|| 到達不能？
数学の「天井」みたいなもの。
サイズの限界を考える時に使われます。
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目次
・弱到達不能基数「正則で非可算なことだけが条件の極限基数」
・強到達不能基数「弱到達不能基数に冪集合の条件を加えたやつ」
・連続体濃度「実数の濃度と同じ濃度」
・連続体仮説「自然数と実数の間に濃度がないという仮説」
これは一言で言えば
「めちゃくちゃでかい大きさ」とか
なんかそんな感じのやつなんですけど
詳しく理解するとなると
この辺りの知識が必須になるので
この記事単体では解説しきれません。
なのでこの記事を読む前に
まずは必要な知識から覚えることを推奨します。
弱到達不能基数 Weakly Inaccessible
|| 弱いっていうか広い到達不能な大きさ
『正則で非可算な極限基数』のこと。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{cf}(ω_n)&=&ω_n \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_0&<&\aleph \end{array}
『非可算』の条件はついてない場合もあります。
補足
これに限らず
「弱い」という単語は『縛りの弱さ』を表していて
まあつまり「弱い」ということは
「広い範囲」をカバーしている
ということを意味しています。
採用されるもの
「弱い」ってことは『抽象的』だってことで
「強い」ってことは『具体的』だってことです。
まあつまり
より実用性があるもの
より直感的に分かりやすいものは強い方になります。
強到達不能基数 Strongly Inaccessible
|| 字面がなんか超強い
「弱到達不能基数」より具体的なやつ。
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀κ<κ_{\mathrm{inac}} & 2^{κ}<κ_{\mathrm{inac}} \end{array}
「 κ 」は『正則な極限基数』ってことにします。
最小の到達不能基数
弱到達不能基数がそうであるように
これも非可算性を要求しないときがあるようです。
その場合
『最小の無限濃度 \aleph_0 』が
「強到達不能基数」になります。
冪集合と非加算無限
『カントールの定理』より
「基数」には次の関係が成立します。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&<&|2^N| \end{array}
この時の「冪集合 2^N の濃度」が
「非加算」と呼ばれる大きさで
\begin{array}{llllll} \displaystyle ∀κ<κ_{\mathrm{inac}} & 2^{κ}<κ_{\mathrm{inac}} \end{array}
「到達不能基数」は
これよりも大きなサイズの中でも
特に「正則」な『極限基数』のことを指します。
まあつまり
\begin{array}{llllll} \displaystyle |R| \\ \\ |2^N| \end{array}
こういったサイズより確実に大きいと分かる
そんな巨大なサイズが「到達不能基数」になります。
連続体濃度 Continuum
|| 連続してるものの濃度
『実数の濃度』のこと。
\begin{array}{cccccccccccccccllllll} \displaystyle |N|&<&|R| \\ \\ &&|R|&=&\aleph \end{array}
「 \aleph 」や「 \mathfrak{c} 」と書かれることが多いです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle |N|&<&|2^N|&=&\aleph_1 \\ \\ |N|&<&|R|&=&\aleph \end{array}
『 \aleph_1 』ではない理由は
\begin{array}{llllll} \displaystyle \aleph_1&>&\aleph &&？ \\ \\ \aleph_1&=&\aleph &&？ \\ \\\aleph_1&<&\aleph &&？ \end{array}
その間にあるかもしれないからで
これらが同じである可能性はあります。
（同じとしても特に問題ないことが分かっている）
連続体仮説 Continuum Hypothesis
|| 間にある濃度についての仮説
↑ の『 \aleph_0<\aleph_k<\mathfrak{c} 』の
『間の濃度 \aleph_k がない』っていう仮説
\begin{array}{ccccccccccccc} \displaystyle \aleph_0&<&\aleph_k&<&\mathfrak{c} \\ \\ n&<&k&<&2^n \end{array}
まあつまり
「自然数全体」より大きくて
「実数全体」より小さいような集合は無い
言い換えるなら
「最小の濃度 \aleph_0 」の『次の最小の濃度』は
「連続体濃度 \mathfrak{c} 」だって言ってます。
実際どうなのか
これは定理ではなく仮説・公理の類になります。
ZFC では正しいかどうか証明できません。
「公理系 ZFC 」とは独立な命題である。
正しくても間違ってても特に矛盾は出ない。
この２つは分かっていますが
だからこそ正しさを証明することはできない
とまあこれはそんな感じのものになります。
一般連続体仮説 Generalized CH
「一般連続体仮説」は
正しかろうと間違っていようと
「 ZFC の正しさ」には影響を及ぼさないので
\begin{array}{llllll} \displaystyle ZFC &&〇 \\ \\ GCH &&？ \end{array}
どちらの場合も採用することができます。
採用する場合
「一般連続体仮説」は「公理」として扱われ
ZFC+GCH
このように書かれることがあって
\begin{array}{llllll} \displaystyle ZFC+GCH &&〇 \\ \\ ZFC+￢GCH &&〇 \end{array}
この時、この公理系の中で
この仮説は正しかったり間違っていたりします。