|| 円周率を求めるためのやつ
円周率の近似値を出す時に使う級数
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\begin{array}{llllll} \displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots&=&\displaystyle \frac{π}{4} \end{array}
こういうやつです。
見ただけで分かる人はたぶんいないと思います。
（グレゴリー級数を知ってる人は分かるかも？）
導出
これは以下の級数から
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \end{array}
結果的に導かれたもので
円周率が出てくるかどうかは
この時点では不明となります。
マクローリン展開の形
この級数の計算はわりと特殊で
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \end{array}
↑ の時点では分からないことから
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \\ \\ \displaystyle x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \end{array}
マクローリン級数の要領で
このような形を考えて
\begin{array}{rllllll} \displaystyle f(x)&=& \displaystyle x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \\ \\ \displaystyle \frac{d}{dx} f(x) &=&1-x^2+x^4-x^6+\cdots \end{array}
計算できる形へ
無理矢理変形して強引に求めます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1-x^2+x^4-x^6+\cdots +(-x^2)^n &=& \displaystyle \frac{1-(-x^2)^n}{1-(-x^2)} \\ \\ 1-x^2+x^4-x^6+\cdots &=& \displaystyle \frac{1}{1-(-x^2)} &&|x|<1 \end{array}
ものすごい力技です。
わりと原型が残っていませんが
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \frac{1}{1-(-x^2)} \\ \\ \displaystyle \int f(x) \,dx &=&\displaystyle \int \frac{1}{1-(-x^2)} \,dx \\ \\ &=&\displaystyle x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \end{array}
この級数になる関数 f(x) さえ分かれば
後はその関数から収束する値を導けます。
\tan θ の微分と逆関数
↑ の話を考えていく上で出てくる
↓ の形になる式は
\begin{array}{llllll} \displaystyle 1-x^2+x^4-x^6+\cdots &=& \displaystyle \frac{1}{1+x^2} &&|x|<1 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{d}{dθ}\tan θ&=&\displaystyle \frac{\cos^2 θ +\sin^2 θ}{\cos^2 θ} \\ \\ &=&1+\tan^2θ \end{array}
「逆関数の微分」として
\begin{array}{rcrllllll} \tan θ &=&x \\ \\ \displaystyle θ&=&\arctan x \end{array}
\begin{array}{rccllllll} \displaystyle \frac{dx}{dθ}\frac{dθ}{dx}&=&1 \\ \\ \displaystyle \frac{dθ}{dx}&=&\displaystyle \frac{1}{1+\tan^2 θ} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{1}{1+x^2} \end{array}
このような形で導かれます。
\begin{array}{rccllllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \frac{1}{1-(-x^2)} \\ \\ \displaystyle\frac{d}{dx}\arctan x&=&\displaystyle \frac{1}{1+x^2} \end{array}
そしてこの事実から
欲しかった関数 f(x) が判明します。
元の形へ
ここまで分かれば
後は計算していくだけです。
\begin{array}{cccllllll} \displaystyle\frac{d}{dx}\arctan x &=&\displaystyle \frac{1}{1+x^2} \\ \\ \displaystyle \int \displaystyle\frac{d}{dx}\arctan x \,dx &=&\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2} \,dx \\ \\ &=&\displaystyle x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \end{array}
求めたい級数の形から
\begin{array}{llllll} \displaystyle \arctan x&=&\displaystyle x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \end{array}
x=1 のパターンを考えて
（ |x|<1 ですがアーベルの連続性定理から可能）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to 1} \arctan x&=&\displaystyle\lim_{x\to 1}\displaystyle x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \end{array}
逆三角関数については
三角関数を使って求めると
\begin{array}{llllll} \displaystyle -\frac{π}{2}&<& θ &<&\displaystyle \frac{π}{2} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \tan θ &=&x \\ \\ \displaystyle \tan \frac{π}{4} &=&1 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 1} \arctan x&=&\displaystyle\frac{π}{4} \\ \\ \end{array}
こうなので
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\frac{π}{4}&=&\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \end{array}
結果、これが導かれます。
以上
ライプニッツ級数についてはこんな感じ。
他にも求める方法はありますが
これが最も直感的なので他は省略。
知りたい方は調べてみてください。