|| 数学の基礎になるもの
哲学における論理学の数学バージョンと考えて良いと思います。
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より厳密には、
論理学を「真偽の判定が可能なものだけ」で構成したもの
という感じでしょうか。
具体的な中身については、
基本的には「4つ」の領域に分かれていて、
「基礎（材料）付け」である『集合論』
「基礎から新しいものを組み立てる手順」である『証明論』
「基礎だと判定する基準」である『モデル理論』
「人に扱えるか」どうかを扱う『再帰理論』
それらを「記述」するための
『一階述語論理』を加えて、
「集合論」「証明論」
「モデル理論」「再帰理論」
「一階述語論理」
大まかに「５つ」の分野で分けられています。
余談ですが、
「多値論理」なども、
「真か偽」もしくは「他」という風に分ければ、
「分かる」「分からない」にできるので、
この数理論理学に含まれています。
集合論
これは数学の「基礎」付けです。
あらゆる数学の概念は、これを元に説明されます。
レゴブロックの「ブロックのようなもの」だ
と考えておけば、まあだいたいそんな感じです。
証明論
これは読んで字の如しで、
主に「証明」に関して扱う分野です。
「正しいもの」から「正しいもの」を導く
という、『論証』の過程を厳密に扱う領域になります。
主に「推論規則」に関することを扱う分野で、
証明のやり方とか、やっていいこととか、
そういうのを厳密に定めてますね。
レゴブロックの例えに倣うなら、
ブロック同士の「やっていい繋ぎ方」みたいな、
そんな感じでしょうか。
モデル理論
ここでは主に「意味の解釈」を扱います。
まあ要は『曖昧な部分を排除する』考え方で、
『意味』を厳密に取り扱って、
「正しい」か「間違っている」かを
『確実に』分かるようにする
とまあそんなことをします。
で、肝心な『モデル』なんですが、
これがなにをするかというと、
「正しさを示す値」である
『妥当な真理値（真偽を示す値）』というのを、
ある「文（なにかを主張する記号の列）に与える」
とまあこういうことをする感じで、
この『モデル』が創られた結果として、
「曖昧な意味を持つものが見つからない」状態に。
結果として、
例えば「W を押すと前へ進む」
みたいな「文」に『正しい』っていう保証を与えます。
再帰理論
この領域では、主に「人間に扱えるか」
みたいな、そんな感じのこと扱います。
まあ要は「有限」とかを扱う感じで、
「その範囲に収まるかどうか」みたいな
なんか、そんな感じ。
具体的には、
例えば『こうすれば無限じゃなくなる』とか
『こうすれば現実的な範囲に収まる』とか
まあなんかそういうのを扱う感じで、
だいたい「帰納・再帰」って考え方で説明されるので、
そこから「再帰」って言葉が来てます。
他にも「計算可能性理論」なんて呼ばれることもあって、
こっちは主に「チューリングマシン」なんかの、
『用途』の面が強調されてる感じですね。
まああれです。この分野は、レゴの例えなら、
有限個のブロックで目的のものが創れるか
みたいな、まあなんかそういう話をしてる感じ。
最後、これらを記述する「言語」について解説していきます。
「一階述語論理」ってやつなんですけど、詳細は別の記事に。
この記事ではざっくりとしか解説しません。
言語の分野
『数学を記述する言語』には、
『命題論理』『述語論理』ってやつがあります。
命題論理は「言語の基礎」
述語論理は「命題論理を拡張したもの」
とまあざっくりとはそんな感じで、
数学は全て、この言語によって記述されています。
具体的には
「かつ・And」とか「または・or」とか
「ならば・if-then」「ではない・not」とか
後は「全て」とか「ある」とか
なんかそういうのを扱う感じで、
これらの「記号」と「真偽が分かる文（主張）」から
「論理式」ってやつを作ったりします。
んで、それで「証明」とかを構成して
『確実に正しいことを保証する』
とまあ、これはそういう感じに使われて、
『数学的な主張の根本的な保証』として、
この「言語」は決まった操作を提供するんですね。
まあ要はあれです。
日本語でいうところの「五十音」的な
なんかそういうのがこれ。
以上、ざっくりとはこんな感じですね。
どれも『人間の感覚』に根差したものなので、
一度でも理解してしまえば、用語は忘れても感覚は残ると思います。