収束に関するあれやこれやを基本的なやつは一通りわかりやすくまとめてみた

|| 最終的に落ち着く感じ

一つの値に定まっていく感じ

『極限』を知ってることが前提の記事になります。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=&α \end{array}$

これを理解してないと雰囲気しか分かりません。

収束 Convergence

|| ある値（上限下限）に落ち着くこと

「無限」と「有限」を繋げる代表的な考え方

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to c} f(x) &=&α &&|α|&<&\infty \\ \\ \displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)&=&L &&|L|&<&\infty \end{array}$

これは証明では論理式の方をよく見かけます。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε&\textcolor{skyblue}{∃δ}>0 & \Bigl( ∀x&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-α|<ε}) \Bigr) \Bigr) \\ \\ \displaystyle ∀ε&\textcolor{skyblue}{∃V}>0 & \Bigl( ∀x&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{V<x})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-L|<ε}) \Bigr) \Bigr) \end{array}$

ちょっと分かりにくいかもしれませんが

$\begin{array}{ccc} |x-c|<δ &&\to&& |f(x)-α|<ε \\ \\ V<x &&\to&& |f(x)-L|<ε \end{array}$

基本、この部分だけ見てればOKです。

（量化の部分は後で確認すれば良い）

具体的な話

「収束する」と言えば

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} &=& 0 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} &=& 1 \end{array}$

代表的なのはだいたい ↑ の２つで

これらを厳密に定義した形が

$\begin{array}{ccccr} N≤n &&\to&& \displaystyle \left| \frac{1}{n} -0 \right| < ε \\ \\ N≤n &&\to&& \displaystyle \left| \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} - 1 \right| < ε \end{array}$

これになります。

（好きに $ε$ を定めても ↑ を満たす $N$ が存在する）

収束しない

「収束しない」には

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} n&=&\infty \end{array}$

「無限大・無限小に近づく」場合である「発散」

（有限の値にはならない）

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} (-1)^n&=&？ \end{array}$

「１つの値に定まらない」場合である「振動」

この２パターンがあります。

極限の一意性

『無限』が絡む話なので

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&α \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&β \end{array}$

「収束先の数」については

$\begin{array}{ccc} α&=&β \end{array}$

よくよく考えてみると

きちんと「同じになるか」

現時点ではまだ微妙なところです。

実際、無限を考える場合

$\begin{array}{ccc} \sin nπ=0 & & \to & &\displaystyle n=0,1,2,3,4,... \end{array}$

例えばこんな方程式を考えると

これの解は無数に考えられます。

（ $n$ の範囲が非有界であるからこうなる）

そしてこういった事例がある以上

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&α \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&β \end{array}$

「極限」の操作ではこれが起こらない

そう断言できる保証は無いので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&α,β,γ,... \end{array}$

「複数の値に収束する」

この可能性はきちんと考える必要があります。

収束と三角不等式

着地は ↓

$\begin{array}{ccc} α-β&=&0 \end{array}$

前提は ↓ なので

$\begin{array}{lcc} |a_n -α|&<&ε \\ \\ |a_n -β|&<&ε \end{array}$

↑ の話を考えるためには

$\begin{array}{ccc} |a+b|&≤&|a|+|b| \end{array}$

こんな形をした

「三角不等式」というものを考える必要があります。

（この時点では結論の先取りかも）

どちらも収束するという仮定

↑ の話を深堀すると

$\begin{array}{lcc} |a_n -α|&<&ε \\ \\ |a_n -β|&<&ε \end{array}$

まず「 $α$ と $β$ に収束する」

仮定されてる前提がこれしか無いことから

どちらかの前提を出発点として

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |a_n-α|&<&ε \\ \\ |a_n-β|&=&|a_n-α+α-β| \end{array}$

着地である $α,β$ の関係を意識しながら

式に $α,β$ の両方を入れてみる

やれることはそれくらいしかないので

↑ の式の形から

ここで「三角不等式」を思いつければ

$\begin{array}{ccc} |a_n-β|&≤&|a_n-α|+|α-β| \\ \\ &&|a_n-α|+|α-β|&<&ε+|α-β| \end{array}$

この関係式は

そのまま「収束」の定義に寄せることができるため

$\begin{array}{ccc} |a_n-β|&<&ε+|α-β| \end{array}$

結果、良い感じの関係式が得られます。

（この一連の流れを短くまとめたのが ↑ です）

等しくない可能性

↑ の結果を意識しながら

$\begin{array}{llllll} \displaystyle α≠β &&\to&&|α-β|≠0 \end{array}$

「等しくなる」という結果を得るために

$α,β$ が「僅かにでも異なる」場合を考えると

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |a_n-β|&<&ε+|α-β| \end{array}$

この式によれば

「 $|α-β|$ はなんらかの正の有限値になる」ので

$\begin{array}{ccc} |a_n-β|&<&ε+c \end{array}$

右は必ず「 $c$ より上」になり

左は「任意の値 $ε$ では抑えられない」

つまり

「収束値が異なる」と仮定すると

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&β+|α-β| \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&≠&β \end{array}$

その結論は「収束しない」になります。

（この結果は収束するという前提に反する）

違う場合矛盾するなら

以上の結果を考えると

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&α \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n&=&β \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |α-β|&=&|α-(a_n-a_n)-β| \end{array}$

仮に「両方とも収束する」のであれば

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |α-(a_n-a_n)-β|&≤&|α-a_n|+|a_n-β| \\ \\ &&|α-a_n|+|a_n-β|&<&ε_α+ε_β \end{array}$

こうならなければならないため

結果として

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& |α-β|&<&ε \end{array}$

$|α-β|$ は $0$ になる

つまり「収束値は一意に定まる」ことになります。

有界単調数列 Bounded Monotone

|| 上界と上限の定義から導かれる当然の結果

「収束する」のほぼ原形と言える事実

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=&\sup \{a_n\} \end{array}$

「上に有界」な『単調増加数列 $\{ a_n \}$ 』

$\begin{array}{ccc} |a_n - α|&<&ε \end{array}$

これは必ず「収束」し

その収束値は「上限」と一致する。

これは「収束」の感覚を表現するものとしては

おそらく最もシンプルな結果で

簡単に言うと

$\begin{array}{ccc} a_n &<& α \end{array}$

この「 $α$ は存在する」よねって話です。

（「～より大きい」で出てくる～の存在）

ちなみに

「単調増加数列」っていうのは

$\begin{array}{llllll} \displaystyle a_0&≤&a_1&≤&a_2&≤&\cdots \end{array}$

その名の通り

「大きくなり続ける数列」のことです。

（小さくなり続ける数列は単調減少数列）

収束することの証明

「上限 $α$ 」としておきます。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sup \{a_n\} &=&α \end{array}$

その上で

↓ を示すとなると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle |a_n-α|&<&ε \end{array}$

着地があまりにも基礎的なため

そのまま「定義」から逆算する以外になく

$\begin{array}{llllll} \displaystyle a_n&≤&α \end{array}$

まず「上限」の定義から

これは明らかですから

$\begin{array}{llllll} \displaystyle α-ε&<&a_k \end{array}$

「上限の定義」「任意の実数 $ε>0$ 」を使い

このような「 $a_k$ の存在」を考えて

$\begin{array}{llllll} \displaystyle a_k&≤&a_n \end{array}$

大小関係を良い感じに調整し

（少なくとも $n=k$ が明らか）

以上の結果から

$\begin{array}{llllll} \displaystyle α-ε&<&a_k&≤&a_n&≤&α&<&α+ε \end{array}$

このような関係が導けるので

$\begin{array}{ccccc} α-ε&<&a_n&<&α+ε \end{array}$

この結果から

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |a_n-α|&<&ε \end{array}$

そのまま「極限の定義」を得ることで

「有界単調数列の収束」は証明することができます。

（有界な単調増加列は上限 $α$ と一致する）

下限も同様

念のため確認しておくと

$\begin{array}{ccc} α &≤& a_n \end{array}$

これもまた

「下限 $α$ 」の定義から

$\begin{array}{ccc} && a_k &≤& α+ε \\ \\ a_n &≤& a_k \end{array}$

これが得られるので

（下限の定義よりこのような $a_k$ が確実に存在する）

$\begin{array}{lllllllllll} α-ε&<&α&≤& a_n&≤& a_k &<& α+ε \\ \\ α-ε&<& & & a_n & & &<& α+ε \end{array}$

結果、この結論が得られます。

上極限と下極限 Superior Inferior

|| 極限を考える上で出てくる考え方

「上から近付ける」と「下から近付ける」

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( \sup_{n≤k} \{a_k\} \right) \\ \\ \displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( \inf_{n≤k} \{a_k\} \right) \end{array}$

「下限」を見つけるのが「上極限」で

「上限」を見つけるのが「下極限」です。

定義の解説

ちょっとややこしいですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sup_{n≤k}a_k&=&α_n \end{array}$

この「上限 $α_n$ 」は

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} α_n &=& α \end{array}$

「 $a_n$ の下限 $α$ に近づく値」で

（下極限の下限も同様）

具体的には

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\sup_{1≤k}a_k&=&α_1 \\ \\ \displaystyle\sup_{2≤k}a_k&=&α_2 \\ \\ &\vdots \end{array}$

こんな感じになっていて

例えば ↓ のような一般項の数列を考えれば

$\begin{array}{ccc} a_k&=& \displaystyle\frac{1}{k} \end{array}$

最初の方が上限になることから

$\begin{array}{ccc} α_1&α_2&α_3&\cdots & α_k &\cdots & α \\ \\ 1 & \displaystyle\frac{1}{2}& \displaystyle\frac{1}{3} &\cdots &\displaystyle\frac{1}{k} &\cdots & 0 \end{array}$

$α_n$ が上から下限 $α$ に近付いていく

$\begin{array}{ccc} α_n && \to && α \end{array}$

この感覚を確認することができます。

（下極限はこの逆です）

$α_n$ の数列は単調数列

↑ で出てくる $α_n$ について

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sup_{n≤k}a_k&=&α_n \end{array}$

例えば「上極限」で考えるなら

$\begin{array}{ccc} α_{n+1} &≤& α_n \end{array}$

これは必ずこうなります。

これは「上限」の定義を考えると明らかで

（下極限なら下限を考える）

$\begin{array}{ccl} \displaystyle\sup_{n≤k}a_k&=&α_n \\ \\ \displaystyle\sup_{n+1≤k}a_k&=&α_{n+1} \end{array}$

例えばこれの違いは

「 $a_n$ を考えるかどうか」だけですから

（ $α_{n+1}$ は $α_{n}$ から $a_n$ を抜いた上限）

$\begin{array}{ccc} a_n &≤&α_{n+1} \\ \\ && α_{n+1} &<&a_n \end{array}$

「 $α_{n+1}$ と比較した $a_n$ 」のパターンを全て考えれば

$\begin{array}{ccc} a_n ≤α_{n+1} &&\to&& \begin{array}{ccc} \displaystyle\sup_{n+1≤k}a_k&=&α_{n+1} \\ \\ \displaystyle\sup_{n≤k}a_k&=&α_{n+1} \end{array} \\ \\ \\ α_{n+1} <a_n &&\to&& \begin{array}{ccc} \displaystyle\sup_{n+1≤k}a_k&=&α_{n+1} \\ \\ \displaystyle\sup_{n≤k}a_k&=&α_{n} \end{array} \end{array}$

こうなるので

$\begin{array}{lcc} α_{n+1} - α_{n} &≤& 0 \\ \\ α_{n+1}&≤&α_{n} \end{array}$

「単調減少列である」ことは明らかだと言えます。

（同様の理屈で下極限の方は単調増加列）

有界なら上極限は存在する

以上のことと

「有界な単調数列は必ず収束する」ことから

$\begin{array}{lcc} |a_n-α|&<&ε \end{array}$

この事実に着地する形で

「有界」を前提とした上で定義できる

$\begin{array}{ccc} α &≤& \displaystyle\sup_{n≤k}a_k&=&α_n \end{array}$

このような「上限の数列」の存在より

$\begin{array}{ccc} α&≤& \cdots &≤& α_k&≤&\cdots&≤&α_2&≤&α_1 \end{array}$

「上極限（下限） $α$ の存在」は

このような形で証明されます。

（下極限も同様の手順で証明できる）

上極限と下極限が一致 → 極限が存在

これについては

「はさみうちの原理」を考えると

$\begin{array}{llllllllll} \displaystyle &&a_n&≤&c_n&≤&b_n \\ \\ &&a_n-α&≤&c_n-α&≤&b_n-α \\ \\ -ε&<&a_n-α&≤&c_n-α&≤&b_n-α&<&ε \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |c_n-α|&<&ε \end{array}$

「上限・下限」の定義から導かれる

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\inf_{n≤k}a_k &≤& a_n &≤& \displaystyle\sup_{n≤k}a_k \end{array}$

この関係から

「上極限と下極限が一致する」

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} a_n &=& α &=&\displaystyle \liminf_{n\to\infty} a_n \end{array}$

これを前提とするなら

$\begin{array}{ccc} α-ε &<& \displaystyle\inf_{n≤k}a_k &<& α+ε \\ \\ α-ε &<& \displaystyle\sup_{n≤k}a_k &<& α+ε \end{array}$

これは定義より明らかですから

（上極限と下極限の定義そのまま）

$\begin{array}{ccc} α-ε &<& \displaystyle\inf_{n≤k}a_k &≤& a_n &≤& \displaystyle\sup_{n≤k}a_k &<& α+ε \\ \\ α-ε &<& && a_n && &<& α+ε \end{array}$

結果、こうなるので

これで「極限の存在」が証明されました。

一様収束 Uniform Convergence

|| 繋がったまま収束する感じ

「一番大きな差」も「きちんと無くなる」

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sup |f_n(x)-f(x)| &=& 0 \\ \\ \sup |f_n(x)-f(x)| &<& ε \end{array}$

だいぶ分かりにくいですが

これは「連続が保たれる収束」を意味します。

（関数の列に対して定義される概念）

一様収束しない関数列

分かりやすい話だと

$\begin{array}{ccc} f_n(x)&=&x^n \end{array}$

例えばこういった

「変化が急激な関数」を考える場合

区間 $[0,1]$ で考えると

$\begin{array}{ccc} f(x) &=& \displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} 0&&0≤x<1 \\ \\ 1 &&x=1 \end{array} \right. \end{array}$

「収束先の関数」はこのような形になり

（ $1$ より下は $n\to\infty$ で $0$ に収束するため）

$\begin{array}{ccc} |x^n-a^n|&<&ε \end{array}$

この「連続関数」は

「不連続関数に収束する」ことになります。

（区間 $[0,1)$ の範囲内だと一様収束します）

一番大きな差を使うから

「一様収束」は ↑ の可能性を省いていて

$\begin{array}{ccc} \sup |f_n(x)-f(x)| &≥& \displaystyle \left| f_n \left( 1- \frac{1}{n} \right) - f \left( 1- \frac{1}{n} \right) \right| \\ \\ && \displaystyle \left| \left( 1- \frac{1}{n} \right)^n - 0 \right| \end{array}$

例えば ↑ の場合

「最も大きな差」を考えてみるために

$\begin{array}{lcl} x&=&\displaystyle 1-\frac{1}{n} \end{array}$

$1$ にはならない

でも $1$ に近づいていく

そういった $x\in [0,1]$ を考えてみると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( 1- \frac{1}{n} \right)^n &=&\displaystyle \frac{1}{e} \end{array}$

「最大の差」は必ず下から抑えられるので

「任意の実数 $ε$ で抑えられない」

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{1}{e} &≤& \sup |f_n(x)-f(x)| \end{array}$

つまり「一様収束しない」と言えるため

（上限を参照するために $x$ を固定しないからこうなる）

その結果として

「連続にならない関数」は

「一様収束しない」と言えます。

一様収束するなら収束先は連続関数

適当に区間 $I$ を定めて

（だいたい $[0,1]$ とか）

$\begin{array}{ccc} |x-a|<δ &&\to&& |f(x)-f(a)|<ε \end{array}$

着地を意識しながら

$\begin{array}{ccc} |f(x)-f_N(x)|&<&ε \\ \\ |f(a)-f_N(a)|&<&ε \end{array}$

「一様収束」の定義と

（全ての $x$ で成立する以下のような $N$ が存在する）

$\begin{array}{ccc} |x-a|<δ &&\to&& |f_N(x)-f_N(a)|<ε \end{array}$

「連続」の定義を確認すると

「三角不等式」さえ思いつければ

$\begin{array}{lcc} |f(x)-f(a)| \\ \\ \Bigl| f(x) + \Bigl( -f_N(x) +f_N(x) -f_N(a)+f_N(a) \Bigr) -f(a) \Bigr| \\ \\ \Bigl| \Bigl( f(x) -f_N(x) \Bigr) + \Bigl( f_N(x) -f_N(a) \Bigr) + \Bigl( f_N(a) -f(a) \Bigr) \Bigr| \end{array}$

式はこのような形に変形できるので

$\begin{array}{ccc} |x-a|<δ &&\to&& |f(x)-f(a)|<3ε \end{array}$

特に障害もなく

欲しい結論へはすぐに辿り着けます。

（ $3ε>0$ は $ε>0$ と範囲が同じ）

各点収束 Pointwise Convergence

|| １つ１つの点で収束先と一致する

「関数列の収束先」と「ある点 $a$ で一致する」

$\begin{array}{ccc}\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n(a) &=& f(a) \end{array}$

これが「全ての点 $x$ 」で成立する感じ。

（点 $x=a$ を固定してから $n$ を動かす）

「一様収束」とは異なり

「全ての点で一致」してさえいればOKです。

（一様収束はその上で連続性を維持する）

一様収束するなら各点収束する

これは論理式を見ると

（見やすさのために定義域は省略）

\begin{array}{ccc} \textcolor{pink}{\forall x} & \forall ε & \exists N & \forall n≥N \end{array}

$\begin{array}{ccc} n≥N && \to && |f_n(x) - f(x)|<ε \end{array}$

「各点収束」がこれで

（収束するかどうか $x$ を１個ずつ調べる）

\begin{array}{ccc} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & \textcolor{pink}{\forall x} \end{array}

$\begin{array}{ccc} n≥N && \to && |f_n(x) - f(x)|<ε \end{array}$

「一様収束」がこれなので

（収束するかどうか最大も含め全ての $x$ を一気に調べる）

『全ての $x$ で』↓ が成り立つ

（ $[0,1]$ 上の $x^n$ では成立しない）

$\begin{array}{ccc} n≥N &\to & |f_n(x) - f(x)|<ε \end{array}$

これを最後に確認する「一様収束」を前提にすると

（ $ε,n,N$ が定まった上で全ての $x$ で成立する）

当然、ある点 $x=a$ でも ↓ は成立し

（各点収束では最初に１つの点 $x$ を固定する）

$\begin{array}{ccc} n≥N &\to & |f_n(a) - f(a)|<ε \end{array}$

これは全ての $x$ で成立するため

（一様収束で既に確認したこと）

この結果から

「一様収束する」なら

「各点収束する」と言えてしまいます。

論理式を機械的に処理してみる

↑ だと誤魔化されてる感じがあると思うので

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} n≥N && \to && |f_n(x) - f(x)|<ε \end{array} \\ \\ \\ ↓ \\ \\ \\ P(ε,n,N,x) \end{array}$

省略するため

とりあえずこれをこうして

$\begin{array}{ccc} & \forall ε & \exists N & \forall n≥N & \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε,n,N,x) \\ \\ \textcolor{pink}{\forall x} & \forall ε & \exists N & \forall n≥N & & P(ε,n,N,x) \end{array}$

「一様収束」「各点収束」について

それぞれ分解しながら考えてみます。

複雑な論理式での量化子の扱い

まずそもそもの話

「論理式」における「量化子」の扱いなんですが

$\begin{array}{ccc} \forall x& \exists y & P(x,y) \end{array}$

例えばこういう論理式は

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} \forall x& \exists y & P(x,y) \end{array} \\ \\ ↓ \\ \\ \begin{array}{ccc} \forall x& Q(x,y) \end{array} \end{array}$

論理式全体で見るとこうなっていて

「定義域が定まっている変数」に

「定義域に含まれる定数」を入れると

（正しくなる最も重要な根拠がこの定義域）

$\begin{array}{ccc} \forall x& \exists y & P(x,y) &&\to&& \begin{array}{cl} \exists y & P(0,y) \\ \\ \exists y & P(1,y) \\ \\ \exists y & P(2,y) \\ \\ & \vdots \end{array} \end{array}$

これはこうなります。

（ $x,y$ には定義域が定まっている）

「存在量化」もこれは同様で

$\begin{array}{ccc} \exists y & P(0,y) &&\to&& P(0,1) \end{array}$

「 $P(x,y)$ が真になる」ような

そういった定数として $1$ を考えると

$\begin{array}{ccc} P(0,1) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{True} \end{array}$

結果、このようになり

これを逆算する形で

$\begin{array}{ccc} && P(0,1) \\ \\ && ↓ \\ \\ &\exists y & P(0,y) \\ \\ &&↓ \\ \\ \forall x & \exists y & P(x,y) \end{array}$

元の論理式は

このような手順で構成されています。

（具体的な定数を入れても $x,y$ の定義域はそのまま）

一様収束と各点収束の構成

以上のことを踏まえて

「一様収束」から論理式を組み立ててみると

$\begin{array}{ccc} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε,n,N,x) \end{array}$

それぞれ「 $P(ε,n,N,x)$ が真になる」ような

定義域に含まれる定数 $c_*$ を入れていけば

$\begin{array}{ccc} \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε_*,n_*,N_*,x) &&\to&& P(ε_*,n_*,N_*,x_*) \end{array}$

$x$ が定義域内の値であるなら

常に $P(ε_*,n_*,N_*,x)$ は成立するので

（一様収束が保証する事実）

$\begin{array}{ccccl} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε,n,N,x) \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & & P(ε,n,N,x_*) \end{array}$

「一様収束」の定義をそのまま辿れば

↓ は確実に成立すると言えますから

（変数の定義域が全て同じであれば）

$\begin{array}{lllllll} & & & P(ε_*,n_*,N_*,x_*) \\ \\ & & \forall n≥N_* & P(ε_*,n,N_*,x_*) \\ \\ & \exists N & \forall n≥N & P(ε_*,n,N,x_*) \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & P(ε,n,N,x_*) \end{array}$

後はそのまま

$\begin{array}{cccc} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & P(ε,n,N,x_{1*}) \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & P(ε,n,N,x_{2*}) \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & P(ε,n,N,x_{3*}) \\ \\ &&&\vdots \end{array}$

機械的に処理していけば

$\begin{array}{ccc} \textcolor{pink}{\forall x} & \forall ε & \exists N & \forall n≥N & & P(ε,n,N,x) \end{array}$

「一様収束」の定義より

「各点収束」の定義を得ることができます。

（ $P(ε,n,N,x)$ は全ての $x$ で成立する）

逆は成立しない

「一様収束」の定義では

$x$ の量化を最初に行っているので

どの $x_*$ で固定しても ↓ は成立することから

$\begin{array}{ccc} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & & P(ε,n,N,x_*) \end{array}$

結果

$x$ の量化を後回しすることができましたが

$\begin{array}{ccccl} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε,n,N,x) \\ \\ \forall ε & \exists N & \forall n≥N & & P(ε,n,N,x_*) \end{array}$

「各点収束」では一番最後に量化されるので

$\begin{array}{ccc} \forall ε & \exists N & \forall n≥N & & P(ε,n,N,x_*) \end{array}$

$x^n$ の例を考えれば分かる通り

$\begin{array}{clc} & P(ε_*,n_*,N_*,x_*) &&〇 \\ \\ \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε_*,n_*,N_*,x) &&△ \end{array}$

「 $ε,n,N$ が固定された状態」では

まずこれを保証することができません。

（全称量化の性質）

一様収束と各点収束の明確な違い

整理すると

$\begin{array}{ccc} \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε_*,n_*,N_*,x) \end{array}$

「一様収束」では

これがまず保証されていて

（下限上限を含めた全ての $x$ で成立する）

$\begin{array}{clc} & P(ε_*,n_*,N_*,x_*) &&〇 \\ \\ \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε_*,n_*,N_*,x) &&△ \end{array}$

「各点収束」ではこれが保証されていません。

（全ての $x$ で成立するとは限らない）

結果

「各点収束」の方からは

「一様収束」を導くことはできないんですが

$\begin{array}{ccc} \forall x &P(x) &&\to&& P(x_*) &&〇 \\ \\ \forall x &P(x) &&←&& P(x_*) &&△ \end{array}$

「一様収束」の方からは

$\begin{array}{clc} \textcolor{pink}{\forall x} & P(ε_*,n_*,N_*,x) &&〇 \\ \\ & P(ε_*,n_*,N_*,x_*) &&〇 \end{array}$

$x$ を最初から固定できるので

「各点収束」を導くことができます。

（一様収束 → 各点収束の証明の核はこれ）

同程度連続 Equi-Continuous

「関数」版の「コーシー列」のような条件

$\begin{array}{ccc} |a-b|<δ && \to && | f_n(a) - f_n(b) |<ε \end{array}$

見た目通りで

こういう形をした条件を「同程度連続」と言います。

（収束先の関数が連続になるというのが本質）

同程度連続の役割

「各点収束」にこの条件が加わると

$\begin{array}{ccc} \sup |f_n(x)-f(x)| &<& ε \end{array}$

結果として

「一様収束」の条件が満たされる

「同程度連続」には

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Uniform} &&\to&& \mathrm{Pointwise} && 〇 \\ \\ \mathrm{Uniform} &&←&& \mathrm{Pointwise} && △ \end{array}$

この「各点収束から一様収束を得る」という

両者を繋ぐ役割があります。

同程度連続で保証される性質

一見しただけでは分かりませんが

この性質が意味しているのは

$\begin{array}{lcc} | f(a) -f_n(a) | &<&ε \\ \\ |f_n(b)- f(b) | &<&ε \end{array}$

「関数列の収束」を前提とした上での

$\begin{array}{ccc} |a-b|<δ && \to && | f_n(a) - f_n(b) |<ε \\ \\ && && ↓ \\ \\ |a-b|<δ && \to && | f(a) - f(b) |<ε \end{array}$

「収束先が連続である」という結果で

$\begin{array}{lcc} | f(a) - f(b) | \\ \\ | f(a) -f_n(a) +f_n(a)-f_n(b) +f_n(b)- f(b) | \\ \\ | f(a) -f_n(a) | +|f_n(a)-f_n(b) |+|f_n(b)- f(b) | &<& ε \end{array}$

これを実現させるために必要な

「最低限のパーツ」として

$\begin{array}{ccc} | f(a)-f(b) |&≤& \begin{array}{lcc} | f(a) -f_n(a) | &<&ε && 〇 \\ \\ | \textcolor{pink}{f_n(a)-f_n(b)} | &<&ε &&？ \\ \\ |f_n(b)- f(b) | &<&ε && 〇 \end{array} \end{array}$

「同程度連続」という概念は定義されています。

（先に欲しい結果があってこの条件がある）

一様収束するには各点収束に縛りが必要

「一様収束する」より

「各点収束する」の方が条件としては緩い

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Uniform} &&\to&& \mathrm{Pointwise} && 〇 \\ \\ \mathrm{Uniform} &&←&& \mathrm{Pointwise} && △ \end{array}$

これを実感しやすい事実として

$\begin{array}{ccc} \mathrm{Pointwise}∧\mathrm{Equi \,\, Continuous} & & \to & & \mathrm{Uniform} \end{array}$

「各点収束する」に加えて

「同程度連続」が必要になる

こういう分かりやすい結果が存在します。

同程度連続と三角不等式

収束の証明手順で何度も見ている通り

$\begin{array}{ccc} \sup |f_n(x)-f(x)| &<& ε \end{array}$

この結論もまた同様に示すことができて

$\begin{array}{lcc} |f_n(x)-f(x)| &<& ε \\ \\ |f_n(x)-f_n(a)+f_n(a)-f(b)+f(b)-f(x)| &<& ε \end{array}$

この着地と

$\begin{array}{ccc} |a-b|<δ && \to && | f_n(a) - f_n(b) |<ε \\ \\ && && ↓ \\ \\ |a-b|<δ && \to && | f(a) - f(b) |<ε \end{array}$

「 $a,b$ を好きに動かせる」

「同程度連続」であるという仮定から

$\begin{array}{ccc} |f_n(x)-f(x)| &<& ε \end{array}$

わりと直感的な形で

結論はすぐに得ることができます。

各点収束と連続の定義

「各点収束」の条件を

$\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀ε>0&\textcolor{skyblue}{∃δ>0} \\ \\ \Bigl( ∀x∈R&\Bigl( (\textcolor{skyblue}{|x-c|<δ})⇒(\textcolor{pink}{|f(x)-f(c)|<ε}) \Bigr) \Bigr) \end{array}$

「連続」の条件のように扱うために

$\begin{array}{ccc} m&≤& x_1 &≤& \cdots &≤& x_i & ≤ & \cdots&≤&M \end{array}$

区間内の１つ点 $x_i$ を定めると

$\begin{array}{ccc} |x_{i} - x|&<&δ \end{array}$

「区間」内の話として

例えばこのような連続の前提が定まるので

（区間内の点 $x_i$ で同程度連続）

１つの点 $x_i$ を固定した時

$x_i$ で収束の条件は満たされることから

（各点収束より１点 $x_i$ で収束することは明らか）

$\begin{array}{ccc} |x_i-x|<δ & & \to & & |f_n(x_i)-f(x_i)|<ε \end{array}$

これは確実に成立し

（この場合 $x$ に関係なく右は成立）

$\begin{array}{lcc} |f_n(x)-f_n(x_i)+f_n(x_i)-f(x_i)+f(x_i)-f(x)| \\ \\ |f_n(x)-f_n(x_i)| + |f_n(x_i)-f(x_i)| + |f(x_i)-f(x)| &<& 3ε \end{array}$

「同程度連続」の条件より

これは「全ての点 $x$ 」で成立すると言えるので

（同程度連続の条件で点 $x$ を動かしている）

「全ての点」の中には

もちろん上限をとる点も含まれますから

$\begin{array}{ccc} |f_n(x)-f_n(x_i)+f_n(x_i)-f(x_i)+f(x_i)-f(x)| &<&3ε \\ \\ \sup |f_n(x)-f(x)| &<& 3ε \end{array}$

結果、この結論が導かれます。

（各点収束の１点の話と連続の定義が話の核）

収束級数 Convergent Series

|| そのまま収束する級数のこと

級数の中でも特に「収束する」やつのこと

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}a_k&=&a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \\ \\ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k&=&a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n &=&S_n \end{array}$

「無限個の項の和」を『級数』と言い

「その有限の一部分 $S_n$ 」を「部分和」と言います。

ちなみに「数列」パターンだと

「部分列」は「無限個」でちょっとややこしいので

この記事では部分和って単語を敢えて使っていません。

収束級数の性質

収束級数を構成する数列 $a_n$ について

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right) - α \right| &<& ε \end{array}$

「級数が収束する」という条件からは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=& 0 \end{array}$

実はこのような結果が得られます。

（これは代表的な性質ですが逆は成立しません）

級数が収束する → 数列が $0$ に収束する

これはほぼ定義の確認です。

$\begin{array}{ccc} a_n &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k \\ \\ | a_n | &=& \displaystyle \left| \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k \right| \end{array}$

「三角不等式」を使う時の式変形

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right) - α \right| + \left| \left( \sum_{k=1}^{n-1} a_k \right) - α \right| &<& ε + ε \end{array}$

この部分さえ思いつければ

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left| \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right) - α - \left( \sum_{k=1}^{n-1} a_k \right) + α \right| \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right) - α \right| + \left| \left( \sum_{k=1}^{n-1} a_k \right) - α \right| \end{array}$

こうなりますから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right) - \left( \sum_{k=1}^{n-1} a_k \right) &=& 0 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=& 0 \end{array}$

結果、この部分は必ずこうなると言えます。

絶対収束 Absolutely Convergent

|| 三角不等式から得られる当然の結果

「実数・複素数」の収束を確認する方法の代表例

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} a_n \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} |a_n| &<&\infty \end{array}$

「コーシー列」を基軸として

$\begin{array}{llllll} \displaystyle |a+b|&≤&|a|+|b| \end{array}$

「三角不等式」や

$\begin{array}{cllllll} \displaystyle z&=&a+bi \\ \\ |z|&=&\displaystyle\sqrt{z^* z} \\ \\ &=&\displaystyle\sqrt{a^2+b^2} \end{array}$

「ノルム・複素共役」など

「正の値」を利用する感じが

この発想の源泉になります。

条件収束 Converge Conditionally

|| 絶対収束より少しだけ範囲の広い収束

「絶対収束だけ」では説明できない収束のこと

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}a_k&=&a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \\ \\ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k&=&a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n &=&α \end{array}$

こういうやつで

まあ要は「ただの収束」を表しています。

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{-1}{n} &=&\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots \\ \\ &=&\log 2 \end{array}$

「条件収束」の話でよく見る具体例はこれ。

こいつは「絶対収束」しませんが必ず収束します。

無条件収束 Unconditional Convergence

「条件収束」の範囲にあるものは

「並び替え」を行うと発散することがあるんですが

（これの詳細は長くなるので別記事）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \right) - α \right| &<& ε \end{array}$

この中でも特に

「並び変えても収束する」やつを

『無条件収束する』と言うことがあります。

まあ要は

そのまま「収束」の『全て』を意味するんですが

正直、あまり意味のあるものではありません。

というのも

これは「条件収束の制限」にあたるもので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \right) - α \right| < ε &&\to&& \begin{array}{ccc} \mathrm{converge} \\ \\ \mathrm{not \,\, diverge} \\ \\ \mathrm{replacement} \,\, \to \,\, \mathrm{same} \end{array} \\ \\ \\ \displaystyle \left| \left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \right) - x \right| < ε &&\to&& \begin{array}{ccc} \mathrm{may \,\, converge} \\ \\ \mathrm{may \,\, diverge} \\ \\ \mathrm{replacement} \,\, \to \,\, \mathrm{different} \end{array} \end{array}$

「絶対収束」ほど実用性があるわけでもなく

「条件収束」ほど広い範囲を含むわけでもない

そういう中途半端なものなので

コーシー積 Cauchy Product

|| 級数同士の掛け算

「総和」と「総和」の掛け算が

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i \sum_{j=1}^{m} b_j &=& \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_ib_j &&〇 \\ \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i \sum_{j=1}^{\infty} b_j &=& \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} a_ib_j &&？ \end{array}$

「無限個」の場合でも成立するための条件

（両方とも収束するし片方は絶対収束する）

これを考えるときに出てくる

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i \sum_{j=1}^{\infty} b_j &=&\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{i} a_{j}b_{i-j+1} \\ \\ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i \sum_{j=0}^{\infty} b_j &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

この「無限を減らした級数同士の掛け算」のことを

「コーシー積」と言います。

コーシー積の意味

これは「無限を１個にする」ための操作で

$\begin{array}{ccc} a_1 (b_1+b_2+\cdots ) \\ \\ a_2 (b_1+b_2+\cdots ) \\ \\ \vdots \end{array}$

「有理数の濃度」を考える時にも出てくる

$\begin{array}{ccc} \textcolor{deeppink}{a_1b_1}&\textcolor{steelblue}{a_1b_2}&\textcolor{mediumaquamarine}{a_1b_3} &\cdots \\ \\ \textcolor{steelblue}{a_2b_1}&\textcolor{mediumaquamarine}{a_2b_2}&a_2b_3 &\cdots \\ \\ \textcolor{mediumaquamarine}{a_3b_1}&a_3b_2&a_3b_3 &\cdots \\ \\ \vdots & \vdots &\vdots \end{array}$

「斜めの操作」が発想の由来になっています。

$a_1$ スタート

斜めスタート位置の順番は $b$ の添え字

片方の添え字は $1$ スタート

$\begin{array}{ccc} a_{j}b_{i-(j-1)} \end{array}$

↑ の導出に至る材料はこんな感じです。

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i \sum_{j=1}^{\infty} b_j &=& \displaystyle a_1 \sum_{j=1}^{\infty} b_j +a_2 \sum_{j=1}^{\infty} b_j + \cdots \\ \\ &↓ \\ \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{i} a_{j}b_{i-j+1}&=& \displaystyle a_1 b_1 +( a_1b_2+a_2b_1) + ( a_1b_3+a_2b_2+a_3b_1 ) + \cdots \end{array}$

ちょっと分かり辛いかもですが

言ってることはシンプル

コーシー積の条件

↑ を見て分かると思いますが

これは「数列の順番」が変更されているので

『収束先が変わる可能性がある』状態にあります。

つまり

「コーシー積」の一意性を考える場合

『順番を考えなくて良い収束条件』を考える必要があって

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} |a_n| &<&\infty \end{array}$

それがそのまま

「コーシー列」に矛盾が出ない条件になっています。

具体的には

この時点では不明ですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i &=&α \\ \\ \displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} b_j &=&β \end{array}$

「両方とも収束」かつ「少なくとも片方が絶対収束」

これが「コーシー積」を用いて良い条件になります。

（これの詳細については後述）

リーマンの再配列定理 Riemann

|| 条件収束するならどんな値もとれる

「条件収束」が持つ性質についての定理

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{-1}{n} -\log 2 \right| &<& ε \\ \\ \displaystyle \left| \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{H(n)}\frac{-1}{H(n)} - x \right| &<& ε \end{array}$

「条件収束する」なら

「並べ替えれば」「全ての値に収束させられる」

これはその事実を示した定理になります。

（長くなるので詳細は別記事で）

収束の判定

「収束する」ということを意味する命題

$\begin{array}{ccc} |a_n - α | &<&ε \end{array}$

これには多くのバリエーションがあって

例えば基本的なものだと

「コーシー列（基本列）」

$\begin{array}{ccc} |a_n-a_m| &<& ε \end{array}$

「有界な正項級数」「絶対収束」

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| &<& \infty \end{array}$

こういうのがあります。

コーシー列 Cauchy Sequence

そのまま「収束する数列」のこと

$\begin{array}{ccc} |a_n-a_m| &<& ε \end{array}$

これはこのような形で定義されています。

（詳細は長くなるので別の記事で）

絶対収束するなら収束する

これについては

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| &<& \infty \end{array}$

「絶対収束」を前提に考えていくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{1} |a_n| & \displaystyle \sum_{n=1}^{2} |a_n| & \cdots & \displaystyle \sum_{n=1}^{k} |a_n| &\cdots \end{array}$

これは確実に「コーシー列」ですから

（収束すると仮定してるので）

$\begin{array}{ccc} k≤l &&→&& \displaystyle \sum_{n=1}^{l} |a_n| - \sum_{n=1}^{k} |a_n|=\sum_{n=k+1}^{l} |a_n| \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{k,l \to \infty}\sum_{n=k+1}^{l} |a_n| &=& 0 \end{array}$

これと「三角不等式」を考えると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \sum_{n=k+1}^{l} a_n \right| &≤& \displaystyle \sum_{n=k+1}^{l} |a_n| &<& ε \end{array}$

$k\leql$ の条件を満たすあらゆる $k,l$ で

↓ の式が得られることから

$\begin{array}{ccc} N≤k,l &&→&& \displaystyle \sum_{n=k+1}^{l} |a_n|<ε \\ \\ N≤k,l &&→&& \displaystyle \left| \sum_{n=k+1}^{l} a_n \right| <ε \end{array}$

これにより

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{1} a_n & \displaystyle \sum_{n=1}^{2} a_n &\cdots &\displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_n &\cdots \end{array}$

この数列は「コーシー列」の条件を満たすと言えます。

（これの詳細はコーシー列の定義を参照）

ということは

これは確実に「収束する」ので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &<&\infty \end{array}$

この無限級数が「収束する」

これは示されたと言えます。

有界な正項級数は収束する

シンプルな話

$\begin{array}{ccc} 0&≤&a_n \end{array}$

ほぼ「絶対収束」を意味する形として

↓ のような数列を考えると

$\begin{array}{ccc} a_1&≤& a_1+a_2 &≤& \cdots \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{1}a_n &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{2}a_n &≤& \cdots &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{k}a_n &≤& \cdots \end{array}$

これは「単調増加列」ですから

（項が全て正の値であるため）

例えば「上に有界ではない」なら

↓ は「発散」しますが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{k\to\infty} \sum_{n=1}^{k}a_n &=& \infty \end{array}$

「上に有界である」場合

$\begin{array}{ccc} \forall k\in N & \exists M &\displaystyle \sum_{n=1}^{k}a_n < M \end{array}$

これは「収束」条件を満たすので

（有界単調数列は収束する）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k} a_n&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \\ \\ && \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &=& α \end{array}$

「上に有界」かつ「正項級数」は

「収束する」条件であると言えます。

比較判定法 Comparison Test

|| シンプルな級数と比較する判定方法

これは「絶対収束」というより

「有界な正項級数」を考えると分かりやすい結果で

$\begin{array}{ccc} |a_n|&≤&|b_n| \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |b_n|&<&\infty \end{array}$

この前提を考えると

$\begin{array}{ccc} |a_1|+|a_2| &≤& |b_1|+|b_2| \\ \\ \displaystyle\sum_{n=1}^{N} |a_n| &≤& \displaystyle\sum_{n=1}^{N} |b_n| \end{array}$

「上に有界な正項級数」の条件は

かなり直接的な形で満たせるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \end{array}$

これは確実に「絶対収束する」

この結論は簡単に得ることができます。

（厳密には ↑ で説明したコーシー列の話から導ける）

絶対収束するなら並び替えても同じ

これは「一意性」を担保するという意味で

$\begin{array}{ccc} H &:&N &\to &N \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)}&=&α&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{array}$

非常に重要な定理の１つになります。

（ ↑ は一般的には成り立たない）

確認しておくと

$\begin{array}{ccc} a_1+a_2+a_3&=&α \\ \\ a_2+a_1+a_3&=&α \end{array}$

「有限」の場合では当然同じです。

$\begin{array}{lcr} \displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} -\frac{1}{4}+\frac{1}{5} -\frac{1}{6}+\frac{1}{7} - \cdots &=& \log 2 \\ \\ \displaystyle (2-1)-\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3} \right) -\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5} \right) - \cdots \\ \\ \displaystyle 2-1+\frac{2}{3}-\frac{1}{2} +\frac{2}{5}-\frac{1}{3}+\frac{2}{7} -\frac{1}{4}+\frac{2}{9} - \cdots \\ \\ 2\left( \displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} -\frac{1}{4}+\frac{1}{5} -\frac{1}{6}+\frac{1}{7} - \cdots \right)&=&2 \log 2 \end{array}$

しかし「再配列定理」から分かるように

任意の無限総和ではこうなってしまいます。

（だから同じになる条件が欲しい）

まずは分かりやすいところから

↑ の定理を確認したいので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| &<& \infty \end{array}$

まず話を簡単に

$\begin{array}{ccc} 0&≤&a_n \end{array}$

定理の主張を意味するこの範囲で

（ ↑ でやった正項級数に合わせる）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)} \end{array}$

この着地について考えてみます。

（最初はこれなら同じになりそう程度）

部分的な有限和と無限

片方の総和は前提として扱えますが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &=& α \end{array}$

「順番を入れ替えた」もう片方の総和については

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)} &=&\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} a_2+a_1+a_4+a_3+a_6+\cdots &=&？ \\ \\ a_1+a_2+a_5+a_6+a_3+\cdots&=&？ \\ \\ a_3+a_1+a_4+a_2+a_7+\cdots &=&？ \\ \\ \vdots \end{array} \right. \end{array}$

一致するとは限らないため

まだよく分かっていません。

しかし「順番が変わっても同じ」になる

「部分的な有限和」を考えてみると

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_n &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &=& α \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &=& α \end{array}$

$H(n)$ の最大値は有限なので

これらは確実にこうなります。

（上に有界な正項級数になる）

最大の添え字と総和

↑ の話に加え

２つの有限和について

$\begin{array}{ccc} \underset{1≤n≤k}{\max} H(n) &=& M_k \end{array}$

両方の「最大の添え字」を考えた時

$\begin{array}{ccc} & & a_3 & & & a_6 & & & a_9 \\ \\ a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&a_6&a_7&a_8&a_9 \end{array}$

「並び替えてない」方は歯抜けが無いので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{M_k} a_n \end{array}$

この２つの総和を比較した場合

その関係は間違いなくこのようになると言えます。

（これで２つの級数を比較できるようになる）

任意性と極限

整理しておくと

$\begin{array}{ccc} \underset{1≤n≤k}{\max} H(n) &=& M_k \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{M_k} a_n \end{array}$

これは「全ての $k$ 」で成立するので

（ $N\leqk$ となる $N$ をどこまでも大きくとれる）

$\begin{array}{ccc} \forall k & \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} ≤ \sum_{n=1}^{M_k} a_n \end{array}$

左は「上に有界な正項級数」ですから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)} &≤&α \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)} &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{array}$

結果、これらはこうなると言えます。

（論理式は論理積で $|x-α|<ε$ をくっつける感じ）

ということは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)} &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{array}$

↑ は示されたと言えるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)}\end{array}$

後はこの逆の関係が得られれば

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)} &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{array}$

この着地を示せそうな感じがします。

（この時点だと予想はできますが確信はありません）

添え字はわりと好き勝手して良い

↑ の話では

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{M_k} a_n&=&a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots \end{array}$

これは規則正しく並んでる感じですが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)}&=&a_3+a_1+a_4+a_7+a_9+\cdots \\ \\ & & ↓ \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)}&=& b_{1}+b_2+b_3+b_4+b_5+\cdots \end{array}$

これは別に

このように書き換えて良いので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)}&=&a_3+a_1+a_4+a_7+a_9+\cdots \\ \\ & & ↓ \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{M_k} a_{n}&=& b_{2}+b_{*}+b_1+b_3+b_{*}+\cdots \end{array}$

ちょっと複雑ですが

$\begin{array}{lcl} a_{H(n)} &=&b_n \\ \\ a_n&=& b_{H^{-1}(n)} \end{array}$

添え字はこのように再定義できるため

（添え字を入れ替えただけ）

$\begin{array}{ccc} \underset{1≤n≤k}{\max} H(n) = M_k &&\to&& \underset{1≤n≤k}{\max} H^{-1} (n) = M_{k} \end{array}$

「 $H$ と $H^{-1}$ は全単射」ですから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{k} b_{H^{-1} (n)} &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{M_k} b_n \end{array}$

同様の手順を経ると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &≤& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)}\end{array}$

そのまま逆の関係式が得られます。

ということは

全てのパターンで ↑ が成立するわけですから

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{H(n)} &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{array}$

結果として

この欲しい結論が得られます。

絶対収束ならだいたい順番を入れ替えて良い

「足し合わせる総数 $k$ 」の任意性を担保しながら

$\begin{array}{lcl} \underset{1≤n≤k}{\max} H(n) & = & M_k \\ \\ \underset{1≤n≤k}{\max} H^{-1} (n) & = & M_{k} \end{array}$

「順番を入れ替えた総和との比較」を行う

$\begin{array}{ccc} \forall k & \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} ≤ \sum_{n=1}^{M_k} a_n \end{array}$

この ↑ の理屈をより直接的に表現する形で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} a_{n} \right) -α \right| &<&ε \end{array}$

実は「実数」「複素数」の範囲でも

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} |a_{n}| \right) - β \right| &<&ε \end{array}$

「絶対収束」するなら

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} \right) -α \right| &<&ε \end{array}$

「順番を入れ替えても収束値は一致する」

この結論は得られます。

着地と有限と三角不等式

これは ↓ の着地に近付けていく過程で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} \right) -α \right| &<&ε \end{array}$

必要な材料を集めていくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} \right) -α \right| &=& \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{N} a_{n} + \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤a_{H(n)}} } a_{H(n)} \right) -α \right| \end{array}$

この「絶対収束する数列に合わせる」

という変形を正当化する形で

$\begin{array}{ccc} |x+y|&≤&|x|+|y| \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{N} a_{n} + \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤{H(n)}} } a_{H(n)} \right) -α \right| &≤&\displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{N} a_{n} \right) -α \right|+\left| \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤a_{H(n)}} } a_{H(n)} \right| \end{array}$

ちょっと強引ではありますが

$\begin{array}{ccr} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{N} a_{n} \right) -α \right|+\left| \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤{H(n)}} } a_{H(n)} \right| &≤& \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{N} a_{n} \right) -α \right| + \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n} \right| \\ \\ &<& \displaystyle ε + \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n} \right| \end{array}$

自動的に求められます。

（この時点ではこれは問題なくやれそうな変形）

絶対収束する級数の一部と比較

↑ の手順を任意性を保ったまま実行できるか

それがこれを正当化する上で重要な要素で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} \right) -α \right| &=& \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{N} a_{n} + \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤{H(n)}} } a_{H(n)} \right) -α \right| \end{array}$

この変形で矛盾が出ない

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} && \to && \displaystyle\sum_{n=1}^{N} a_{n} + \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤{H(n)}} } a_{H(n)} \end{array}$

これを保証するために

例えば ↓ のように

$\begin{array}{cl} \exists n≤M & H(n)=1 \\ \\ \exists n≤M & H(n)=2 \\ \\ \exists n≤M & H(n)=3 \\ \\ &\vdots \end{array}$

総和に $a_1$ が含まれない可能性

総和に $a_2$ が含まれない可能性など

そういった可能性を潰すために

「有限の範囲」なら並べ替えても同じになることを利用して

$\begin{array}{ccc} \exists M & \{ n \mid 1≤n≤N \} ⊂ \{ H(n) \mid 1≤n≤M \} \end{array}$

$N$ はこのような $M$ を使って定義する必要があります。

邪魔な部分を消したい

↑ の話に加えて

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤{H(n)}} } a_{H(n)} \right| &≤& \displaystyle \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤{H(n)}} } \left| a_{H(n)} \right| &≤& \displaystyle \sum_{n=N+1}^{\underset{1≤n≤N}{\max} \{H(n)\}}\left| a_{n} \right| \end{array}$

「三角不等式」と

「歯抜け」の有限和から導かれる

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤{H(n)}} } a_{H(n)} \right| &≤& \displaystyle \sum_{n=N+1}^{\underset{1≤n≤N}{\max} \{H(n)\}} \left|a_{n} \right| \end{array}$

この変形を意識すると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left|a_{n} \right|-\displaystyle \sum_{n=1}^{N} \left|a_{n} \right| &=& \displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} \left|a_{n} \right| \end{array}$

「絶対収束する数列」を考えれば

（条件収束では右のやつが $\infty$ になる可能性がある）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left( \sum_{n=N+1}^{\underset{1≤n≤N}{\max} \{H(n)\}} \left| a_{n} \right| \right) -0 &<& ε \\ \\ \displaystyle \left( α-\sum_{n=1}^{N} \left|a_{n} \right| \right) -0 &<& ε \end{array}$

「正項級数」ですし

これは間違いなく「 $0$ に収束する数列」だと言えるので

結果、これは問題なくこのように変形できると言えます。

（ $N$ はどこまでも大きくとれるので）

まとめ

以上の結果から

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} \right) -α \right| \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{N} a_{n} + \underset{1≤n≤N}{ \sum_{N+1≤a_{H(n)}} } a_{H(n)} \right) -α \right|&≤& \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{N} a_{n} \right) -α \right| + \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n} \right| \\ \\ &<& ε_1+ε_2 \end{array}$

任意の定数 $ε>0$ をまとめれば

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} a_{n} \right) -α \right| &<&ε \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{n=1}^{k} a_{H(n)} \right) -α \right| &<& ε \end{array}$

結果として

「同じ有限値 $α$ に収束する」

この結論を得ることができます。

コーシー積の話で飛ばした話

なんとなく納得できる話は ↑ でしましたが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i \sum_{j=0}^{\infty} b_j &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

これが本当に成立するのかどうか

まだちょっと曖昧だと思うのでちゃんと示してみます。

（記述を簡単にしたいので開始地点 $0$ で話を進めます）

正項級数の場合

当然の話ですが

$\begin{array}{ccl} c_i & = & \displaystyle\sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \\ \\ &=& a_0b_0+( a_0b_1 + a_1b_0 ) + \cdots + (a_0b_i + \cdots + a_ib_0) \end{array}$

項が「全て正の値になる」なら

$\begin{array}{ccc} i+j&≤&N+N \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} \textcolor{pink}{a_0b_0} \end{array} \\ \\ \begin{array}{ccc} \textcolor{pink}{a_0b_1} & \textcolor{pink}{a_1b_0} \end{array} \\ \\ \begin{array}{ccc} a_0b_2 & \textcolor{pink}{a_1b_1} &a_2b_0 \end{array} \end{array}$

「添え字」に気を付ければ

（ $a_Nb_N$ を含むようにとる）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j &≤&\displaystyle\sum_{i=0}^{2N} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

有限の範囲でこれはこうなると言えるので

（これで同じ $N$ を $\infty$ へ動かせる）

「絶対収束」の条件を満たす

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i &=& \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} |a_i| \\ \\ \displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} b_j &=& \displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} |b_j| \end{array}$

$\begin{array}{ccc} a_ib_j &=& |a_ib_j| \end{array}$

ということは

『並び替えても収束値は同じ』なので

$\begin{array}{ccc} N\to\infty \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i \sum_{j=0}^{\infty} b_j &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

これは明らかにこうなると言えます。

（厳密には差の極限が $0$ になる必要がある）

コーシー積の有限パターン

↑ では「正項級数」の話をしましたが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j &？&\displaystyle\sum_{i=0}^{2N} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

この話の核は

これの「差」の部分

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left( \sum_{i=0}^{2N} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \right) - \left( \sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j \right) \end{array}$

つまりこの式の変形なので

これをうまい具合に定めて

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{i=0}^{2N} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \right) - \left( \sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j \right) \right| &<& ε \end{array}$

$0$ になるという結果を導くことを目指せば

実は「実数・複素数」も含む

より広い範囲をカバーする形で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i \sum_{j=0}^{\infty} b_j &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

これが成立することを示すことができます。

（最終的に絶対値をとるので複素数もカバーできる）

良い感じになる差の変形

これは少し実感し辛いかもしれませんが

$\begin{array}{ccc} i+j&≤&N+N \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\left( \sum_{i=0}^{2N} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \right) - \left( \sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j \right) \end{array}$

まず ↓ の部分については

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j \end{array}$

「添え字」を考えると

「 $N+1$ 以上」をこれは持たないので

（それ以外の組み合わせの全てのパターンを持つ）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j &=&\displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \underset{j≤N}{ \sum_{i≤N} } } a_{j}b_{i-j} \end{array}$

単純な形として

このように表現できると言えて

（ $i\leqN\landj\leqN$ で一致する項の集合を作れる）

肝心の「差」については

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } a_{j}b_{i-j} +\underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } a_{j}b_{i-j} \end{array}$

「添え字」に気を付ければ

このように表現できると言えます。

（ $N+1\leqi\lorN+1\leqj$ は一致部分の否定になる）

差と三角不等式

以上の話をまとめると

$\begin{array}{ccc} D&=& \displaystyle\left( \sum_{i=0}^{2N} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \right) - \left( \sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j \right) \\ \\ D&=& \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } a_{j}b_{i-j} +\underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } a_{j}b_{i-j} \end{array}$

まず「左辺と右辺の差 $D$ 」については

ややこしいですが、こんな感じになると言えて

この事実から

「収束」「複素数」等を考えるために

$\begin{array}{ccc} D&≤&\displaystyle \left| \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } a_{j}b_{i-j} +\underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } a_{j}b_{i-j} \right| \end{array}$

こういった形で「絶対値」を使うことができ

（任意の正の実数 $ε$ で抑えられるかも）

更にこの形から

$\begin{array}{ccc} D&≤& \displaystyle \left| \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } a_{j}b_{i-j} \right| + \left| \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } a_{j}b_{i-j} \right| \\ \\ D&≤& \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| + \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| \end{array}$

「三角不等式」より

このような関係式を得ることができます。

収束するやつに寄せていく

以上の結果を考えると

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N}a_n \right) -α \right| &<&ε \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N}b_n \right) -β \right| &<&ε \end{array}$

そもそもの前提となる

この部分がこのようになることを考えると

（まだ条件が不明なので絶対収束に限定しません）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| + \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| \end{array}$

これを紐解いていく上で

それぞれの前提は必要になりそうで

実際

$\begin{array}{ccc} |ab|&≤&|a| \, |b| \end{array}$

この関係を利用して

$\begin{array}{ccc}\displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| + \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| \end{array}$

この部分の話をすると

左の方については

$j=0$ から $j=N-1$ まで

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| &≤& \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } \left| a_{j} \right| \, \left| b_{i-j} \right| \\ \\ && \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } \left| a_{j} \right| \, \left| b_{i-j} \right| &≤&\displaystyle \sum_{j=0}^{N-1} \left( |a_j|\sum_{i=N+1}^{2N} |b_i| \right) \end{array}$

１つずつ見て

「収束させやすい形」に寄せるとこうなると言えて

（ $a_{1}b_{2N}$ など左には無い項が右にはある）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| &≤& \displaystyle \sum_{i=0}^{N-1} \left( |b_i|\sum_{j=N+1}^{2N} |a_j| \right) \end{array}$

同様に右の方もこうなるので

結果として

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤i} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| + \underset{i+j≤2N}{ \sum_{N+1≤j} } \left| a_{j}b_{i-j} \right| &≤& \displaystyle \sum_{j=0}^{N-1} |a_j|\sum_{i=N+1}^{2N} |b_i| +\sum_{i=0}^{N-1} |b_i|\sum_{j=N+1}^{2N} |a_j| \end{array}$

こんな関係を得ることができるため

欲しい結論にかなり近付きます。

両方が絶対収束するなら

以上をまとめると

$\begin{array}{ccc} D&=& \displaystyle\left( \sum_{i=0}^{2N} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \right) - \left( \sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j \right) \end{array}$

比較したい「級数の差」を考えた時

$\begin{array}{ccc} D &≤& \displaystyle \sum_{j=0}^{N-1} |a_j|\sum_{i=N+1}^{2N} |b_i| +\sum_{i=0}^{N-1} |b_i|\sum_{j=N+1}^{2N} |a_j| \end{array}$

「有限の範囲」でこれが求められる。

（ただの式変形なのでここまでは明らか）

これが分かっているので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \sum_{j=0}^{N-1} |a_j| &≤& \displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} |a_j| \\ \\ \displaystyle \sum_{i=0}^{N-1} |b_i| &≤& \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} |b_i| \end{array}$

後はこの関係と

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{j=N+1}^{2N} |a_j| \\ \\ \displaystyle \sum_{i=N+1}^{2N} |b_i| \end{array}$

これらを考えると

「絶対収束する」のなら

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N}|a_n| \right) - α_* \right| &<&ε \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N} |b_n| \right) - β_* \right| &<&ε \end{array}$

以下は「コーシー列」になるので

$\begin{array}{lll} \displaystyle \left| \left( \sum_{j=N+1}^{2N} |a_j| \right) - 0 \right| &<&ε \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{i=N+1}^{2N} |b_i|\right) - 0 \right| &<&ε \end{array}$

邪魔な部分を

全て「任意の実数 $ε$ 」に置き換えられるため

この結果から

$\begin{array}{ccc} D &≤& \displaystyle \sum_{j=0}^{N-1} |a_j|\sum_{i=N+1}^{2N} |b_i| +\sum_{i=0}^{N-1} |b_i|\sum_{j=N+1}^{2N} |a_j| \\ \\ D &≤& \displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} |a_j|\sum_{i=N+1}^{2N} |b_i| +\sum_{i=0}^{\infty} |b_i|\sum_{j=N+1}^{2N} |a_j| \\ \\ D &<& \displaystyle α_* ε +β_* ε \end{array}$

「絶対収束する」ことを前提とする場合

欲しかった結論が導かれます。

片方だけ絶対収束する場合

両方が「絶対収束する」場合

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N}|a_n| \right) - α_* \right| &<&ε \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N} |b_n| \right) - β_* \right| &<&ε \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i \sum_{j=0}^{\infty} b_j &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

こうなることは分かりました。

しかし ↑ で最初に語った前提は

「両方とも収束」かつ「片方は絶対収束」

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N}|a_n| \right) - α_* \right| &<&ε \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N} b_n \right) - β \right| &<&ε \end{array}$

結果論にはなりますが

まだ ↑ の結論に必要な前提は

ちょっとだけ緩めることができます。

前の話をそのまま使えるか

「差」の式変形を考えた時

↑ のパターンでは

$\begin{array}{ccc} D &≤& \displaystyle \sum_{j=0}^{\infty} |a_j|\sum_{i=N+1}^{2N} |b_i| +\sum_{i=0}^{\infty} |b_i|\sum_{j=N+1}^{2N} |a_j| \\ \\ D &<& \displaystyle α_* ε +β_* ε \end{array}$

「両方」が「絶対収束する」

という仮定を使いました。

しかし今回は「片方だけ絶対収束」としたいので

この話をそのまま使うことはできません。

「両方とも収束する」

「片方だけ絶対収束する」

これらの前提を使って

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left( \sum_{i=0}^{2N} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \right) - \left( \sum_{i=0}^{N}a_i \sum_{j=0}^{N} b_j \right) \right| &<& ε \end{array}$

どうにかここに着地する必要があります。

（式変形に工夫が必要そう）

良い感じの式変形

まだ方針は曖昧なので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \sum_{n=0}^{N}a_n &=& α_N \\ \\ \displaystyle \sum_{n=0}^{N}b_n &=& β_N \end{array}$

ひとまず「有限和」について整理しておきます。

（両方とも収束するという前提から）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{i=0}^{N}\sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} &=& χ_N \end{array}$

この時点でこれに意味があるかは分かりませんが

欲しい結果は

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left( \sum_{n=0}^{\infty}a_n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty}b_n \right) &=& αβ &=&\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

これなので

まずは愚直に

「総和 $α_N,β_N$ 」で ↓ を表現してみます。

$\begin{array}{ccl} χ_N &=& a_0b_0 \\ \\ &&a_0b_1+ a_1b_0 \\ \\ && a_0b_2+ a_1b_1 +a_2b_0 \\ \\ &&a_0b_3+ a_1b_2+a_2b_1+ a_3b_0 \\ \\ && \,\,\,\,\, \vdots \\ \\ && a_0b_N+ a_1b_{N-1}+ \cdots + a_{N-1}b_1 + a_Nb_0 \end{array}$

すると

『片方の順番を変えず』に

分かりやすく $a_n$ の方で囲うなら

$\begin{array}{ccc} χ_N &=& a_0β_N + a_1β_{N-1} + a_2β_{N-2} +\cdots + a_Nβ_0 \end{array}$

これはこんな感じに変形できるので

$\begin{array}{ccc} a_0β_N + a_1β_{N-1} + a_2β_{N-2} +\cdots + a_Nβ_0 \\ \\ ↓ \\ \\ ？ \end{array}$

ここからうまく変形すれば

良い感じの結果が得られそうな気がしてきます。

収束値である定数と収束する級数列

式変形自体はいろいろ考えられますが

「 $α_N,β_N$ に寄せる」という方針を一貫するなら

$\begin{array}{ccc} χ_N &\to& α_Nβ_N \end{array}$

今度は $α_N$ を取り出したいので

$\begin{array}{ccc} a_0*+a_1*+a_2*+\cdots \end{array}$

「有限和 $β_N$ 」を良い感じに変形し

なんらかの定数を取り出す必要があります。

まあこれについては

$\begin{array}{ccc} dβ_N&=& β-β_N \\ \\ && β-β_N &=&\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} b_n \end{array}$

思い当たるのは「収束値 $β$ の存在」くらいで

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} b_n &\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n &\cdots & \displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} b_n &\cdots \end{array}$

実際分解してみると

良い感じに「収束する級数」も取り出せるので

（ $b_n$ の級数は前提より収束する）

$\begin{array}{lcl} a_0β_N &=& a_0(β - dβ_N) \\ \\ a_1β_{N-1} &=& a_1(β - dβ_{N-1}) \\ \\ & \vdots \\ \\ a_Nβ_0 &=& a_N(β - dβ_0) \end{array}$

こうすれば

$\begin{array}{ccl} χ_N &=& a_0β_N + a_1β_{N-1} + a_2β_{N-2} +\cdots + a_Nβ_0 \\ \\ &=& a_0(β - dβ_{N})+a_1(β - dβ_{N-1}) +\cdots + a_N(β - dβ_{0}) \\ \\ &=& (a_0+a_1+\cdots+a_N)β - (a_0dβ_N+\cdots +a_Ndβ_{0}) \\ \\ &=&α_N β - (a_0dβ_N+\cdots +a_Ndβ_{0}) \end{array}$

なんか良さそうな形を導くことができます。

欲しい結果に近付ける

整理すると

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \sum_{n=0}^{N}a_n &=& α_N \\ \\ \displaystyle \sum_{n=0}^{N}b_n &=& β_N \end{array}$

これらに寄せるために

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{i=0}^{N}\sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} &=& χ_N \end{array}$

$\begin{array}{ccc} dβ_N&=& β-β_N \end{array}$

$\begin{array}{ccc} χ_N &=&α_N β - (a_0dβ_N+\cdots +a_Ndβ_{0}) \end{array}$

これをこんな感じに変形する

そうすると

$\begin{array}{ccc} α_Nβ &&\overset{N\to\infty}{\to} && αβ \end{array}$

この部分がこうなるから

$\begin{array}{ccc} a_0dβ_N+\cdots +a_Ndβ_{0} \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} b_n &\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n &\cdots & \displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} b_n &\cdots \end{array}$

これが $0$ に収束すれば

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i \sum_{j=0}^{\infty} b_j &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

この結論を得ることができる

ここまで分かったので

$\begin{array}{ccc} a_0dβ_N+\cdots +a_Ndβ_{0} \end{array}$

後はこれが「 $0$ に収束する」ことを示せれば

欲しい結論を得ることができます。

（こうなるための条件を試行錯誤していく）

収束する級数列

確認しておくと

$\begin{array}{ccc} dβ_N &=& β-β_N \end{array}$

まずこれについてですが

$\begin{array}{ccc} |dβ_N-0|&<&ε \end{array}$

これは間違いなくこうなります。

（ $b_n$ の級数は収束することから）

しかしこれは

$\begin{array}{ccc} N_*&≤&N \end{array}$

こうやって動かせる範囲の話なので

（極限の定義より）

$\begin{array}{lcl} dβ_0 &=& β-(b_0) \\ \\ dβ_1 &=& β-(b_0+b_1) \\ \\ &\vdots \\ \\ dβ_{N_*-1} &=& β-β_{N_*-1} \end{array}$

添え字が $N_*$ より下の $β_N$ は

「収束する」ための条件を満たしません。

$\begin{array}{lcc} |dβ_N-0| &<&ε \\ \\ |dβ_{N-1}-0| &<&ε \\ \\ &\vdots& \\ \\ |dβ_{N_*}-0| &<&ε \\ \\ &\vdots& \\ \\ |dβ_{N_*}-0| &<&ε \end{array}$

$β_{N}$ について

収束すると言えるのはこの部分だけです。

（ $N=N_*\geqN_*$ なので存在する $N_*$ の最小は $N_*$ ）

残りもいけるか

$b_n$ については触れましたが

$a_n$ についてはまだ触れていません。

$\begin{array}{lcl} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n &=&α \end{array}$

$a_n$ の級数もまた「収束する」

これもまた前提であることを考えると

級数が収束するということは

$\begin{array}{ccc} a_n &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k \\ \\ | a_n | &=& \displaystyle \left| \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k \right| \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n &=& 0 \end{array}$

↑ で確認したように

この部分は必ずこうなる

ということは

$\begin{array}{lcl} N-(N_*)&≥&0 \\ \\ N-(N_*-1)&≥&0 \end{array}$

ちょうど添え字は逆向きですから

$\begin{array}{ccc} a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} + \cdots+ a_Ndβ_{0} \end{array}$

同時に $N_*$ で $N$ を動かす形で

$a_N$ は収束条件を満たすと言えるので

$\begin{array}{lcc} |a_{N-(N_*-1)}-0| &<&ε \\ \\ |a_{N-(N_*-2)}-0| &<&ε \\ \\ &\vdots& \\ \\ |a_{N-1}-0| &<&ε \\ \\ |a_{N}-0| &<&ε \end{array}$

この部分もまた収束すると言えます。

絶対収束する必要がある

↑ の話をまとめると

$\begin{array}{ccc} a_0dβ_N+\cdots + a_{N-N_*}dβ_{N_*} &+& a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} + \cdots+ a_Ndβ_{0} \\ \\ | a_0dβ_N+\cdots + a_{N-N_*}dβ_{N_*} | &+& | a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} + \cdots+ a_Ndβ_{0} | \end{array}$

「収束する」部分で分けて考えてみた時

項が「無限個」になる部分（左）と

項が「有限個」になる部分（右）に分けられて

まず左の部分については

間違いなく任意の正の実数で抑えられる

（三角不等式と収束条件）

$\begin{array}{ccc} | a_0dβ_N+\cdots + a_{N-N_*}dβ_{N_*} | &≤& |a_0dβ_N| +\cdots + |a_{N-N_*}dβ_{N_*}| \\ \\ &<& | a_0 | ε+\cdots + |a_{N-N_*} |ε \end{array}$

↑ はそういう話だったわけですが

$\begin{array}{ccc} | a_0 | ε+\cdots + |a_{N-N_*} |ε \end{array}$

この部分

仮に $a_n$ の級数が「絶対収束しない」とする場合

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | a_n | &=& \infty \end{array}$

無限を意味する $N$ を動かしていくと

これは「発散する」可能性があるため

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \Bigl( | a_0 | +\cdots + |a_{N-N_*} | \Bigr) ε \end{array}$

この部分は

「任意の実数」ではなくなってしまいます。

（不定形になるので定義できない）

ということは

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \Bigl( | a_0 | +\cdots + |a_{N-N_*} | \Bigr) ε &≤& ε_* \end{array}$

これを任意の実数として機能させたいなら

この部分は「絶対収束する」必要があり

これを示す結果として

$\begin{array}{ccl} \displaystyle \sum_{n=0}^{N-N_*} |a_n| &=& | a_0 | +\cdots + |a_{N-N_*} | \\ \\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| &=& | a_0 | +\cdots + |a_{N-N_*} |+\cdots \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left( \sum_{n=0}^{N-N_*} |a_n| \right) ε &≤& \displaystyle \left( \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \right) ε \end{array}$

このような形を定める必要があります。

（ここで絶対収束という制限が付く）

じゃあ $b_n$ の級数も絶対収束？

残る右の項について

↑ の話はそのまま使えそうですが

$\begin{array}{lcc} | a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} + \cdots+ a_Ndβ_{0} | \\ \\ | a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} | + \cdots+ | a_Ndβ_{0} | &<& ε| dβ_{N_*-1} | + \cdots+ ε| dβ_{0} | \end{array}$

この場合だと

$\begin{array}{ccc} ε| dβ_{N_*-1} | + \cdots+ ε| dβ_{0} | &=& \displaystyle ε\Bigl( | dβ_{N_*-1} | + \cdots+ | dβ_{0} | \Bigr) \end{array}$

同様の理屈を用いるために

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |dβ_n| &<& \infty \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |β-β_n| &<& \infty \end{array}$

この $dβ_N$ の級数にも

「絶対収束する」という条件が必要

とまあそんな話になりそうなんですが

思い返せば

$\begin{array}{ccc} ε| dβ_{N_*-1} | + \cdots+ ε| dβ_{0} | \end{array}$

この右側の部分は

$\begin{array}{ccc} ε| dβ_{N_*-1} | + \cdots+ ε| dβ_{0} | &=&\displaystyle ε\left( \sum_{n=0}^{N_*-1} | dβ_{n} | \right) \end{array}$

項数が $N_*$ 個

つまり「有限」個であるため

（ $N_*$ は $\infty$ に近づく $N$ を下から抑える有限値）

$\begin{array}{ccc} dβ_{N}&=& \displaystyle \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} \right) - \left( \sum_{n=0}^{N} b_{n} \right) \end{array}$

これらが有限値であり収束する以上

$\begin{array}{ccc} | a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} + \cdots+ a_Ndβ_{0} | &<& \displaystyle ε\left( \sum_{n=0}^{N_*-1} | dβ_{n} | \right) \end{array}$

この部分は

任意の正の実数によって抑えることが可能なので

結果

$\begin{array}{ccc} | a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} + \cdots+ a_Ndβ_{0} | \end{array}$

$N$ を大きくしていくと

この部分は $0$ に収束することになります。

（収束は条件に必要だけど絶対収束である必要は無い）

全て $0$ に収束する

以上の話を統合すると

これの左は ↓ のようになり

$\begin{array}{lcc} | a_0dβ_N+\cdots + a_{N-N_*}dβ_{N_*} | \\ \\ |a_0dβ_N| +\cdots + |a_{N-N_*}dβ_{N_*}| &<& | a_0 | ε+\cdots + |a_{N-N_*} |ε \\ \\ &<&\displaystyle \left( \sum_{n=0}^{N-N_*} | a_{n} | \right)ε \end{array}$

右側は ↓ のようになるため

$\begin{array}{lcc} | a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} + \cdots+ a_Ndβ_{0} | \\ \\ | a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} | + \cdots+ | a_Ndβ_{0} | &<& ε| dβ_{N_*-1} | + \cdots+ ε| dβ_{0} | \\ \\ &<& \displaystyle ε\left( \sum_{n=0}^{N_*-1} | dβ_{n} | \right) \end{array}$

結果

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=0}^{N-N_*} | a_{n} | \end{array}$

これが「有限」の値になる

つまり $a_n$ の級数が「絶対収束する」なら

$\begin{array}{ccc} a_0dβ_N+\cdots + a_{N-N_*}dβ_{N_*} &+& a_{N-(N_*-1)}dβ_{N_*-1} + \cdots+ a_Ndβ_{0} \end{array}$

これは「 $0$ に収束する」と言えます。

まとめ

以上の結果から

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_i \sum_{j=0}^{\infty} b_j &=&\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} a_{j}b_{i-j} \end{array}$

これが成立する条件として

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N}|a_n| \right) - α_* \right| &<&ε \\ \\ \displaystyle \left| \left( \sum_{n=0}^{N} b_n \right) - β \right| &<&ε \end{array}$

「両方とも収束する」

「片方は絶対収束する」

こういった条件を得ることができました。

収束半径 Radius of Convergence

|| 冪級数の形で収束を考える時のやつ

「テイラー展開」のような式で出てくる $r$ のこと

$\begin{array}{lcr} \displaystyle \lim_{k\to\infty} \sum_{n=0}^{k}a_nx^n &&x<r \\ \\ \displaystyle \lim_{k\to\infty} \sum_{n=0}^{k}a_n(z-a)^n &&z-a<r \end{array}$

例外についての細かい決まりはありますが

この形がこの考え方の基本になっています。

収束半径の役割

式を見てわかるように

これの由来は「等比数列」と「テイラー級数」で

$\begin{array}{ccc} |x|&<&r \\ \\ |z-a|&<&r \end{array}$

「絶対収束する」「発散する」

これらの条件を「分かりやすく提供する」

$\begin{array}{ccc} |x|&>&r \\ \\ |z-a|&>&r \end{array}$

主にはそんな役割を

この「収束半径」は持っています。

収束半径が意味するところ

具体的には

$\begin{array}{ccc} |x|&<&r \\ \\ |z-a|&<&r \end{array}$

まずこれが「絶対収束する」条件で

（無限に近づくと急激に $0$ に近づく）

$\begin{array}{ccc} |x|&>&r \\ \\ |z-a|&>&r \end{array}$

これが「発散する」条件

（無限に近づくと急激に無限に近づく）

$\begin{array}{lcccl} \forall x \,\, \mathrm{diverge} & & \to & & r=0 \\ \\ \forall x \,\, \mathrm{converge} & & \to & & r=\infty \end{array}$

そしてこれが「例外」についての定義で

$\begin{array}{ccc} |x|&=&r \\ \\ |z-a|&=&r \end{array}$

この場合については

条件としては特に意味を持ちません。

（収束する場合もあれば発散する場合もある）

ダランベールの収束半径

「収束半径」の厳密な定義は

$\begin{array}{ccc} f(z)&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n \end{array}$

「テイラー級数」より

こうなるとした上で導かれる

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} (z-a)^{n+1} }{ a_n(z-a)^n } \right| &=& \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_n }(z-a) \right| \end{array}$

この形を軸として

（単調増加か単調減少か分かりやすい形）

$\begin{array}{ccc} |z_1z_2|&=&|z_1| \, |z_2| \\ \\ \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_n }(z-a) \right| &=& \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_n } \right| |z-a| \end{array}$

「収束」の条件より

$\begin{array}{ccc} |z-a|&<&r \end{array}$

↓ のようになって欲しいことから

（発散を考える場合不等号は逆）

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_n } \right| |z-a| &<& 1 \\ \\ \displaystyle |z-a| &<&\displaystyle \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} \end{array}$

「収束半径 $r$ 」は

$\begin{array}{ccc} |z-a|&<&r \\ \\ |z-a|&<&\displaystyle \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} \end{array}$

↓ のような形で与えられ

（ $1$ より大きいとした発散パターンでも同様）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ a_{n} }{ a_{n+1} } \right|&=&r \end{array}$

これはそのまま

「収束判定」に使われます。

d’Alembert の収束判定法

この判定方法は

「収束半径」の話よりちょっとだけ抽象的で

$\begin{array}{ccc} && \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_n } (z-a)\right| &<& 1 && \mathrm{Converge} \\ \\ 1 &<&\displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_n } (z-a) \right| && && \mathrm{Divege} \end{array}$

↑ ではこの形から ↓ を得ましたが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ a_{n} }{ a_{n+1} } \right|&=&r \end{array}$

「ダランベールの収束判定法」では

収束半径 $r$ と比較する $z-a$ を

収束するなら $0\leqz-a\leq1$ この範囲になると考えて

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ α_{n+1} }{ α_{n} } \right|&=&r_* \end{array}$

そのまま単純な比較を行う形で

「単調減少・増加列」を意味することになる

「収束半径 $r_*$ 」を算出します。

$\begin{array}{ccc} 0≤r_*<1 && \mathrm{Converge} \\ \\ 1<r_* && \mathrm{Divege} \end{array}$

やってること自体はほぼ同じで

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} (z-a)^{n+1} }{ a_n(z-a)^n } \right| &<&1 \\ \\ \displaystyle \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| |z-a| &<& 1 \end{array}$

「収束する」なら

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& |z-a| &≤& 1 \end{array}$

この部分の最低条件はこう

（ $1$ なら $n$ 乗は $1$ なので無視できる）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| &<& 1 \end{array}$

この部分はこうなるよね

という感じです。　

$r<1$ でそもそも収束はするのか

↑ が収束するというのは

直感的には分かりますが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| &<& 1 \end{array}$

証明された事実というわけではありません。

（この段階では必要条件は満たされてる程度）

なのでとりあえず

証明の着地を考えるために

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n &<&\infty \\ \\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|a_n| &<&\infty \end{array}$

結論になるであろう形として

このような式を考えてみます。

（現時点ではちゃんとこうなるか不明）

公比のような値と各項の関係

というわけで確認してみると

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right|&=&r \\ \\ \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right|&<&1 \end{array}$

まず「収束すると思われる条件」はこうで

（この段階では収束するための必要条件）

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right|+p&≤&1 \\ \\ \displaystyle \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right|&≤&1-p \end{array}$

こういう「 $1$ より小さな正の数 $p$ 」を考えた時

$\begin{array}{ccc} |a_{n+1}|&≤&(1-p)|a_{n}| \end{array}$

「収束するかも」という仮定から

このような式が得られるので

$\begin{array}{ccc} a_{1}+a_2&=& a_1+(1-p)a_1 \end{array}$

ひとまずここから話を進めてみます。

（この時点では使えそう程度）

結論に寄せていく

↑ で導かれた各項を念頭に

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}|a_n| &=&α \\ \\ \displaystyle \left| \left(\sum_{n=0}^{N}|a_n| \right) - α \right| &<&ε \end{array}$

着地になるだろうこの式を変形してみると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=0}^{N}|a_n|&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{k-1}|a_n| + \sum_{n=k}^{N}|a_n| \end{array}$

有限和と無限和に分ければ

（ $N$ を無限に近付けるとする）

$\begin{array}{ccc} |a_{n+1}|&≤&(1-p)|a_{n}| \end{array}$

この公比っぽいやつから得られた関係より

$\begin{array}{ccl} \displaystyle\sum_{n=k}^{N}|a_n|&=& \underbrace{|a_k| +|a_{k+1}|+|a_{k+2}| +\cdots +|a_{N}|}_{N-(k-1)} \\ \\ \displaystyle\sum_{n=k}^{N}|a_n| &≤& |a_k| +(1-p)^1|a_{k}| +\cdots +(1-p)^{N-(k-1)-1}|a_{k}| \\ \\ &=&\displaystyle |a_k| \sum_{n=0}^{N-(k-1)-1} (1-p)^n \end{array}$

この式はこうなりますから

$0\leq1-p$ であるとすると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=0}^{N-(k-1)-1} (1-p)^n &≤&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (1-p)^n \\ \\ \displaystyle \sum_{n=0}^{N-(k-1)-1} (1-p)^n &≤&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)} \end{array}$

後は「等比級数」の話になるので

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \sum_{n=0}^{N}|a_n|&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{k-1}|a_n| + \sum_{n=k}^{N}|a_n| \\ \\ \displaystyle \sum_{n=0}^{N}|a_n|&≤&\displaystyle \sum_{n=0}^{k-1}|a_n| + |a_k|\frac{1}{p} \end{array}$

結果、有限値で抑えられることから

「絶対収束する」という結論が導かれます。

（本来欲しかった結果は収束するかどうか）

収束半径の話も同様の結果になる

「収束半径」についてもこれは同様で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{a_{n+1}(z-a)^{n+1}}{a_n(z-a)^n} \\ \\ \displaystyle \left| \frac{a_{n+1} }{a_n} (z-a) \right|&<&1 \end{array}$

「ダランベールの収束判定法」における数列と

「収束半径」を決める数列を比較すると

$\begin{array}{ccc} α_{n}&=&a_n(z-a)^n \end{array}$

「単調減少」になるよう $1$ より小さくとり

$\begin{array}{lcl} \displaystyle \left| \frac{a_{n+1} }{a_n} (z-a) \right|+p&≤&1 \\ \\ \displaystyle \left| \frac{a_{n+1} }{a_n} (z-a) \right|&≤&1-p \end{array}$

このようにした場合

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{α_{n+1}}{α_n} &≤& 1-p \end{array}$

これはさっきと同様の話になるので

後は同様の手順を辿っていけば

「絶対収束する」ことを証明できます。

Cauchy-Hadamard の収束半径

これは「極限が存在しない」場合も考えられるよう

↑ の話を拡張したやつで

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{ 1 }{ \displaystyle \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|} } &=&r \end{array}$

なんか複雑ですが

こんな風に再定義した判定方法を

「コーシー・アダマールの判定法」と言います。

$n$ 乗根を使ってみる

これは一見複雑に見えますが

$\begin{array}{ccl} \displaystyle \sqrt[n]{|a_{n}(z-a)^n|} &=& \displaystyle \sqrt[n]{|a_{n}| \, |(z-a)^n|} \\ \\ &=& \displaystyle \sqrt[n]{|a_{n}| }\sqrt[n]{ |(z-a)^n|} \\ \\ &=& \displaystyle \sqrt[n]{|a_{n}| } \, |z-a| \end{array}$

「収束半径 $r$ と比較する部分 $z-a$ を取り出す」

この点で考え方自体は非常にシンプル

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}(z-a)^n|} \end{array}$

「正の実数 $a$ 」が与えられた時

「実数 $a$ の $n$ 乗根 $\sqrt[n]{a}$ が１つしかない」点や

「上極限」の部分がちょっと難しいですが

$\begin{array}{rcc} \displaystyle \sqrt[n]{|a_{n}| } \, |z-a| &<& 1 \\ \\ |z-a| &<& \displaystyle \frac{1}{ \sqrt[n]{|a_{n}| } } \end{array}$

基本

これは収束半径の話をしているだけなので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \end{array}$

この部分を気にしなければ

そんなに難しい話はしていません。

（有界なら上極限が存在することがこれの由来）

Cauchy の収束判定法

「ダランベールの判定法」と同様

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}| }&=&r \end{array}$

そのまま数列の $n$ 乗根を求める形で

これはこのように定義されていて

↑ と同様

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sqrt[n]{|a_{n}| }&≤&r+ε \end{array}$

このようにすると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle |a_{n}| &≤& (r+ε)^n \end{array}$

こうだと言えることから

結果、難しそうに見えましたが

$r+ε\leq1$ とするなら

これも「等比級数」の話になるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sum_{n=k}^{N}(r+ε)^n &≤&\displaystyle \sum_{n=0}^{N}(r+ε)^n \\ \\ &&\displaystyle \sum_{n=0}^{N}(r+ε)^n &=&\displaystyle \frac{1-(r+ε)^N}{1-(r+ε)} \end{array}$

「ダランベールの判定法」より分かりやすい形で

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=0}^{N}|a_n|&≤&\displaystyle \sum_{n=0}^{k-1}|a_n| + \sum_{n=k}^{N}(r+ε)^n \\ \\ \displaystyle \sum_{n=0}^{N}|a_n|&≤&\displaystyle \sum_{n=0}^{k-1}|a_n| + \frac{1}{1-(r+ε)} \end{array}$

「絶対収束する」という結論を得ることができます。

（ $1<r$ なら発散するという結論が得られる）

ダランベールの収束判定法との違い

確認しておくと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right|&=&r \end{array}$

「ダランベールの判定法」の $r$ はこれで

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}| }&=&r \end{array}$

「コーシーの判定法」の $r$ はこれです。

（どちらも $r<1$ で収束）

そしてこれを見てわかる通り

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right| \end{array}$

「極限」を求めている以上

「ダランベールの判定法」には

「極限が存在しない」パターンが考えられますが

「コーシーの判定法」では

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}| } \end{array}$

「上極限」を求めてるので

「存在しない」パターンは考える必要が無く

基本、必ず比較できる値 $r$ が求められます。

ダランベールの判定法では無理

↑ を実感できる事実として

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \Bigl( 1+(-1)^n \Bigr) \end{array}$

例えばこういった

「振動する数列」の級数を考えた時

これはダランベールの判定法では

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{a_{n+1} }{a_n} &=&\displaystyle \frac{ \displaystyle\frac{1}{2^{n+1}} \Bigl( 1+(-1)^{n+1} \Bigr) }{ \displaystyle\frac{1}{2^n} \Bigl( 1+(-1)^n \Bigr)} \end{array}$

このようになるため

$\begin{array}{lcccl} n\in\mathrm{even} &&→&& \displaystyle \frac{a_{n+1} }{a_n} =0 \\ \\ n\in\mathrm{odd} &&→&& \displaystyle \frac{a_{n+1} }{a_n} =× \end{array}$

極限が求められず

収束判定が行えません。

（ $n$ が奇数のパターンで $a_n=0$ になる）

しかしコーシーの判定法では

$\begin{array}{lcccl} n\in\mathrm{even} &&→&& \displaystyle a_n = \frac{1}{2^n}(1+1) \\ \\ n\in\mathrm{odd} &&→&& \displaystyle a_n = \frac{1}{2^n}\Bigl( 1+(-1) \Bigr) \end{array}$

必ず存在する「上極限」を判定に用いるので

$\begin{array}{lcccl} n\in\mathrm{even} &&→&& \displaystyle \sqrt[n]{|a_n|} = \left|\frac{1}{2^n}(1+1) \right|^{\frac{1}{n}} \\ \\ n\in\mathrm{odd} &&→&& \displaystyle \sqrt[n]{|a_n|} = \left|\frac{1}{2^n}\Bigl( 1+(-1) \Bigr) \right|^{\frac{1}{n}} \end{array}$

後は簡単に計算して

$\begin{array}{ccl} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}| } &=& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \left|\frac{1}{2^n}(1+1) \right|^{\frac{1}{n}} \\ \\ &=& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \left| \left(\frac{1}{2}\right)^n 2 \right|^{\frac{1}{n}} \\ \\ &=& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right)^{\frac{1}{n}} \\ \\ &=& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{n}(n-1)} \\ \\ &=& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{1-\frac{1}{n}} \end{array}$

奇数パターンでは $0$ になることを考慮し

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{1-\frac{1}{n}} &=& \displaystyle \frac{1}{2} \end{array}$

「上極限」を求めると

（上極限での上限のとり方から ↑ は明らか）

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}| }&<&1 \end{array}$

具体的な値が算出されるため

「収束の判定」を行うことができます。

ダランベールの判定法とコーシーの判定法

↑ の話を考えると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_{n}| } & & 〇 \\ \\ ↓ \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right| & & △ \end{array}$

「コーシーの判定法」の方が

「ダランベールの判定法」より適用できる範囲が広い

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \left| \left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right| - r \right| &<& ε \\ \\ ↓ \\ \\ \displaystyle \left| \sqrt[n]{|a_{n}| } - r \right| &<& ε \end{array}$

そんな予想ができて

実際、確認してみると

$\begin{array}{lclcl} -ε &<& \displaystyle\left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right| - r &<&ε \\ \\ -ε+r &<& \displaystyle\left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right| &<&ε+r \end{array}$

こうですから

$\begin{array}{ccc} (-ε+r)|a_{n}| &<& \displaystyle\left| a_{n+1} \right| &<&(ε+r) |a_{n}| \end{array}$

順当に式を変形して

$\begin{array}{ccrcc} -ε+r&≤&\displaystyle \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \\ \\ &&\displaystyle \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} &≤& ε+r \end{array}$

着地を目指すと

$\begin{array}{rcccr} (-ε+r)|a_{N}| &<& \displaystyle\left| a_{N+1} \right| &<&(ε+r) |a_{N}| \\ \\ (-ε+r)^2|a_{N}| &<& \displaystyle\left| a_{N+1} \right| &<&(ε+r)^2 |a_{N}| \\ \\ &&\vdots \\ \\ (-ε+r)^n|a_{N}| &<& \displaystyle\left| a_{N+n} \right| &<&(ε+r)^n |a_{N}| \end{array}$

有限値 $N$ を考えて

$n$ を無限に近付けるとするなら

↑ の式から

$\begin{array}{rcccr} \displaystyle \sqrt[N+n]{ (-ε+r)^n|a_{N}| } &<& \displaystyle\sqrt[N+n]{ \left| a_{N+n} \right| }&<&\displaystyle\sqrt[N+n]{ (ε+r)^n |a_{N}|} \\ \\ \displaystyle (-ε+r)^{n\frac{1}{N+n}} |a_{N}|^{\frac{1}{N+n}} &<& \displaystyle \left| a_{N+n} \right|^{\frac{1}{N+n}} &<&\displaystyle (ε+r)^{n\frac{1}{N+n}} |a_{N}|^{\frac{1}{N+n}} \end{array}$

取り出された値の極限は

$\begin{array}{ccr} \displaystyle n\frac{1}{N+n} &=& \displaystyle (-N+N+n)\frac{1}{N+n} \\ \\ &=& \displaystyle 1-\frac{N}{N+n} \end{array}$

$\begin{array}{ccc} n\to\infty &&⇒&& \begin{array}{r} \displaystyle \frac{N}{N+n}\to 0 \\ \\ \displaystyle\frac{1}{N+n}\to 0 \end{array} \end{array}$

こうですから

$\begin{array}{rcr} \displaystyle (-ε+r)^{n\frac{1}{N+n}} |a_{N}|^{\frac{1}{N+n}} &\to& (-ε+r)^{1-0} |a_{N}|^0 \\ \\ \displaystyle (ε+r)^{n\frac{1}{N+n}} |a_{N}|^{\frac{1}{N+n}} &\to&(ε+r)^{1-0} |a_{N}|^0 \end{array}$

このようになるので

この結果から

$\begin{array}{lclcl} -ε &<& \displaystyle\left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right| - r &<&ε \\ \\ -ε+r &<& \displaystyle\left|\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } \right| &<&ε+r \end{array}$

「ダランベールの判定法」を使えるということは

$\begin{array}{lclcl} -ε+r&<& \displaystyle \sqrt[n]{|a_n|} &<& ε+r \\ \\ -ε &<& \displaystyle \sqrt[n]{|a_n|} - r &<& ε \end{array}$

「コーシーの判定法」も使える

この結論が得られます。

$n$ 乗根について

保留していましたが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sqrt[n]{a}&&a^{\frac{1}{n}} \end{array}$

本当に ↑ の操作は大丈夫か

$\begin{array}{lcl} x^2&=&1 \\ \\ x&=&1,-1 \\ \\ x^3&=&1 \\ \\ x&=&ω_3^0+ω_3^1+ω_3^2 \\ \\ &\vdots \\ \\ x^n&=&1 \\ \\ x&=&1,ω_n^1,ω_n^2,...,ω_n^{n-1} \end{array}$

複素数まで含めれば複数解が存在する以上

この辺りはまだ曖昧なので

この疑問を解消するために

「 $n$ 乗根」という操作の出力結果が

$\begin{array}{ccc}\displaystyle \sqrt[n]{ a } \end{array}$

「 $a$ が正の実数」の場合に

「ただ１つだけ存在する」

$\begin{array}{ccc} a≠b &&\to&& f(a)≠f(b) \\ \\ a≠b &&←&& f(a)≠f(b) \end{array}$

こうなるための条件について考えてみます。

（複素数解が考えられるので一般には成立しない）

正の実数の $n$ 乗根

「絶対値」を使っているので

↑ の話は「正の実数」の話になる

$\begin{array}{ccc} f(x)&=&x^n \end{array}$

これを前提として

この関数について考えてみると

$\begin{array}{ccc} a<b &&\to&& f(a)<f(b) \end{array}$

$\begin{array}{ccc} 0&<&f^{\prime}(x) \end{array}$

こいつは「狭義単調増加」なので

（ $x$ が違えば同じ値にならない）

「実数の $n$ 乗根の存在」を前提とする場合

$\begin{array}{cclcl} 0&<& c &<&a^n \\ \\ 0&<& c^{\frac{1}{n}} &<&a \end{array}$

「実数の $n$ 乗根は１つだけ存在する」

この結果を得ることができます。

（まだこの時点では結論の先取り）

狭義単調増加とは

念のため解説しておくと

「狭義単調増加」とは

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{ccc} a<b &&\to&& f(a)<f(b) \end{array} \end{array}$

「普通（微分可能）の関数」が持つ性質のことで

これにより

$\begin{array}{ccc} a<b &&\to&& f(a)<f(b) \\ \\ && ↓ \\ \\ a≠b &&\to&& f(a)≠f(b) \end{array}$

わりと直感的な形で

「一意性」を意味する結果を得ることができます。

ちなみに

「広義単調増加」は

$\begin{array}{ccc} a<b &&\to&& f(a)≤f(b) \end{array}$

こんな感じです。

（１変数１出力の一意性は保証されない）

$x^n$ は正の実数の範囲で狭義単調増加である

これは「微分」と「平均値の定理」から

$\begin{array}{ccc} f(b)>f(a)&& b>c>a \\ \\ f(b)-f(a)&=&f^{\prime}(c)(b-a) \end{array}$

このような形で確認することができて

（平均値の定理により $c$ の存在が保証される）

例えば $x^n$ の場合だと

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{d}{dx}x^n&=&nx^{n-1} \end{array}$

微分はこうで

それぞれ以下のようになるため

$\begin{array}{ccc} b>c>a && b^n>a^n \\ \\ nc^{n-1}(b-a) &=& b^n-a^n \end{array}$

結果、狭義単調増加であることが確認できます。

（ $x$ が正の実数の場合）

念のため補足しておくと

$\begin{array}{lcccl} a<b &&\to&& a^n<b^n \\ \\ a<a+ε &&\to&& a^n<(a+ε)^n \end{array}$

これらの大小関係は

$\begin{array}{ccc} (a+ε)^n-a^n&=&\displaystyle \left( \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_{k}a^{n-k}ε^k \right) -a^n \\ \\ &=&\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {}_n \mathrm{C}_{k}a^{n-k}ε^k \end{array}$

「二項定理」を使うと確認できます。

（正の実数の範囲で）

狭義単調増加と全単射

↑ だけだと

$\begin{array}{ccc} a≠b &&\to&& f(a)≠f(b) \end{array}$

$f$ が「単射」であることは分かりますが

「全射」であることは分かっていないので

$\begin{array}{llc} \forall y \in Y & \exists x \in X & f(x)=y && ？ \\ \\ \forall y \in (-\infty,\infty) & \exists x \in [0,\infty) & f(x)=y && × \end{array}$

「 $x$ と $f(x)$ が１対１で対応してるか」は

この時点ではまだ分かっていません。

（ $y$ はマイナス値を含むよう定義できる）

なので

$f$ を「全単射」として考えたい場合

$\begin{array}{ccc} \forall y \in Y & \exists x \in X & f(x)=y \end{array}$

どうにかして

$f$ を「全射」にする必要があります。

終域の定義と全射

これについては

$\begin{array}{ccc} x&\to& f(x) \\ \\ X & \to & Y \end{array}$

性質や定理ではなく

「定義域・終域」の「定義」で決まるので

$\begin{array}{ccl} 0&<&x \\ \\ 0&<& x^n \end{array}$

「像 $x^n$ の範囲」を

「 $x$ の範囲」に合わせるように定める

つまり

「都合が良くなるよう定義する」ことにより

（実数全体だと全射ではなくなる）

$\begin{array}{llc} \forall y \in (0,\infty) & \exists x \in (0,\infty) & x^n=y \\ \\ \forall y \in [0,\infty) & \exists x \in [0,\infty) & x^n=y \\ \\ \forall y \in [0,a^n) & \exists x \in [0,a) & x^n=y \end{array}$

「 $f(x)=x^n$ は全射である」

これは実現されます。

$n$ 乗根の存在

「狭義単調増加」であることと

$\begin{array}{ccc} a<b &&\to&& f(a)<f(b) \\ \\ && ↓ \\ \\ a≠b &&\to&& f(a)≠f(b) \end{array}$

「定義域」「像」の定義から

$\begin{array}{ccl} 0<x &&\to && 0< x^n \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \forall y \in (0,\infty) & \exists x \in (0,\infty) & x^n=y \end{array}$

この時の $f$ は「全単射」になるので

$\begin{array}{ccc} f(x)&=&x^n \end{array}$

「 $f(a)$ に対応する $a$ は１つだけ」だと言える。

（正の実数上の話だとする場合）

この結果から

$\begin{array}{ccc} x^n=α && \to &&\displaystyle x=\sqrt[n]{α} \end{array}$

『正の実数』上では

「 $n$ 乗根は１つだけ」だと言えますが

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sqrt[n]{α} \end{array}$

肝心の「 $n$ 乗根の存在」については

まだちょっと分かっていません。

（ $α$ に対応する実数 $x=？$ が色々と謎）

$n$ 乗根と逆関数

↑ の話をより具体的に言い表すと

$\begin{array}{ccc} f(a)&=&a^n \\ \\ \displaystyle \sqrt[n]{α}&=&f^{-1}(α) \end{array}$

この「 $n$ 乗根」という操作は

$x^n$ の「逆関数」操作ですから

そもそもの問題として

$\begin{array}{ccc} a<b &&\to&& f(a)<f(b) \\ \\ a<b &&←&& f^{-1}\Bigl( f(a) \Bigr) <f^{-1}\Bigl( f(b) \Bigr) \end{array}$

この「逆関数の存在」が分からなければ

$\begin{array}{ccc} f^{-1}\Bigl( f(a) \Bigr) \end{array}$

この操作を行って良いかは不明です。

なので厳密に話を進めるなら

$\begin{array}{ccc} y=f(x) &&⇔&& f^{-1}(y)=x \end{array}$

「 $n$ 乗根の存在」を保証するために

$\begin{array}{ccc} y=x^n &&⇔&& \displaystyle \sqrt[n]{y}=x \end{array}$

それを出力できる操作である

「逆関数の存在」を保証する必要があります。

（全単射である場合直感的には明らか）

逆関数の厳密な定義

結論から行くと

$\begin{array}{ccc} y&=&f(x) \end{array}$

「逆関数」という操作は

「全単射 $f$ （関数）」を前提とした時の

（全ての $x$ と $f(x)$ が被りなく全て結びついている）

$\begin{array}{ccc} f^{-1}(y)&=&x \end{array}$

「矢印を逆にした操作」のことを指していて

（全単射の存在と逆写像の存在）

その結果

$\begin{array}{ccc} y=f(x) &&⇔&& f^{-1}(y)=x \end{array}$

これが必ず成立するという形で

この「逆関数」という概念は定義されています。

（つまり全単射が定義できるなら存在すると言える）

狭義単調数列と逆関数の存在

↑ で説明したように

$\begin{array}{ccc} a<b &&\to&& f(a)<f(b)\end{array}$

「狭義単調増加」を前提とすると

（狭義単調減少だと不等号 $<$ の向きが逆）

$\begin{array}{ccc} a<b &&\to&& f(a)<f(b) \\ \\ b<a &&\to&& f(b)<f(a) \end{array}$

写像 $f$ は「単射」になり

$\begin{array}{ccc} a≠b &&\to&& f(a)≠f(b) \end{array}$

「定義域・終域」を調整すると

$\begin{array}{ccc} \forall y \in \textcolor{skyblue}{Y} & \exists x \in \textcolor{skyblue}{X} & y=f(x) \end{array}$

「全射」を構成できるので

この前提が満たされる場合

$f$ は「全単射」になることから

$\begin{array}{ccc} y=f(x) &&⇔&& f^{-1}(y)=x \end{array}$

この時

「逆関数」は「存在する」と言えます。

逆関数から見る定義域

↑ の話の中でも

特に「逆関数」を考える場合

$\begin{array}{lcccl} x=α &&\to&& y=f(α) \\ \\ x=f^{-1}(β) &&←&& y=β \end{array}$

「 $f(x)$ から $x$ を得る」必要があるわけですが

　 $\begin{array}{ccc} x=α &&\to&& y=f(α)\end{array}$

よく考えると

「 $x$ 側から」であれば $f(x)$ は特定できますが

$\begin{array}{ccc} x=f^{-1}(β) &&←&& y=β \end{array}$

「 $f(x)$ 側から」 $x$ を特定するのは

例えば ↑ の主題である

$\begin{array}{ccc} x&=&\displaystyle \sqrt[n]{y} \end{array}$

こういった逆関数を考えると

$\begin{array}{ccc} x&=&\displaystyle \sqrt[810]{114514} \end{array}$

かなり難しいです。

具体的にどのくらいの値になるのか非常に分かり辛い。

逆像が存在しない可能性

↑ の話の中でも

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sqrt[2]{-1}&=&x \end{array}$

特にこういったパターンを考えると

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sqrt{-1} & \not\in & R \end{array}$

この結果から

「終域 $y\in R$ が実数になる」場合でも

「逆像 $f^{-1}(y)$ には実数が存在しない」

こんなパターンがあり得るので

$\begin{array}{ccc} f^{-1}(y) \in R && ← && y\in R &&？ \end{array}$

「終域しか考えていない」状態では

「逆像は存在しないことがある」

つまり

「定義域が曖昧」な状態で

「逆関数 $f^{-1}$ 」を考えた時

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \sqrt[n]{α} &=&？ \end{array}$

この操作は保証されていないので

この点について考える必要があると言えます。

逆像の存在と中間値の定理

↑ の話から

「逆関数」単体を「関数」として考える場合には

$\begin{array}{ccc} f^{-1}(y) \in X && → && y\in Y &&？ \end{array}$

きちんと「定義域・終域」を考える必要がある

これが分かるので

例えば ↓ みたいな操作を考えるなら

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sqrt[n]{α} &=& c \end{array}$

この「 $c$ が存在する」ような

そんな「終域」を定義する必要があります。

（この一般的な話として「中間値の定理」がある）

中間値の定理 Intermediate Value

これは「像 $f(x)$ 」の側から見た

$\begin{array}{ccc} f(a)&<& c &<& f(b) \\ \\ & & ↓ \\ \\ a &<& \displaystyle f^{-1}(c) &<& b \end{array}$

「 $x$ の存在」について示された定理で

↓ と「 $[a,b]$ 上で連続」が定義されている時

$\begin{array}{ccc} f(a)&<&f(b) \end{array}$

適用できる定理になります。

（正の実数上の $x^n$ でも適用できる）

$x$ に近付けるには

まず計算しやすい $a,b$ を用意して

（ $0$ とか $1$ とかその辺り）

$\begin{array}{ccc} f(a)&<& c &<& f(b) \\ \\ & & ↓ \\ \\ a &<& \displaystyle f^{-1}(c) &<& b \end{array}$

この形を得てから

「 $x$ の１つである $f^{-1}(c)$ 」について考えてみると

（ $f^{-1}(c)$ の存在は曖昧なので正確にはまだ記述できません）

好きに決められる $c$ から

$f^{-1}(c)$ を目指したいので

（この $f^{-1}(c)$ はあくまで仮想上のもの）

$\begin{array}{ccc} f(x) &\to& x \\ \\ c &\to& f^{-1}(c) \end{array}$

まず簡単に

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{a+b}{2} &=& \displaystyle \frac{a_0+b_0}{2} \end{array}$

「 $a_0=a,b_0=b$ 」とでも置いて

「 $a,b$ の中間」を考え

$\begin{array}{ccc} \displaystyle f \left( \frac{a_0+b_0}{2} \right) < c &&\to&& \displaystyle a_1=\frac{a_0+b_0}{2},b_1=b_0 \\ \\ \displaystyle f \left( \frac{a_0+b_0}{2} \right) &&\to&& \displaystyle\frac{a_0+b_0}{2}=f^{-1}(c) \\ \\ \displaystyle c < f \left( \frac{a_0+b_0}{2} \right) &&\to&& \displaystyle a_1=a_0,b_1=\frac{a_0+b_0}{2} \end{array}$

そこから徐々に $f^{-1}(c)$ へと寄せていくような

（実際には $c$ に寄せていく）

$\begin{array}{ccc} 0 &<& b_1-a_1 \\ \\ && \displaystyle \frac{1}{2}(b-a) \end{array}$

$\begin{array}{ccc} a_1 &<& f^{-1}(c) &<& b_1 \\ \\ f(a_1)&<&c&<&f(b_1) \end{array}$

画像で見るとこんな感じになる

$\begin{array}{ccc} \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) < c &&\to&& \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=b_n \\ \\ \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) &&\to&& \displaystyle\frac{a_n+b_n}{2}=f^{-1}(c) \\ \\ \displaystyle c < f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) &&\to&& \displaystyle a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \end{array}$

こういう操作を考えて

$\begin{array}{ccc} a_n &<& f^{-1}(c) &<& b_n \\ \\ f(a_n)&<&c&<&f(b_n) \end{array}$

まずは試みとして

ここから「 $f^{-1}(c)$ の存在」を目指してみます。

（無理やりはさみうちの原理の形にするイメージ）

良い感じの操作と上限下限の存在

以上の操作を考えると

$\begin{array}{ccc} b_{n+1}-a_{n+1} &=& \displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{1}{2}(b_n-a_n) && \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) < c \\ \\ \displaystyle\frac{1}{2}(b_n-a_n) && \displaystyle c < f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) \end{array} \right. \end{array}$

まず「 $a_n,b_n$ の関係」は

$\begin{array}{ccl} b_n-a_n &=& \displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^1 (b_{n-1}-a_{n-1}) \\ \\ &=& \displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^n (b_{0}-a_{0}) &>&0 \end{array}$

常にこうなると言えて

$\begin{array}{ccc} \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) < c &&\to&& \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=b_n \\ \\ \displaystyle c < f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) &&\to&& \displaystyle a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \end{array}$

こうである以上

$\begin{array}{ccc} a_{n+1}-a_{n} &=& \displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}-a_n && \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) < c \\ \\ 0 && \displaystyle c < f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}-a_n&=& \displaystyle \frac{-a_n+b_n}{2} &>&0 \end{array}$

$\begin{array}{ccc} b_{n+1}-b_{n} &=& \displaystyle \left\{ \begin{array}{ccc} 0 && \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) < c \\ \\ \displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}-b_n && \displaystyle c < f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}-b_n&=& \displaystyle \frac{a_n-b_n}{2} &<&0 \end{array}$

それぞれこうなりますから

$\begin{array}{ccc} a_0 &<& a_n && &<& b_0 \\ \\ a_0 &<& && b_n &<& b_0 \end{array}$

「 $a,b$ が有限値である」なら

$a_n,b_n$ は明らかに「有界」であり

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& a_{n+1}-a_{n} \\ \\ && b_{n+1}-b_{n} &≤& 0 \end{array}$

$a_n$ は「単調増加」

$b_n$ は「単調減少」であると言えるので

「有界な単調数列は収束する」ことから

それぞれ極限値 $α,β$ が存在する

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n &=&α &≤& β &=& \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n \end{array}$

こんな結論が得られて

$\begin{array}{ccl} b_n-a_n &=& \displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^1 (b_{n-1}-a_{n-1}) \\ \\ &=& \displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^n (b_{0}-a_{0}) \end{array}$

さらにこの関係から

$\begin{array}{lcc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n-a_n &=& β-α \\ \\ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n (b_{0}-a_{0}) &=& 0 \end{array}$

このようになるので

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n &=& \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n \end{array}$

この結論が得られます。

（はさみうちの原理が使えるようになった）

極限の存在と連続性

ほぼ欲しい結果は得られましたが

$\begin{array}{rcc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} f(a_n)&=&f(α) &&？ \\ \\ \displaystyle\lim_{a_n\to f^{-1}(c) } f(a_n)&=&c && ？ \end{array}$

この操作を行うことを考えた時

$\begin{array}{ccc} f(α)&=&f(β) \end{array}$

「 $α$ が存在する」ことは確定しましたが

「極限 $f(α)$ の存在」は保証されていないため

「 $f(α)$ の存在」を確定させるために

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} f(a_n)&=&f(α) \end{array}$

↑ を保証する「連続」という性質は

前提としておく必要があります。

（ここで連続が条件に必要だと分かる）

$f(a_n),f(b_n)$ と $c$ の関係

直感的には明らかですが

$\begin{array}{ccc} f(a_{n}) &<& c &<& f(b_{n}) && 〇 \\ \\ f(a_{n}) &<& f\Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &<& f(b_{n}) && △ \end{array}$

これについて

まだ曖昧だったのでちゃんと確認しておきます。

やることはそのまま

$\begin{array}{ccc} f(a_n) &<& c &<& f(b_n) \\ \\ f(a_n) &<& f\Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &<& f(b_n) \end{array}$

「 $c$ の存在」は前提としているので

（実数の範囲なら任意の実数）

$\begin{array}{ccc} c-f(a_{n+1}) && \to && \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcc} \displaystyle c-f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) && \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) < c \\ \\ c-f(a_n) && \displaystyle c < f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{ccc} 0 &<& c-f(a_{n+1}) \\ \\ f(a_{n+1}) &<& c \\ \\ f(a_{n+1}) &<& f\Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) \end{array}$

$\begin{array}{ccc} f(b_{n+1}) - c && \to && \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcc} f(b_n) - c && \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) < c \\ \\ \displaystyle f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) - c && \displaystyle c < f \left( \frac{a_n+b_n}{2} \right) \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{ccc} 0 &<& f(b_{n+1}) - c \\ \\ c &<& f(b_{n+1}) \\ \\ f\Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &<& f(b_{n+1}) \end{array}$

それぞれ確認するだけです。

（厳密には $c$ との比較のみ必要）

そしてこの結果から

$\begin{array}{ccc} f(a_{n}) &<& c &<& f(b_{n}) \end{array}$

これが常に成り立つと言えます。

（数学的帰納法により）

欲しい値の存在

以上の結果から

$\begin{array}{ccc} f(a_0)&<&c&<&f(b_0) \\ \\ f(a_n)&<&c&<&f(b_n) \\ \\ \\ f(a_{n}) &<& f\Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &<& f(b_{n}) \\ \\ f(a_n)&<&f(α)=f(β)&<&f(b_n) \end{array}$

こうなると言えるため

「 $f^{-1}(c)$ の存在」は

$\begin{array}{ccc} && f(a_n) &<& f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &<& f(b_n) && \\ \\ -ε &<& f(a_n) - γ &<& f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) - γ &<& f(b_n) - γ &<& ε \\ \\ \\ && \displaystyle \lim_{n \to \infty} f(a_n) &=& f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &=& \displaystyle \lim_{n \to \infty} f(b_n) && \\ \\ && f(α) &=& f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &=& f(β) \end{array}$

このような形で証明することができます。

（ $α$ もしくは $β$ の存在が欲しい結果になる）

記号の問題

余談ですが

$\begin{array}{ccc} f(α) &=& f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &=& f(β) \end{array}$

分かりやすさのためにこうしましたが

「 $f^{-1}(c)$ の存在」が曖昧である以上

厳密には、この記述は誤りです。

$\begin{array}{ccc} f(a_n) &<& f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &<& f(b_n) \\ \\ f(α) &=& f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &=& f(β) \end{array}$

ただ

↑ の話で出てくる $f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr)$ を

$\begin{array}{ccc} f \Bigl( f^{-1}(c) \Bigr) &&\to&& a,c \\ \\ f^{-1}(c) &&\to&& × \end{array}$

単なる記号 $a$ として解釈したり

そのまま $c$ に置き換えたり

$f^{-1}(c)$ 単体が出てくる話は無視すれば良い話なので

$\begin{array}{ccc} f(a_n) &<& c &<& f(b_n) \\ \\ f(α) &=& c &=& f(β) \end{array}$

「 $f^{-1}(c)$ が存在する」

$\begin{array}{ccc} f(α) &=& c &=& f(β) \\ \\ α&=& f^{-1}(c) &=& β \end{array}$

この結果は変わりません。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sqrt[n]{c} \end{array}$ と正の実数の範囲

以上より

この定理を適用すると

$\begin{array}{ccc} 0 &≤& x &≤& a \\ \\ f(0) &≤& y &≤& f(a) \end{array}$

このように範囲を定めれば

$f(x)=x^n$ は「連続」かつ「単調増加」ですから

$\begin{array}{ccrcl} 0&<&\displaystyle \sqrt[n]{c} &<&a \\ \\ 0&<& c &<&a^n \end{array}$

このようになる

「実数 $\begin{array}{ccc} \displaystyle \sqrt[n]{c} \end{array}$ の存在」が導かれるので

その結果として

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sqrt[n]{c} &\in& R \end{array}$

「定義域・終域」共に「正の実数」の範囲では

この操作には特に問題が無い

この事実が証明されます。

確率変数の収束

とりあえずざっくりと「確率変数」について

$\begin{array}{ccccccccc} \displaystyle 1&2&3&4&5&6 \\ \\ \displaystyle\frac{1}{6}&\displaystyle\frac{1}{6}&\displaystyle\frac{1}{6}&\displaystyle\frac{1}{6}&\displaystyle\frac{1}{6}&\displaystyle\frac{1}{6} \end{array}$

$\begin{array}{llllll} \displaystyle P(X) \\ \\ P(1)&=&\displaystyle\frac{1}{6} \end{array}$

「確率を返す関数の変数」として振る舞う

そういう $X$ のことを「確率変数」と言います。

（詳細は別記事で）

確率収束 Stochastic Convergence

「大数の法則」の中身になる

「例外」の影響が「薄まっていく」感じ

$\begin{array}{ccc} \displaystyle P\Bigl( |\overline{X_n}-μ|≥ε \Bigr)&≤&\displaystyle\frac{σ^2}{nε^2} \end{array}$

実際に使われている

実用上の「収束」の１つです。

（本題から逸れるので詳細は別記事で）

概収束 Almost Sure Convergence

「大数の法則」の中身になる

「最終的には一定になっていく」感じの話

$\begin{array}{ccc} \displaystyle P\left(\lim_{n \to \infty}X_n=μ \right)&=&1 \end{array}$

これも詳細は省略します。

平均収束 Mean of Order $p$

「平均」「分散」についての話

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} E \Bigl( |X_n-X|^p \Bigr) &=&0 \end{array}$

これを「 $p$ 次平均収束」と言い

（由来は長さとかを拡張した $L^p$ -ノルム）

$\begin{array}{lcc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} E \Bigl( |X_n-X| \Bigr) &=&0 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} E \Bigl( |X_n-X|^2 \Bigr) &=&0 \end{array}$

$p=1$ ならそのまま「平均収束」

$p=2$ なら「二乗平均収束」と言います。

（平均と分散が $X$ に収束するって話です）

法則収束 Convergence in Law

統計における最も基礎的な収束

「弱収束」「分布収束」とも呼ばれます。

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} F_n(x)&=&F(x) \end{array}$

「 $F$ が累積分布関数である」ことを除けば

これはほぼ「収束の定義」を表しています。

（関数・分布 $F$ の収束なので抽象的）

確実収束 Sure Convergence

これはそのまま「各点収束」の話です

$\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} X_n(ω)&=&X(ω) \end{array}$

「 $X$ が確率変数」だとか

そういうこと以外は特に語ることがありません。

（そもそもあんまり使われない）

この辺りの話になるとあまり基礎的ではないので

実用上こういうのがある程度で流してください。

（詳細は統計の記事で）

目次

収束 Convergence

具体的な話

収束しない

極限の一意性

収束と三角不等式

どちらも収束するという仮定

等しくない可能性

違う場合矛盾するなら

有界単調数列 Bounded Monotone

収束することの証明

下限も同様

上極限と下極限 Superior Inferior

定義の解説

α_n の数列は単調数列

有界なら上極限は存在する

上極限と下極限が一致 → 極限が存在

一様収束 Uniform Convergence

一様収束しない関数列

一番大きな差を使うから

一様収束するなら収束先は連続関数

各点収束 Pointwise Convergence

一様収束するなら各点収束する

論理式を機械的に処理してみる

複雑な論理式での量化子の扱い

一様収束と各点収束の構成

逆は成立しない

一様収束と各点収束の明確な違い

同程度連続 Equi-Continuous

同程度連続の役割

同程度連続で保証される性質

一様収束するには各点収束に縛りが必要

同程度連続と三角不等式

各点収束と連続の定義

収束級数 Convergent Series

収束級数の性質

級数が収束する → 数列が 0 に収束する

絶対収束 Absolutely Convergent

条件収束 Converge Conditionally

無条件収束 Unconditional Convergence

コーシー積 Cauchy Product

コーシー積の意味

コーシー積の条件

リーマンの再配列定理 Riemann

収束の判定

コーシー列 Cauchy Sequence

絶対収束するなら収束する

有界な正項級数は収束する

比較判定法 Comparison Test

絶対収束するなら並び替えても同じ

まずは分かりやすいところから

部分的な有限和と無限

最大の添え字と総和

任意性と極限

添え字はわりと好き勝手して良い

絶対収束ならだいたい順番を入れ替えて良い

着地と有限と三角不等式

絶対収束する級数の一部と比較

邪魔な部分を消したい

まとめ

コーシー積の話で飛ばした話

正項級数の場合

コーシー積の有限パターン

良い感じになる差の変形

差と三角不等式

収束するやつに寄せていく

両方が絶対収束するなら

片方だけ絶対収束する場合

前の話をそのまま使えるか

良い感じの式変形

収束値である定数と収束する級数列

欲しい結果に近付ける

収束する級数列

残りもいけるか

絶対収束する必要がある

じゃあ b_n の級数も絶対収束？

全て 0 に収束する

まとめ

収束半径 Radius of Convergence

収束半径の役割

$α_n$ の数列は単調数列

級数が収束する → 数列が $0$ に収束する

じゃあ $b_n$ の級数も絶対収束？

全て $0$ に収束する

$r<1$ でそもそも収束はするのか

$n$ 乗根を使ってみる

$n$ 乗根について

正の実数の $n$ 乗根

$x^n$ は正の実数の範囲で狭義単調増加である

$n$ 乗根の存在

$n$ 乗根と逆関数

$x$ に近付けるには

$f(a_n),f(b_n)$ と $c$ の関係

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\sqrt[n]{c} \end{array}$ と正の実数の範囲

平均収束 Mean of Order $p$