|| 集合が収束するかどうか考えるためのもの
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目次
集合「中身が分かってる袋みたいなもの」
極限「収束とか連続とかを定義するための概念」
和集合「要素を合わせる集合の足し算的なやつ」
積集合「共通の要素だけ抜き出す操作」
極限集合「集合列の最後のやつを求める操作」
上極限集合「一番大きいのを小さくしていく」
下極限集合「一番小さいのを大きくしていく」
集合 Set
|| 中身が分かる枠みたいなもの
「中身（要素）」を「まとめたもの」のこと
\begin{array}{ccc} \mathrm{element} &\in& \mathrm{Set} \\ \\ x &\in& S \end{array}
根本的には論理式で定義されています。
和集合 Union
「和集合」は「論理和」により
以下のように定義されています。
\begin{array}{ccc} x\in A∪B &&\equiv && (x\in A) ∨ (x\in B) \end{array}
そして「無限和」については
\begin{array}{ccc} \displaystyle x\in \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &&\equiv && \exists n\in N \,\, x\in A_n \end{array}
「存在量化」の定義から
このような形で定義されています。
（ x を持つ A_n が１つは存在する）
積集合 Intersection
「積集合（共通部分）」は「論理積」により
以下のように定義されています。
\begin{array}{ccc} x\in A∩B &&\equiv&& (x\in A) ∧ (x\in B) \end{array}
そして「無限積」については
\begin{array}{ccc} \displaystyle x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n &&\equiv && \forall n\in N \,\, x\in A_n \end{array}
「全称量化」の定義から
このような形で定義されています。
（全ての A_n の中に x は入ってる）
極限 Limit
|| 収束っていう概念を定義するやつ
「無限」をうまく定義するための考え方
\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{x\to c-0}f(x) &=& \displaystyle\lim_{x\to c}f(x) &=&\displaystyle\lim_{x\to c+0}f(x) \end{array}
「極限集合」という概念は
この考え方をベースに定義されています。
極限集合 Limit Set
|| 集合に極限の考え方を適用したやつ
「集合列」の「収束先」を定義する考え方
\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} A_n \end{array}
「上極限集合」「下極限集合」
\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \\ \\ \displaystyle \liminf_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m \end{array}
「これらが一致する時に定義される集合」のこと
上極限集合 Limit Superior Set
「集合列」で作れる「一番でかい集合」を
「小さくしていく」操作のこと
\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} A_n &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \end{array}
こんな感じに定義されていて
\begin{array}{ccccl} \displaystyle x \in \limsup_{n\to\infty} A_n &&\equiv && \displaystyle x \in \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \\ \\ &&\equiv && \displaystyle \forall n\in N \,\, \left( x\in \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \right) \\ \\ &&\equiv && \displaystyle \forall n\in N \,\, \exists m\in N \,\, \Bigl( x\in A_m ∧ (n≤m) \Bigr) \end{array}
論理式だとこんな風に定義されています。
定義の解説
初見だとほんとよくわかんない定義ですが
\begin{array}{ccc} A_1,A_2,..., A_n &&→&& A_{\infty} \end{array}
やってること自体は単純
\begin{array}{ccc} A_{\infty} &⊂& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ A_{\infty} &⊂& \displaystyle\bigcup_{n=2}^{\infty}A_n \\ \\ A_{\infty} &⊂& \displaystyle\bigcup_{n=3}^{\infty}A_n \\ \\ &\vdots \end{array}
「無限番目の集合」を含むよう
「集合列の全ての要素」を考えて
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m&=&\displaystyle \left( \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m \right)∩\left( \bigcup_{m=2}^{\infty} A_m \right) ∩\cdots \end{array}
「順番が早い集合」から
\begin{array}{ccc} \displaystyle \left( \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m \right)∩\left( \bigcup_{m=2}^{\infty} A_m \right)&=& \displaystyle \bigcup_{m=2}^{\infty} A_m \\ \\ \displaystyle \left( \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m \right)∩\left( \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \right)&=& \displaystyle \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \end{array}
「順番に要素を抜いてる」だけ。
根本的に
これは「収束先の集合 A_{\infty} に近付ける」ための
アプローチの１つに過ぎません。
下極限集合 Limit Inferior Set
「集合列」で作れる「一番小さい集合」を
「大きくしていく」操作のこと
\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} A_n &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m \end{array}
定義はこんな感じ。
\begin{array}{ccccl} \displaystyle x \in \liminf_{n\to\infty} A_n &&\equiv && \displaystyle x \in \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m \\ \\ &&\equiv && \displaystyle \exists n\in N \,\, \left( x\in \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m \right) \\ \\ &&\equiv && \displaystyle \exists n\in N \,\, \forall m\in N \,\, \Bigl( x\in A_m ∧ (n≤m) \Bigr) \end{array}
論理式はこうです。
定義の解説
これは「上極限集合」の逆ですね。
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n &⊂& A_{\infty} \\ \\ \displaystyle\bigcap_{n=2}^{\infty}A_n &⊂& A_{\infty} \\ \\ &\vdots \end{array}
「集合列」から作ることができる
「全ての集合 A_n より小さい集合」
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n &⊂& A_{n} \end{array}
これに対し
「順番が早い集合を考えない」ようにすれば
（ A_1 にだけ無いような要素が追加される）
\begin{array}{ccc} \displaystyle \left( \bigcap_{m=1}^{\infty} A_m \right) ∪ \left( \bigcap_{m=2}^{\infty} A_m \right) &=&\displaystyle\bigcap_{m=2}^{\infty} A_m \\ \\ \displaystyle \left( \bigcap_{m=1}^{\infty} A_m \right) ∪ \left( \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m \right) &=&\displaystyle\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m \end{array}
最終的に
「順番が遅い集合だけ考える」ことになるため
（無限番目付近の集合の共通部分だけになっていく）
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m&→&A_{\infty} \end{array}
これは「無限番目の集合 A_{\infty} 」へと
確かに近付いていくことになります。
極限集合の性質
↑ でした抽象的な話だと
なんかよく分からないかもしれないので
\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} A_n \end{array}
分かりやすく具体的な数値を使って
改めて、この「極限集合」について考えてみます。
収束する集合列
いろいろあるんですが
\begin{array}{ccc} \displaystyle \left\{\frac{1}{1} \right\}, \left\{\frac{1}{2} \right\}, \left\{ \frac{1}{3} \right\} ,\cdots , \left\{\frac{1}{n}\right\} ,\cdots \end{array}
例えば「点集合」で考えるなら
\begin{array}{lclcl} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} \left\{\frac{1}{m}\right\} &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left\{ \frac{1}{n},\frac{1}{n+1} ,\cdots \right\} &=&\{\} \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} \left\{\frac{1}{m}\right\} &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \{\} &=& \{\} \end{array}
「上極限」では「左から順に消えていく」し
「下極限」では明らかに「共通部分が無い」ので
\begin{array}{ccc}\displaystyle \left| \frac{1}{n} -0 \right|&<&ε \end{array}
「極限」だとこうですが
\begin{array}{ccc} \forall n\in N &\displaystyle 0 < \frac{1}{n} \end{array}
0 はあくまで「下限」
（自然数を 1 以上とすると）
\begin{array}{ccc}\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ \frac{1}{n} \right\} &=& \displaystyle \left\{ \frac{1}{n} \,\,\middle| \,\, n \in N \right\} \end{array}
「最小にはならない」ため
\begin{array}{ccc} 0 & \not\in & \displaystyle \left\{ \frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots \right\} \end{array}
この集合は「 0 を含みません」
同様に
今度は「区間」で考えてみると
\begin{array}{ccc} \displaystyle A_n&=& \displaystyle \left[ 0,1-\frac{1}{n} \right] \end{array}
例えばこれは
\begin{array}{ccc} \forall n\in N &\displaystyle 1-\frac{1}{n}<1 \end{array}
「上限」の存在より
\begin{array}{lclcl} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} \left[ 0,1-\frac{1}{m} \right] &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [0,1) &=&[0,1) \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} \left[ 0,1-\frac{1}{m} \right] &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ 0,1-\frac{1}{n} \right] &=& [0,1) \end{array}
こういう結果に行き着くので
「収束する」と言えます。
発散と極限集合
数値の「極限」であれば
「発散」は「収束」とは別の概念になりますが
\begin{array}{ccc} [0,n) &→&[0,\infty) \end{array}
例えばこのような
「片側が発散する区間」を考えた場合
\begin{array}{lclcl} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} [0,m) &=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [0,\infty) &=&[0,\infty) \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} [0,m) &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} [0,n) &=& [0,\infty) \end{array}
「集合」では
「無限集合」を定義できるため
\begin{array}{ccc} \displaystyle \lim_{n\to\infty} [0,n) &=&[0,\infty) \end{array}
「集合列」が「上限無しの単調増加列」であっても
「収束先の集合」は存在する可能性があります。
収束しない集合列
「収束しない」場合を調べるために
\begin{array}{ccc} \displaystyle\lim_{n\to\infty} [0,1+(-1)^n] &=&？ \end{array}
「発散」の場合はもう調べたので
今度は「振動」する場合について確認してみます。
直感的に分かるとは思いますが
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}[0,1+(-1)^m]&=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}[0,2] &=&[0,2] \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} [0,1+(-1)^m] &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} [0,0] &=&\{ 0 \} \end{array}
この場合「上極限」と「下極限」が一致しないので
これは「収束しない集合列」になります。
また他にも
\begin{array}{ccc} \{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\cdots \end{array}
\begin{array}{ccc} A_n &=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccl} \{0\} &&n\in \mathrm{odd} \\ \\ \{1\} &&n\in \mathrm{even} \end{array} \right. \end{array}
例えばこういった「集合列」も
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m&=&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \{0,1\} &=&\{0,1\} \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \{\} &=&\{ \} \end{array}
「収束しない集合列」です。
上極限集合と下極限集合の関係
「最大 → 小さく（上極限）」
「最小 → 大きく（下極限）」ですから
\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} A_n &⊂& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} A_n \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m &⊂& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m\end{array}
直感的に予想できる通り
実はこれらの関係はこのようになります。
包含関係の証明
これはわりと直感的です。
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n &⊂& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
というのも
「なんでも持つ」「和集合」の性質と
「全ての集合に共通する」「共通部分」の性質から
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n &⊂& A_N \\ \\ && A_M &⊂&\displaystyle\bigcup_{n=M}^{\infty}A_n \end{array}
こんな関係が得られるので
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m &⊂& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \end{array}
後は「極限集合」の定義に寄せれば
自然とこの結論に行き着きます。
収束先っぽい良い感じの集合
定義から導かれる単純な事実と
「極限集合」そのものを考えると
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n &⊂& A_{N+k} &⊂&\displaystyle\bigcup_{n=N+k}^{\infty}A_n \\ \\ \displaystyle\bigcap_{n=N+k}^{\infty}A_n &⊂& A_{N+k} &⊂&\displaystyle\bigcup_{n=N}^{\infty}A_n \end{array}
「遅い番号 N+k 」に合わせれば
こうなることは明らかだと言えるので
最大値 \max を使って ↑ を書き直せば
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n &⊂& A_{\max\{N,M\}} &⊂&\displaystyle\bigcup_{n=M}^{\infty}A_n \end{array}
このようになる A_{\max\{N,M\}} が常に存在する
という事実を導くことができます。
（この A_{\max\{N,M\}} の存在が証明の核）
上極限集合の構成
↑ のようになる集合 A_{\max\{N,M\}} の存在より
\begin{array}{ccc} A_1 &⊂&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ A_2 &⊂&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}
念のため確認しておくと
この部分はこんな感じになりますから
\begin{array}{ccc} \forall M & \displaystyle\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n ⊂ A_{\max\{N,M\}} ⊂\bigcup_{n=M}^{\infty}A_n \end{array}
「 M がなんであれ（厳密には順序数）」
これは成立すると言えるので
\begin{array}{ccc}\displaystyle \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)∩\left( \bigcup_{n=2}^{\infty}A_n \right) &=&\displaystyle\bigcup_{n=2}^{\infty}A_n \end{array}
「共通部分」の定義も一緒に考えると
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n &⊂& A_{\max\{N,M\}} &⊂&\displaystyle\bigcap_{M=1}^{\infty}\bigcup_{n=M}^{\infty}A_n \end{array}
結果として
こんな関係を導くことができます。
（この場合の A_{\max\{N,M\}} は上極限集合になる）
下極限集合の構成
上極限集合の話と同様
\begin{array}{ccc} \displaystyle\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)⊂\left( \bigcap_{n=2}^{\infty}A_n\right) &⊂&A_2 \\ \\ \displaystyle\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)∪\left( \bigcap_{n=2}^{\infty}A_n\right) &=&\displaystyle\bigcap_{n=2}^{\infty}A_n \end{array}
「共通部分」の性質を考えれば
\begin{array}{ccc} \exists N & \displaystyle\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n ⊂ A_{\max\{N,M\}} ⊂\displaystyle\bigcap_{M=1}^{\infty}\bigcup_{n=M}^{\infty}A_n \end{array}
これは明らかであることから
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n &⊂& A_{\max\{N,M\}} &⊂&\displaystyle\bigcap_{M=1}^{\infty}\bigcup_{n=M}^{\infty}A_n \end{array}
「 N がなんであれ」↑ は成立するので
こうなることは確かだと言えます。
証明まとめ
以上の話をまとめると
\begin{array}{rcccr} \displaystyle\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n &⊂& A_{\max\{N,M\}} &⊂&\displaystyle\bigcup_{n=M}^{\infty}A_n \\ \\ \displaystyle\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}A_n &⊂& A_{\max\{N,M\}} &⊂&\displaystyle\bigcap_{M=1}^{\infty}\bigcup_{n=M}^{\infty}A_n \end{array}
この「 A_{\max\{N,M\}} の存在」により
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m &⊂& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \\ \\ \displaystyle \liminf_{n\to\infty} A_n &⊂& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} A_n \end{array}
求めたいこの関係は正しいと言えるので
これで証明は終わりです。
極限集合が存在する
「数列」の話と同様
「単調増加列」の存在なんかを考えると
\begin{array}{ccc} \displaystyle \liminf_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \limsup_{n\to\infty} A_n \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m &=& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m\end{array}
実は「極限集合が存在する」
という結果を得ることができます。
単調増加列の場合
「集合列」が「単調増加列」だと
\begin{array}{ccc} A_1 ⊂ A_2 ⊂ A_3 ⊂ \cdots A_n ⊂ \cdots \end{array}
「数列の収束先」が最大の集合になるので
\begin{array}{ccc} \displaystyle\bigcup_{m=1}^{n} A_m&⊂&A_n \\ \\ \displaystyle\bigcup_{m=1}^{\infty} A_m&=&\displaystyle\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \end{array}
n がなんであれ
番号が最も大きい集合に統合されますから
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m &=& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=1}^{\infty} A_m \end{array}
これはこうなって
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=1}^{\infty} A_m &=& \displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m \end{array}
添え字 n は関係無いので
これもこうなりますから
\begin{array}{ccc} A_m⊂A_{m+1}⊂A_{m+2}⊂A_{m+3}⊂\cdots \end{array}
\begin{array}{ccc} \forall k & A_{m}⊂A_{m+k} \end{array}
\begin{array}{ccc} \displaystyle A_m&=&\displaystyle \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n \end{array}
後は「下極限集合」の定義に寄せるために
「単調増加列」の「共通部分」を考えれば
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m&=&\displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m&=&\displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n \end{array}
「上極限集合」と「下極限集合」が一致する
という結果が得られます。
単調減少列の場合
「集合列」が「単調減少列」の場合では
\begin{array}{ccc} A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 ⊃ \cdots A_n ⊃ \cdots \end{array}
\begin{array}{ccc} \forall k & A_n⊃A_{n+k} \\ \\ \forall k & x\in A_n ⇐ x \in A_{n+k} \end{array}
「添え字が最小になる集合」が
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m &=&A_n \end{array}
「全ての要素を持つ集合」で
「添え字が最も大きい集合」が
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{m} A_n &=& \displaystyle A_m \end{array}
「最も要素を持たない集合」ですから
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n &=& \displaystyle \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n \end{array}
「上極限集合」から辿ると
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m &=& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n &=& \displaystyle \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n \end{array}
これはこうなり
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n &=& \displaystyle \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n \end{array}
そもそもこうなるわけですから
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n&=&\displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=m}^{\infty} A_n \end{array}
「開始の添え字 m 」がなんであれこうなるので
\begin{array}{ccc}\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m &=& \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n &=&\displaystyle \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n&=&\displaystyle \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=m}^{\infty} A_n \end{array}
結果
「下極限」と「上極限」は一致します。
極限集合の役割
↑ の話の中でも
特に「収束する条件」は非常に重要で
\begin{array}{ccl} A_1 ⊂ A_2 ⊂ \cdots A_n ⊂ \cdots &&\forall k \,\, x\in A_n ⇒ x\in A_{n+k} \\ \\ A_1 ⊃ A_2 ⊃ \cdots A_n ⊃ \cdots &&\forall k \,\, x\in A_n ⇐ x\in A_{n+k} \end{array}
分かりやすいところだと
これは「単調族定理」なんかの発想に繋がり
\begin{array}{ccc} \displaystyle \limsup_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \lim_{n\to\infty} A_n &=& \displaystyle \liminf_{n\to\infty} A_n \end{array}
「無限個の集合列」が与えられた時の
「収束先の存在」を考える時に役立ったりします。
（極限集合自体がかなり定義に近い概念であるため）