinal

 

|| ちょっとよくわからない無限基数

『正則ではない極限基数』のこと。

 

\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(α)&<&α \end{array}

 

基数が「特異順序数」の時

その基数は特異基数になります。

 

 

これについては

「強制法」「ケーニヒの補題」「pcf理論」

「イーストンの定理」「シルバーの定理」などなど

 

 

まあいろいろあって長くなるので

別の記事にまとめることにします。