|| 変な形の微分を求めるためのもの
不定形を解消するためのほぼ最後の手段
ちなみにマジの最終手段は「はさみうちの原理」
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「ベルヌーイの定理」とも呼ばれるもので
数式的には ↓ みたいな感じです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} &=& α &=&\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{array}
これは主に ↓ のような
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{0}{0} &&\displaystyle \frac{\infty}{\infty} \end{array}
「極限の不定形」を解消するために使われ
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \\ \\ \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{e^x}{x} \end{array}
こういうやつから極限値を取り出すとき
使われる考え方の一つになります。
\begin{array}{llllll} 0\times\infty &&\displaystyle \infty-\infty \end{array}
こういう不定形には対応してませんが
\begin{array}{llllll} \displaystyle 0\times\infty&&→&&\displaystyle\frac{1}{\infty}\times\infty \\ \\ 0\times\infty&&→&&\displaystyle 0\times \frac{1}{0} \end{array}
こんな感じに式変形すると
この定理を適用できたりすることがあります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{x-\cos x}{x} &&→&& \displaystyle \frac{1+\sin x}{1} \end{array}
ちなみにこういう
x→\infty の場合だと収束値を求められない
つまり「振動する」ようなやつは
\begin{array}{rlccccclllll} \displaystyle \displaystyle \lim_{n\to 0} 1+\sin x &=&1 &&〇 \\ \\ \displaystyle \lim_{n\to \infty} 1+\sin x &=&？ &&× \end{array}
「はさみうちの原理」だと求められたりします。
（挟むための関数の選定が難しかったりしますが）
定理の厳密な内容
ちょっとだけ条件は複雑ですが
よく見るとかなり緩い条件でこれは使えます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α&=&\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{array}
関数 f(x),g(x) が
「点 a に超近い」区間 (a-δ,a),(a,a+δ) で微分可能
\begin{array}{llllll} \displaystyle g(x)&≠&0 \\ \\ g^{\prime}(x)&≠&0 \end{array}
分母に来るので、この部分では 0 ではない
（点 a を除く超狭い区間 (a-δ,a),(a,a+δ) 内で）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)&=&0 \\ \\ \displaystyle \lim_{x\to a}g(x)&=&0 \end{array}
点 a で不定形になる
（ f(a),g(a) は 0 ではなく \infty でも良いです）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α \end{array}
そして分子と分母を微分して再計算した場合
極限値 α が存在する。
以上の条件を満たすとき
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α&=&\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{array}
不定形は極限値 α に収束すると言える。
これがロピタルの定理の厳密な主張になります。
ちなみに
このロピタルの定理は「関数」パターンですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}&=&α&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} \end{array}
「数列」パターンでもこれは成立します。
（シュトルツ＝チェザロの定理）
コーシーの平均値の定理
|| ロピタルの定理の証明で必要になるやつ
ラグランジュの平均値の定理を複雑にしたやつ。
「拡張平均値の定理」と呼ばれることもあります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}&=& && f^{\prime}(c) \\ \\ \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}&=&\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{\displaystyle\frac{g(b)-g(a)}{b-a}} &=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
この見た目で分かると思いますが
これがロピタルの定理を証明する上での核です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle g(a)&≠&g(b) \\ \\ g^{\prime}(x)&≠&0 \end{array}
ちなみにこの定理には
もちろんこの条件が付きます。
証明
まず前提の確認をしておくと
f(x),g(x) は区間 [a,b] で連続であり
区間 (a,b) 内で微分可能（一部切り取ると普通の線）
\begin{array}{llllll} \displaystyle g(b)-g(a)&≠&0 \\ \\ g^{\prime}(x)&≠&0 \end{array}
そして g(x) はこうなる、とします。
すると以下
「ラグランジュの平均値の定理」の証明と流れは同様で
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}&&←&&\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{array}
拡張平均値の定理の主張が
単に x を g(x) に置き換えているだけであることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)-\Bigl( f(a)+m(x-a) \Bigr) \end{array}
この都合の良い関数を
\begin{array}{llllll} \displaystyle x-a&&→&&g(x)-g(a) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle m&=&\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \end{array}
単純にこう書き換えて
証明に必要なものを全て揃えてしまえば
後は「ロルの定理」を適用すれば
この定理は証明することができてしまいます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle && f(x)-\Bigl(f(a)+ m(x-a) \Bigr) \\ \\ h(x)&=&f(x)-\Bigl(f(a)+ m \left( g(x)-g(a) \right) \Bigr) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle h(a)&=&h(b)&=&0 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle h^{\prime}(c)&=&0 \end{array}
ロルの定理の適用はここ
\begin{array}{llllll} \displaystyle h^{\prime}(x)&=&f^{\prime}(x)-mg^{\prime}(x) \end{array}
後は都合の良い関数のおかげでこうなるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle h^{\prime}(c)&=&f^{\prime}(c)-mg^{\prime}(c) \\ \\ &&f^{\prime}(c)-mg^{\prime}(c)&=&0 \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f^{\prime}(c)-mg^{\prime}(c)&=&0 \\ \\ f^{\prime}(c)&=&mg^{\prime}(c) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}&=&m&=&\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \end{array}
結果、定理の正しさが示される。
とまあこのように
平均値の定理と似たような流れで
簡単に証明は終わってしまいます。
「都合の良い関数」の導出については
「平均値の定理」の記事に詳細を載せています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle h(x)&=& f(x)-\Bigl(f(a)+ m(x-a) \Bigr) \end{array}
一応軽く説明しておくと
これは h(a)=h(b)=0 となるよう作られた関数で
\begin{array}{llllll} \displaystyle y-f(a)&=& m(x-a) \\ \\ y-f(b)&=& m(x-b) \end{array}
「 f(x) と a,b の２点で交わる直線」と
「 f(x) の差」をとってできたものになります。
（点 a,b で差は当然 0 になる）
ロピタルの定理の証明
大まかに２パターン
それぞれに分けて考えてみます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{0}{0}&&\displaystyle \frac{\infty}{\infty} \end{array}
まあ見た感じ
似たような内容になるとは思うんですが
\begin{array}{llllcl} \displaystyle f(x),g(x)&&→&&0 \\ \\ \displaystyle f(x),g(x)&&→&&\infty \end{array}
結果を固定しないと定理の前提が満たせないので
とりあえずこのように定めてから
それぞれ見ていくことにします。
f(x),g(x) が 0 になるパターン
「コーシーの平均値の定理」が分かっていれば
これはすんなり証明できます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)&=&0 \\ \\ \displaystyle \lim_{x\to a}g(x)&=&0 \end{array}
とりあえず前提を確認しておくと
f(x),g(x) は区間 [a-δ,a],[a,a+δ] 内で連続であり
区間 (a-δ,a),(a,a+δ) で微分可能です。
\begin{array}{llllll} g(x)&≠&0&&(a-δ,a),(a,a+δ) \\ \\ \displaystyle g^{\prime}(x)&≠&0 \end{array}
そして分母が 0 にならないよう
これもまたこうなる、としておきます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α \end{array}
そして最後
極限値 α は存在する、ともしておきます。
以上、前提はこんな感じ。
で次、この証明のゴールについてなんですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
関数の定義から f(a)=g(a)=0 であるため
\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} &=& \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} \end{array}
これが明らかであることから
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&<&c&<&a \end{array}
\begin{array}{rlrlrllll} \displaystyle \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} &=& \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \\ \\ \\ \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} &=& \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α \end{array}
最終着地がこうなることは容易に予想できます。
\begin{array}{rllllll} \displaystyle \displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}&=&α \\ \\ \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α \end{array}
となると、問題はここ。
ここに行き着くためには
\begin{array}{llllll} \displaystyle a\pm δ&&→&&a \\ \\ c&&→&&a \end{array}
このようになるよう
区間のとり方に工夫を加える必要があります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle && &&a&<&c&<&a+δ \\ \\ a-δ&<&c &<&a \end{array}
といっても、これはそう難しい話ではありません。
やり方や発想自体は至極単純です。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle && &&a&<&c&<&x \\ \\ x&<&c &<&a \end{array}
「コーシーの平均値の定理」から
c は必ずこの範囲にある。
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&<&c&<&a &&&& &&& x\to a ,&c\to a\\ \\ &&&&a&<&c&<&x &&& x\to a ,&c\to a \end{array}
ということはつまり
x を a に近付けて行けば
必然的に c もまた a に近い位置でとれてしまう。
とまあそう言えてしまうので
後は「コーシーの平均値の定理」から
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&<&c&<&a &&&& &&& x\to a ,&c\to a\\ \\ &&&&a&<&c&<&x &&& x\to a ,&c\to a \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} &=& \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \\ \\ &&&=&\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α \end{array}
この関係が成り立つと言えるため
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α&=&\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{array}
つまりこうなる、と言えます。
以上、証明終わり。
ちなみに x\to\infty の場合は
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&=&\displaystyle\frac{1}{t} \end{array}
\begin{array}{llcllll} \displaystyle x&\to&\infty \\ \\ t&\to& 0 \end{array}
変数を置き換えることで示すことができます。
（微分の計算がちょっと大変）
f(x),g(x) が \infty になるパターン
楽だから 0 になるパターンと同じように示したい
といきたいところですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)&=&\infty \\ \\ \displaystyle \lim_{x\to a}g(x)&=&\infty \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} &=& \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} \end{array}
これが不定形になるため使用は不可。
\begin{array}{llllll} \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} &=& \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
となるとこの等式が使えないため
同じように証明するのはどうも無理そうです。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
となると
別のやり方を考える必要があるわけですが
\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
現状、特に手掛かりはありません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \left| \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}-α \right|&<&ε \\ \\ \displaystyle \left| \displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}-α \right|&<&ε \end{array}
ただ、着地だけは見えています。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \left| \displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-α \right|&<&ε \end{array}
それに材料もそこそこ揃っています。
ただやはり、このままでは手詰まりです。
とっかかりがありません。
\begin{array}{llllll} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} &=& \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} \end{array}
なので初心に返り
この等式が成立しないかどうか考えてみます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
というわけでこの式の ← のやつに着目して
f(x) と g(x) を
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \end{array}
取り出したいのがこれなので
これを取り出しながら分母に追いやってみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} &=&\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\frac{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{f(x)}}{\displaystyle\frac{g(x)-g(a)}{g(x)}} \\ \\ &=&\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\frac{\displaystyle 1-\frac{f(a)}{f(x)}}{1-\displaystyle\frac{g(a)}{g(x)}} \end{array}
このような形に変形することができる。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)&=&\infty \\ \\ \displaystyle \lim_{x\to a}g(x)&=&\infty \end{array}
すると
後はこの \infty になる f(a),g(a) を排除すれば
問題になる項を無くすことができるので
\begin{array}{llllll} \displaystyle a&& &<&c &<&x \\ \\ a&<&a+δ &<&c &<&x \end{array}
「コーシーの平均値の定理」を適用する範囲を
このような「 a に届かない」形で定義し
f(a),g(a) が \infty に至らないようにしてみます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \\ \\ \displaystyle \frac{f(x)-f(a+δ)}{g(x)-g(a+δ)}&=&\displaystyle\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&&\to&&a \\ \\ c&&\to&&a \\ \\ a+δ&&\to&&a \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{f(x)-f(a+δ)}{g(x)-g(a+δ)} &=&\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\frac{\displaystyle 1-\frac{f(a+δ)}{f(x)}}{1-\displaystyle\frac{g(a+δ)}{g(x)}} \end{array}
すると式はこのようになり
この極限をとってみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\displaystyle 1-\frac{f(a+δ)}{f(x)}}{1-\displaystyle\frac{g(a+δ)}{g(x)}} &=&1 \end{array}
この部分がこの値に収束することが分かります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} &=&\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\frac{\displaystyle 1-\frac{f(a+δ)}{f(x)}}{1-\displaystyle\frac{g(a+δ)}{g(x)}} \\ \\ &=&\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a+δ)}{g(x)-g(a+δ)} \\ \\ &=&\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \end{array}
ということはつまり、こういうことです。
無理かと思っていましたが、なんかいけました。
\begin{array}{llllll} \displaystyle a&<&c&<&x \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle x&&\to&&a \\ \\ c&&\to&&a \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} &=&\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \\ \\ &&\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α \end{array}
で、ここまでくれば後は消化試合。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \\ \\ &=&\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=&α&=&\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} \end{array}
0 の時と同様の手順で
この関係を得ることができます。
以上、証明終わり