|| 人間にとって直感的な数の探求
「数え上げ・カウント」についての分野
『自然数』を最も直感的に応用したもの
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目次
数え上げ「順列とか組合せとか使うやつ」
順列「順番に並べる時に並べ方は何通りあるか」
同じ要素を区別する「同じものを入れ替えても同じ」
具体例「実際どんな感じか」
一般化「正しさについて帰納的に見てみる」
個数を指定「こうすると成立しないことを確認」
組合せ「１つを１回だけ選ぶ時に選び方は何通りあるか」
重複組み合わせ「同じものも選んで良い場合」
二項定理「 n 次多項式展開の係数って書くと堅過ぎ」
この分野では主に「有限」のものを扱います。
「無限個」を考えることはあまりありません。
それとやることは単純で
集合の中にある『要素の数を数える』だけ
それ以上のことは応用分野で
その応用分野はだいたい数学の全部になります。
大まかな中身
分類は大きく分けて 4 つ
１つは基礎となる『数え上げ』で
この記事ではこれをメインに扱います。
他は応用で
『最大・最小・最適』を発見する
「極値」「最適化」など
『条件の判定や構成、解析』をする
「デザイン」「マトロイド理論」など
『代数的構造の発見』を行う
「代数的組合せ論」など
なんというか
よく分からんのがあります。
数え上げ Counting
|| 全てはここから始まった
「順列」とか「組み合せ」の話
\begin{array}{llllll} \displaystyle n!&:=&n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots 3 \times 2\times 1 \end{array}
\begin{array}{llllll} {}_nπ_r&:=&n^r \\ \\ \\ \displaystyle {}_n\mathrm{P}_r&:=&\displaystyle\frac{n!}{(n-r)!} \\ \\ \\ {}_n\mathrm{C}_r&:=&\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!r!}\\ \\ &=&{}_n \mathrm{C}_{n-r} \\ \\ \\ {}_n\mathrm{H}_r&:=&\displaystyle\frac{(n-1+r)!}{(n-1)!r!} \\ \\ &=&\mathrm{}_{n-1+r}\mathrm{C}_{r} \end{array}
上から「重複順列」「順列」
「組み合せ」「重複組み合せ」で
\begin{array}{cllllll} \displaystyle \frac{n!}{k!} \\ \\ \displaystyle \frac{n!}{k_1!k_2!} \\ \\ \displaystyle \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots } \end{array}
「順列」で被る（重複）やつがある場合では
「全部並べる」場合だとこういうのも基礎的
二項定理 Binomial Theorem
|| n 次多項式展開の係数についての定理
多項式の係数を求めるためのあれ
\begin{array}{llllll} \displaystyle (a+b)^n&=&{}_n \mathrm{C}_0a^nb^0 + {}_n \mathrm{C}_1a^{n-1}b^1 +\cdots+{}_n \mathrm{C}_n a^0b^n \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k a^{n-k}b^{k} \end{array}
これはけっこう見ます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle (1+1)^n&=&{}_n \mathrm{C}_0 + {}_n \mathrm{C}_1 +\cdots+{}_n \mathrm{C}_n \\ \\ &=&\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k \end{array}
特にこれは数学の根幹に関わるので
覚えておいた方が良いものになります。