|| だいたい間接的にしか分からない
いろいろざっとまとめてみました。
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\begin{array}{llllll} \displaystyle \int f(x)\,dx &=&\displaystyle \int f\Bigl(g(t)\Bigr)\frac{dx}{dt} \,dt \end{array}
\begin{array}{clclllll} \displaystyle \Bigl( f(x)g(x) \Bigr)^{\prime}&=&\displaystyle f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) \\ \\ \displaystyle f(x)g(x) &=&\displaystyle \int f^{\prime}(x)g(x) \,dx +\int f(x)g^{\prime}(x) \,dx \end{array}
この辺りの詳細は別記事にまとめておきます。
目次
基本的な積分「三角関数・指数関数・対数関数など」
特殊な積分「高難度の積分・ガウス積分など」
一般的な積分
微分と比較して書いておきます。
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle x^t&=&\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{t+1}x^{t+1} \\ \\ \displaystyle\int x^t \,dx &=&\displaystyle\frac{1}{t+1}x^{t+1} \end{array}
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle \frac{1}{x}&=&\displaystyle\frac{d}{dx}\log x \\ \\ \displaystyle\int \frac{1}{x} \,dx &=&\displaystyle \log |x| \end{array}
\log x は負の範囲はとらないので
x を全区間で考える場合はこうなります。
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle (ax+b)^t&=&\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{t+1}\frac{1}{a}(ax+b)^{t+1} \\ \\ \displaystyle\int (ax+b)^t \,dx &=&\displaystyle\frac{1}{t+1}\frac{1}{a}(ax+b)^{t+1} \end{array}
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle (x-c)^t&=&\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{t+1}(x-c)^{t+1} \\ \\ \displaystyle\int (x-c)^t \,dx &=&\displaystyle\frac{1}{t+1}(x-c)^{t+1} \end{array}
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle \frac{1}{ax+b}&=&\displaystyle\frac{d}{dx}\frac{1}{a}\log (ax+b) \\ \\ \displaystyle\int \frac{1}{ax+b} \,dx &=&\displaystyle \frac{1}{a}\log (ax+b) \end{array}
これらがたぶん最も一般的なやつですね。
全部ひとまとめに覚えておくべきものになります。
ちなみにもちろん t≠-1 です。
以下、三角関数の簡単なやつはこう
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle \sin x&=&\displaystyle\frac{d}{dx} \left( -\cos x \right) \\ \\ \displaystyle\int \sin x \,dx &=&\displaystyle (-\cos x) \end{array}
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle \sin (ax+b)&=&\displaystyle\frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{a}\cos (ax+b) \right) \\ \\ \displaystyle\int \sin (ax+b) \,dx &=&\displaystyle \left( -\frac{1}{a}\cos (ax+b) \right)\end{array}
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle \cos x &=&\displaystyle\frac{d}{dx} \sin x \\ \\ \displaystyle\int \cos x \,dx &=&\displaystyle \sin x \end{array}
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle \cos (ax+b) &=&\displaystyle\frac{d}{dx} \frac{1}{a}\sin (ax+b) \\ \\ \displaystyle\int \cos (ax+b) \,dx &=&\displaystyle \frac{1}{a}\sin (ax+b) \end{array}
指数関数はこうなります。
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle e^x&=&\displaystyle\frac{d}{dx} e^x \\ \\ \displaystyle\int e^x\,dx &=&\displaystyle e^x \end{array}
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle a^x&=&\displaystyle\frac{d}{dx} \frac{1}{\log a}a^x \\ \\ \displaystyle\int a^x \,dx &=&\displaystyle \frac{1}{\log a}a^x \end{array}
これらは「不定積分」なので
厳密には「積分定数 C 」が必要なんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle\int x^n \,dx &=&\displaystyle\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C \end{array}
見やすさのために取り除いています。
気になるなら頭の中で付け足しておいてください。
特殊な積分
「置換積分」「部分積分」を駆使するやつと
『特殊過ぎる操作を行うやつ』を紹介します。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int \tan x \,dx \\ \\ \displaystyle \int \log x \,dx \end{array}
意外とこういうシンプルなのが
なんかよくわからんかったりします。
意外とよくわからんやつ
とりあえず既存の関数の話から
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\int \log x \,dx &=&\displaystyle x\log x -x \end{array}
「対数関数」はこんな感じになって
「三角関数」は ↓ みたいになります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \,dx &=& \log|f(x)| \end{array}
\begin{array}{clrllllll} \displaystyle\int \tan x \,dx &=&\displaystyle -\log |\cos x| \\ \\ \displaystyle \int \frac{1}{\tan x} \,dx &=&\log |\sin x| \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int \frac{1}{\sin x} \,dx &=&\displaystyle \frac{1}{2}\log\left( \frac{1-\cos x}{1 +\cos x} \right) \\ \\ \displaystyle \int \frac{1}{\cos x} \,dx &=&\displaystyle \frac{1}{2}\log\left( \frac{1 +\sin x}{1 -\cos x} \right) \end{array}
意外過ぎる結果ですが
こういった基本的な関数でも
わけわからん結果になったりすることがあります。
\begin{array}{llrlllll} \displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx &=& \displaystyle \tan x \\ \\ \displaystyle\int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx &=& \displaystyle -\frac{1}{\tan x} \end{array}
\tan x の微分から
このような結果も導けます。
確率の話とかで見るやつ
「部分積分」を駆使すれば分かるやつを紹介
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{0}^{1} p^n(1-p)^{m} \,dp&=&\displaystyle \frac{n!m!}{(n+m+1)!} \end{array}
なんか厳ついですが
「事象」と「余事象」とか
そういう確率の話なんかで見ることがあります。
ウォリス積分
これも「部分積分」を駆使すると求められます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle n!! &=&n(n-2)(n-4)\cdots \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{odd} &=&\{1,3,5,7,...\} \\ \\ \mathrm{even} &=&\{2,4,6,8,...\} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^n x \,dx &=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!} && n∈\mathrm{odd} \\ \\ \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{π}{2} && n∈\mathrm{even} \end{array} \right. \\ \\ \displaystyle \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^n x \,dx &=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!} && n∈\mathrm{odd} \\ \\ \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{π}{2} && n∈\mathrm{even} \end{array} \right. \end{array}
形と結果はわりとシンプルですが
「部分積分」が分かってないと意味不明
特殊な方法で求められる形
よく分からない「置換」やら
「対数微分法」を使って求める形
なんでこうなったのかはすぐには分からんです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx &=&\displaystyle \log \left( x+\sqrt{x^2+a^2} \right) \\ \\ \displaystyle \int \sqrt{x^2+a^2}\,dx &=&\displaystyle \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+a^2} + a^2\log \left( x+\sqrt{x^2+a^2} \right) \right) \end{array}
時間使っても分からないかもしれません。
\begin{array}{llrllll} \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx &=&\displaystyle\arcsin \, \frac{x}{a} \\ \\ \displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx &=&\displaystyle \frac{1}{a}\arctan \, \frac{x}{a} \end{array}
実際、こういう形は
\begin{array}{rcrllllll} \displaystyle y&=&\sin x \\ \\ \arcsin \, y &=&x \end{array}
いきなり「逆三角関数」が出てきたりします。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int \frac{1}{x^2-a^2} \,dx &=&\displaystyle \frac{1}{2a}\log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{x+a}{x-a}\left( \frac{x-a}{x+a} \right)^{\prime} \end{array}
なんか分かりそうなのはこれくらいです。
ガウス積分
「指数」に -x^2 が来るパターン
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} \,dx &=&\displaystyle \sqrt{π} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2} \,dx &=&\displaystyle \sqrt{\frac{π}{a}} \end{array}
原始関数が存在しないので
これはこのままでは求められません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle dxdy &&→&&r drdθ \end{array}
「ヤコビアン」やら「重積分」やら
すごい込み入った手順を経て
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} \,dxdy &=&\displaystyle\int_{0}^{2π}\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r\,drdθ \\ \\ &=&\displaystyle\int_{0}^{2π} \left( \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r\,dr \right) \, dθ \end{array}
ようやくこれは求められます。
これも長くなるので詳細は別記事で。
フレネル積分
「三角関数」の変数が x^2 のパターン
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin x^2 \,dx &=&\displaystyle\sqrt{\frac{π}{2}} \\ \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos x^2 \,dx &=&\displaystyle\sqrt{\frac{π}{2}} \end{array}
こうなります。
「留数定理」やらが関わる話で
かなりごちゃごちゃしてるので詳細は別記事で。
物理学関連のやつ
「プランクの法則」から与えられるスペクトル
とまあこの記事内じゃよく分からんこれを使って
「シュテファン=ボルツマン定数 σ 」を求めると
\begin{array}{llllll} \displaystyle σ&=&\displaystyle \frac{2πk^4}{c^2h^3}\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1} \,dx \end{array}
このようになることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1} \,dx \end{array}
これを求める必要に迫られた結果
\begin{array}{llllll} \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1} \,dx &=&\displaystyle\frac{π^4}{15} \end{array}
なんとか求めたらこうなったやつ。
いやすごい直感的じゃないですね。意味不明。
求める手段は確立されてるんですが
手順がかなり複雑なのでこちらも別記事で。