命題論理について詳しくはやらずざっくりとわかりやすく解説してみた

|| 思えば命題ってなんだっけ？

数理論理学の基礎的なもの。

「記述の基礎」とも言えますが、

これが基礎と言える理由は数学の成果になります。

命題 Proposition

|| 意味があるもの

『真偽が確定した言明』のこと。

（言明：はっきりした主張, 断言)

これは論理学ではこういう風に定義されていて、

そのまま数理論理学に組み込まれています。

「順番」はけっこうぐちゃぐちゃですね。

『真偽が絡む』という点で数学の成果なのは分かりますが、

いつどの段階でこう確定したかはわかりません。

とまあそんな感じなんですけど、

この「命題」は『真偽が確定している』ので、

その結果として、

「数学的に扱うことが可能」

と、まあそんな感じになっています。

具体例

「命題」の具体例をいくらか紹介しておきます。

厳密には『モデル』を構築すべきなんですが、

まあ無くても分かると思うので、それは省略。

というわけでまず「真」なる「命題」なんですが、

これは「 $2$ は偶数である」だったり

「俺は俺だ」だったり

だいたいはこういう

「当然の事実」を『説明する文』

みたいな形の「主張」を命題って言いますね。

意識する機会はほとんど無いですけど、

ちゃんと言葉を交わす場合、わりと日常的に使います。

「偽」の「命題」も同様で、

「 $0$ は超越数である」だとか

「あのおっさんは全知全能の神である」だとか

まあこういう

『明らかにおかしな主張』とかも命題ですね。

「分かりやすい嘘」「冗談」なんかでよく使います。

真偽が確定していない主張

当然ですが、主張の中には

「真偽が確定していないもの」もあります。

例えば、

「あれら（分からん）は、数である」とか

「それは人である」とか

それこそ「 $x$ は数である」みたいな

『よく分からない $x$ を含む主張』だと、

真偽は確定できません。

でも、こういうのも確かに主張ですよね？

それこそ、

「あれは全部そうだよ」みたいな

『全て』みたいな言葉が出てくるやつは、

「男は全員なになに」

「女はみんなほにゃらら」

わりとよく見ますし、

こういう主張はだいたい真偽が曖昧です。

ちなみに「 x は A である」「 $A(x)$ 」みたいな部分を、

「述語」と言ったりします。

命題に関する用語

よく見るやつを3つ紹介します。

まあ、よく見るって言っても文献とかでですが。

ともかくこの3つですけど、

最終的には「論理式」に行き着くので、

まあだいたい全部「論理式」だと思ってればOKです。

見た目、厳つい感じがするかもしれませんが、

要は「文字」の『名前』でしかないので。

命題変数 Propositional Variable

|| 命題を変数で表す感じ

これは「命題を示す変数」を表す

『文字』のことを指す用語です。

代表的なものだと、

命題 Proposition の頭文字から、

「 $P,Q,R$ 」というような文字で命題を表すことが多いですね。

命題定数 Propositional Constant

|| 命題を定数で表す感じ

これも文字通りで「命題を示す定数」

つまり「命題そのもの」を表す『文字』のことを指します。

変数との違いは、

見たまま、「定数」となってる部分で、

「定数」である以上、

これは「真な命題」と「偽な命題」のどちらかに必ずなります。

確認しておくと、

「命題」は『真偽が確定』していますから、

とり得る真理値は必ず「真か偽だけ」となるので、

$\begin{array}{llllllll} \displaystyle P_{\mathrm{variable}}&&\mathrm{True\,\,or \,\, False} \\ \\ P_{\mathrm{constant}_{\mathrm{true}}}&&\mathrm{True} \\ \\ P_{\mathrm{constant}_{\mathrm{false}}}&&\mathrm{False} \end{array}$

命題変数もそうですが、

この命題定数の真偽は「命題である時点」で確定

「命題変数」は「真か偽のどちらか」分かりませんが、

「命題定数」は「真か偽のどちらか」が確定しています。

余談ですが、

「真なる命題」を「恒真（いっつも真）命題」と言って、

「 $1,⊤,T,\mathrm{True}$ 」という感じに書くことがあります。

同様に、

「偽なる命題」は「恒偽命題」と言って

「 $0,⊥,F,\mathrm{False}$ 」なんて書かれることがありますね。

「命題変数」みたいな用語と同様、

これもあまり多用される単語ではありませんが、

文献によっては出てくる言葉なので覚えておきましょう。

特に「恒真命題」は、

「トートロジー」と呼ばれることがあって、

これはわりと見る方なので覚えておくと良いと思います。

原子命題・原子式 Atomic Proposition

|| 原子っていうと大体一番ちっさい感じ

「単一の」命題変数もしくは命題定数

そのどちらかだけで作らていれる『論理式』

命題定数を含めない場合もありますが、

こういう「一個の命題だけ」でできているやつを、

「原子式」なんて呼んだりすることがあります。

これは「命題の最小単位」のようなもので、

「原子式」は『命題から論理式を作った』

ということを強調するための表現になります。

似たような概念として、

「原子論理式・整式」ってのがあるんですけど、

これもまた最小単位ではあるんですが、

こっちは「論理式の」最小単位で、

「原子命題」とはまた別。

『採用される記号』が決定

→ 『原子論理式』が定義される

→「命題変数」が厳密に定義される

→ 『原子命題』が定義できる

順番としてはこんな感じで、

それぞれ独立して定義されます。

命題記号

|| 命題（命題論理）で使われる記号

これは『命題を組み立てる』で紹介した「結合記号」の話。

５つあります。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle ￢&&\mathrm{not} \\ \\ ∨ && \mathrm{or} \\ \\ ∧ && \mathrm{and} \\ \\ \to && \mathrm{if\text{-}then} \\ \\ ⇔ && \mathrm{equivalent} \end{array}$

詳細は長くなってしまうので、

詳しくはリンクを参照してください。

命題論理 Propositional Logic

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