|| 学校で習ったやつ
これは「真理値」と「集合論」のコネクターです。
二つを結びつける考え方の１つになります。
スポンサーリンク
命題との関連
「真理集合」ってのは、
要は『真理値の感覚を集合で表現したもの』なので、
当然、真偽を判別できる「命題」とは深く関わっています。
具体的には、
例えば「命題（条件） A(x) 」とした時
『議論領域（見る範囲の全体） U 』とすると、
\begin{array}{llllll} A_{\mathrm{set}}&=&\{x∈U \mid A(x)\} \end{array}
『条件 A を満たす x の全て』を
このような形で表現することができるわけで。
「命題 A(x) 」によって
『その命題を満たす x の範囲』に限定できる
\begin{array}{lllll} \displaystyle A(x) \\ \\ A_{\mathrm{set}} &=&\{x∈U \mid A(x)\} \end{array}
まあつまり
「命題」っていう『真偽が判別できる文』を
「命題を満たすもの全て」とできるため、
『命題と集合を等価とみなせる』
この感覚を「真理集合」は提供してくれるわけです。
否定と補集合
似たような要領で、
「命題記号」もまた『集合』に変換できます。
その中でも「否定」が最も分かりやすいのでまずはそれを紹介。
\begin{array}{llllllll} \displaystyle A(x) \\ \\ A_{\mathrm{set}} &=&\{x∈U \mid A(x)\} \\ \\ \\ \displaystyle ￢A(x) \\ \\ \overline{ A_{\mathrm{set}} }&=&U \setminus A_{\mathrm{set}} \end{array}
というわけで「否定」ですが、
これは見たまま「補集合」を使って表現されます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ￢A(x) \\ \\ \overline{A_{\mathrm{set}} }&=&\{x∈U \mid ￢A(x)\} \end{array}
まあ分かると思いますが、
「命題（条件） A 」を満たさない「要素 x 」ってのは、
つまり 「命題（条件） A 」を満たす「要素 x 以外」なわけで、
となれば、その範囲は A_{\mathrm{set}} の外側。
つまり「全体像 U 」の中の A_{\mathrm{set}} 以外となるので、
そのまま『補集合』を『否定』と等価のものとみなせます。
真偽と空集合
ある「命題 A(x) 」を考えた時、
例えば『条件を満たす x が存在しない』ような
そういう命題（恒偽命題）を作れるわけですが、
\begin{array}{lllllll} \displaystyle \mathrm{True} &=& A(x)∨￢A(x) \end{array}
\begin{array}{llllll} U&=&\{x∈U \mid A(x)∨￢A(x) \} \\ \\ \\ ∅&=&\overline{U} \end{array}
「命題 A(x)∨￢A(x) の真理集合 U 」の『否定』は
必ず『空集合』になってしまいます。
まあつまり『条件を満たすものがない命題』
『真理集合が空集合 ∅ になってしまう命題』は
その範囲内では「恒偽命題」になります。
否定以外の命題記号
「論理包含」以外は直感的に分かると思います。
というのも「条件 B 」も考えると、
\begin{array}{llllllll} \displaystyle A_{\mathrm{set}}∪B _{\mathrm{set}} &&A∨B \\ \\ A _{\mathrm{set}} ∩B _{\mathrm{set}} &&A∧B \end{array}
まあこんな感じに、
似た振る舞いをすることがすぐに分かるので。
直感的じゃない論理包含の真理集合
「論理包含 → 」の真理集合は直感じゃ分かりません。
「真理値」を根拠にして無理矢理定義するしかないです。
A_{\mathrm{set}}∪\overline{ B_{\mathrm{set}} }
「 1 」を「要素あり」
「 0 」を「要素無し」とします。
| A_{\mathrm{set}} | B_{\mathrm{set}} | \overline{B_{\mathrm{set}}} | A_{\mathrm{set}}∪\overline{B_{\mathrm{set}}} |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
するとまあこうなるわけですが、
これは直感じゃよくわからんと思います。