|| 可測集合全体は完全加法族になる
「外測度上で可測な集合全体」についての定理
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目次
ルベーグ外測度「ほぼ全ての図形を測れる測度」
カラテオドリ外測度「ルベーグ外測度を一般化した概念」
カラテオドリの可測条件「外測度で測れる図形の条件」
可測集合「外測度で大きさが分かる図形（集合）のこと」
完全加法族「選択公理を除くほぼ全ての集合操作が可能」
カラテオドリの基本定理「可測集合全体は完全加法族になる」
証明「可測集合全体は完全加法族の条件を満たす」
カラテオドリの基本定理 Fundamental
|| 可測集合全体は完全加法族になる
「外測度 μ^* 」上で「可測な集合」の性質の話
\begin{array}{rcr} && ∅ \in L_{μ^*} \\ \\ A \in L_{μ^*}&→& A^c \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
測度論のいろんな定理で
「測度 μ^* が存在する」ことをこれは保証します。
ルベーグ外測度 Lebesgue
|| ほぼ全ての図形の大きさが分かる
「外測度」の中でも特に細かいやつ
\begin{array}{ccc} A&⊂&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \\ \\ μ^*(A) &=&\displaystyle \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(I_n) \right\} \end{array}
「１つの近似図形」ではなく
「無数の細かい図形 I_n 」で「図形 A の大きさ」を特定します。
（詳細は長くなるので別の記事で）
カラテオドリ外測度 Carathéodory
|| ルベーグ外測度の一般形
「外測度とは？」の解答
\begin{array}{ccc} A&⊂&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ^*(A) &=&\displaystyle \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right\} \end{array}
そのまま「ルベーグ外測度」の形から
これの具体例はこんな感じで
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle A⊂B &&→&&μ^*(A)≤μ^*(B) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
条件としては
こういう感じで定義されています。
（詳細は長くなるので別の記事で）
カラテオドリの可測条件 Measurable
|| 外測度で大きさが分かる図形の条件
「大きさを調べたい図形 A 」について
「全体 X の部分集合 S 」で以下が成立する
\begin{array}{llllll} μ^*(S)&≥&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \\ \\ μ^*(S)&=&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
主にこの２種類がその条件で
どちらも同じ結果を導きます。
\begin{array}{ccl} \displaystyle \mathrm{Inner} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) =\textcolor{steelblue}{μ_*}(A) \\ \\ \mathrm{Measurable} &→&\textcolor{steelblue}{μ_*}(A)\textcolor{pink}{=}μ^*(A) \\ \\ \\ \mathrm{General} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) \textcolor{pink}{≤}μ^*(A) \\ \\ \mathrm{Measurable} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) \textcolor{pink}{=}μ^*(A) \end{array}
中身はこれ
（こちらも詳細は別記事で）
カラテオドリの基本定理の証明
これの主張自体はシンプルです。
\begin{array}{rcr} && ∅ \in σ \\ \\ A \in σ&→& A^c \in σ \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in σ &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in σ \end{array}
「外測度 μ^* 」上「可測な集合全体 L_{μ^*} 」が
「完全加法族 σ になる」
これだけ
証明
定理の主張をまとめると
つまり ↓ の結論が得られるということですから
\begin{array}{rcr} && ∅ \in L_{μ^*} \\ \\ A \in L_{μ^*}&→& A^c \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
証明ではこの着地を目指すことになります。
空集合
以下の「空集合」についての条件は
\begin{array}{llllll} ∅ & \in & L_{μ^*} \end{array}
「可測条件」を使えば
\begin{array}{llllll} μ^*(S)&≥&μ^*(S∩∅)+μ^*(S∩∅^c) \\ \\ && μ^*(S∩∅)+μ^*(S∩∅^c)&=&μ^*(∅)+μ^*(S∩X) \\ \\ && &=&μ^*(S) \end{array}
「外測度の定義 μ^*(∅)=0 」と
「全体 X （実数全体など）」を考えると
すぐに求めることができます。
補集合
これも同様で
\begin{array}{llllll}A \in L_{μ^*}&→& A^c \in L_{μ^*} \end{array}
「可測条件」を使うだけで
\begin{array}{llllll} μ^*(S)&≥&μ^*(S∩A^c)+μ^*(S∩(A^c)^c) \end{array}
\begin{array}{ccc} (A^c)^c&=&A \end{array}
そのままこの関係が成立することから
すぐに「可測である」ことが分かります。
無限和
これも簡単に行けそうですが
\begin{array}{llllll} A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
実はけっこう複雑で
\begin{array}{ccc} μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)^c \right) \end{array}
示すのがわりと大変だったりします。
有限加法
「可算加法（無限和）」に触る前に
\begin{array}{ccc} μ^*(S) &≥& μ^*\Bigl((A∪B)∩S \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩S \Bigr) \end{array}
まずは「有限加法」について確認しておきます。
これがまあ複雑なんですが
\begin{array}{ccc} μ^*(S)&≥&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
やることは
「可測である図形 A 」を考えて
「欲しい結果 A∪B 」を
\begin{array}{ccc} (A∪B)^c&=&A^c∩B^c \end{array}
「集合の演算」から得るために
\begin{array}{ccc} μ^*(S∩A^c)&≥&μ^*\Bigl( B∩(A^c∩S) \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩(A^c∩S) \Bigr) \\ \\ &=&μ^*\Bigl( B∩A^c∩S \Bigr)+μ^*\Bigl( B^c∩A^c∩S \Bigr) \end{array}
「 S∩A^c を S 」に入れて
「可測である図形 B 」でこの形を作り
\begin{array}{ccr} μ^*(S) &≥& μ^*(S∩A)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩S \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩S \Bigr) \\ \\ μ^*(S) &≥& μ^*\Bigl((A∪B)∩S \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩S \Bigr) \end{array}
この結果を得て
\begin{array}{ccc} μ^*(S∩A)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩S \Bigr) &≥& \displaystyle μ^*\Bigl((A∪B)∩S \Bigr) \\ \\ μ^*(S∩A)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩S \Bigr) &=& \displaystyle μ^*\Bigl((A∪B)∩S \Bigr) \end{array}
後はどうにか着地を目指す
という感じで
そのために
\begin{array}{ccc} μ^*(S∩A)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩S \Bigr) \end{array}
これをどうにかする必要があります。
ただこれに関して
使える定義はそう多くないことから
\begin{array}{ccc} && μ^*(S∩A)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩S \Bigr) \\ \\ μ^*(A∪B) &≤& μ^*(A)+μ^*(B) \end{array}
この形に対して使えるのは
「外測度」の「劣加法性」くらいで
（ A と A^c の共通部分から完全加法性でも良い）
\begin{array}{lcl} μ^*(A∪B) &≤& μ^*(A)+μ^*(B) \\ \\ μ^*\Bigl( (S∩A) ∪(B∩A^c∩S) \Bigr) &≤&μ^*(S∩A)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩S \Bigr) \end{array}
良い感じに以下の結果が得られることから
\begin{array}{llllll} (A∩S)∪(B∩S)&=&(A∪B)∩S \\ \\ (S∩A) ∪(B∩A^c∩S)&=& \Bigl( A∪(B∩A^c) \Bigr)∩S \end{array}
\begin{array}{llllll} A∪(B∩C) &=& (A∪B)∩(A∪C) \\ \\ A∪(B∩A^c)&=&(A∪B)∩(A∪A^c) \\ \\ &=&(A∪B)∩X \\ \\ &=&(A∪B) \end{array}
後は順当に変形していけば
\begin{array}{ccr} μ^*(S) &≥& μ^*(S∩A)+μ^*\Bigl( B∩A^c∩S \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩S \Bigr) \\ \\ &≥& μ^*\Bigl( (S∩A) ∪(B∩A^c∩S) \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩S \Bigr) \end{array}
最終的に
\begin{array}{llllll} μ^*(S) &≥& μ^*\Bigl((A∪B)∩S \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩S \Bigr) \end{array}
この結果が得られます。
可算加法
安直に行くなら
「有限加法」の結果を利用したいです。
\begin{array}{llllll} μ^*(S) &≥& μ^*\Bigl((A∪B)∩S \Bigr)+μ^*\Bigl((A∪B)^c∩S \Bigr) \end{array}
これを導出する際
式変形の途中で
\begin{array}{ccc} μ^*(A∪B) &≤& μ^*(A)+μ^*(B) \end{array}
「劣加法性」を適用してますし
\begin{array}{llllll} U_1&=&A_1 \\ \\ U_2&=&A_1 ∪A_2 \\ \\ U_3&=&A_1∪A_2∪A_3 \end{array}
A_1∪A_2 を１つの集合とみなし
同様の手順で A_3 を追加すると
\begin{array}{ccc} K_n &=& μ^*(S∩U_n)+μ^*(S∩U_n^c) \end{array}
\begin{array}{llllll} K_2 &≥& K_3 \end{array}
これはこのようになり
\begin{array}{ccc} K_n &≥& K_{n+1} \\ \\ μ^*(S∩U_n)+μ^*(S∩U_n^c) &≥& μ^*(S∩U_{n+1})+μ^*(S∩U_{n+1}^c) \end{array}
\begin{array}{ccc} U_n&=& \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n}A_k \\ \\ K_n &=& μ^*(S∩U_n)+μ^*(S∩U_n^c) \end{array}
一般化するとこれはこうなるため
結果を直感的に求められそうなので。
実際、この結果から
\begin{array}{lclcc} μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c \right) &&〇 \\ \\ μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c \right) &&？ \end{array}
着地について考えると
\begin{array}{ccccccc} n&<&n+1&<&\cdots \\ \\ K_n &≥& K_{n+1}&≥& \cdots \end{array}
当然、こうなりますから
「外測度の下限は 0 」なので「下に有界」であり
「単調減少列」であると言えるので
\begin{array}{ccc} μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)^c \right) \end{array}
最終的にこの結果に行き着きます。
（有界単調数列は収束するため）
無限和の測度と極限
補足しておくと
\begin{array}{llllll} μ^*(S)&≤&\displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c \right)&≤&μ^*(S) \end{array}
「有限和」の「可測条件」より
\begin{array}{ccc} K_n &=& \displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)^c \right) \end{array}
\begin{array}{rclcl} μ^*(S) &≤& K_n &≤& μ^*(S) \\ \\ -ε+μ^*(S) &<& K_n &<& μ^*(S)+ε \\ \\ \displaystyle -\frac{1}{2^n}+μ^*(S) &<& K_n &<&\displaystyle μ^*(S)+\frac{1}{2^n} \end{array}
極限を考えると
\begin{array}{rcc} |K_n-μ^*(S)| &<& \displaystyle \frac{1}{2^n} \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} K_n-μ^*(S) &=& 0 \end{array}
結果、これはこうなります。
（測度で大きさが分かるなら必ず実数の話になる）
逆側は成立するのか
↑ では勝手に ↓ を使いましたが
\begin{array}{ccc} μ^*(S)&≤&\displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)^c \right) \end{array}
本当にこれはこうなるのか
まだ確認していません。
なので確認しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \\ \\ μ^*(A∪B) &≤& μ^*(A)+μ^*(B) \end{array}
これは「劣加法性」と
\begin{array}{ccc} (A∩B)∪(A∩C)&=&A∩(B∪C) \end{array}
「集合の演算」を考えれば
\begin{array}{lcc} \displaystyle \left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right) &⊂&X &&→&& \displaystyle\left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c&⊂&X \end{array}
「全体 X 」を上手く利用すると
\begin{array}{ccccc} \begin{array}{ccc} A∪A^c &=&X \\ \\ \displaystyle \left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right) ∪ \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c&=&X \end{array} \end{array}
\begin{array}{ccccc} S⊂X &&→&& S∩X=S \end{array}
これはこうですから
\begin{array}{llllll} U&=& \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \end{array}
\begin{array}{lcl} (A∩B)∪(A∩C)&=&A∩(B∪C) \\ \\ \displaystyle\left( S∩U \right)∪\left( S∩U^c \right)&=&\displaystyle S∩ \left( U ∪ U^c \right) \end{array}
\begin{array}{ccc} \displaystyle S∩ \left( \left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right) ∪ \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c \right) &=& S \end{array}
結果、こうなるので
\begin{array}{ccc} μ^*(A∪B) &≤& μ^*(A)+μ^*(B) \\ \\ μ^*(S) &≤& \displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \right)^c \right) \end{array}
わりとすぐに導くことができます。
（外測度と内測度の関係より明らかとしても良い）
まとめ
以上の結果から
\begin{array}{ccc} μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^*\left( S∩∅ \right)+μ^*\left( S∩∅^c \right) \\ \\ μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^*\left( S∩A^c \right)+μ^*\left( S∩(A^c)^c \right) \\ \\ μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^*\left( S∩\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)+μ^*\left( S∩\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)^c \right) \end{array}
「空集合」「可測集合の補集合」
「可測集合の和集合・無限和」が
全て「可測集合」になることから
\begin{array}{rcr} && ∅ \in L_{μ^*} \\ \\ A \in L_{μ^*}&→& A^c \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
欲しかったこの結論が得られます。
怪しい部分の補足
↑ では勝手に
\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{k\to\infty} μ \left( S∩\bigcup_{n=1}^{k} A_n \right) &\in &R_+ \end{array}
この形を使いましたが
（可測集合は必ず実数になるので特に問題は無い）
\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{k\to\infty} S∩\bigcup_{n=1}^{k} A_n \end{array}
この「集合列の収束先」の説明には
厳密には「極限集合」が必要で
「単調増加列」であること
\begin{array}{ccc} S∩A_1 &⊂& S∩(A_1∪A_2) &⊂&\cdots &⊂&\displaystyle S∩\left( \bigcup_{n=1}^{k} A_n \right) &⊂&\cdots \end{array}
これを確認することによって
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{k} (S∩A_n) &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{k+1} (S∩A_n) \\ \\ S_k &⊂& S_{k+1} \end{array}
「単調収束定理」の適用条件を満たす
あるいは「収束する」条件を満たす
ということを確定させる必要があります。