|| 広くしても OK みたいな意味の定理
「測度」「測度空間」を変更しても良い根拠
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目次
カラテオドリの拡張定理「外測度に入れ替えて良い根拠」
σ-有限「普通の測度が持ってる性質」
ホップの拡張定理「有限加法的測度でのパターン」
集合環「無限を考えたくない時の有限加法族」
σ-集合環「集合環の縛りを有限和から無限和にしたやつ」
ジョルダン測度「測度の雛型（発想の出発点）」
カラテオドリの外測度「ルベーグ外測度を含むより広いやつ」
カラテオドリの可測条件「使いやすい可測の条件」
カラテオドリの基本定理「カラテオドリ外測度と完全加法族」
カラテオドリの拡張定理 Carathéodory
|| ルベーグ外測度の存在を証明できたりする定理
「カラテオドリ外測度」に変更して良い根拠
\begin{array}{ccc} \displaystyle X & \mathrm{Ring} & μ \\ \\ &↓&↓ \\ \\ X & σ(\mathrm{Ring}) & μ^* \end{array}
↓ みたいな「測度 μ^* が存在する」
\begin{array}{llllll} \mathrm{Ring}⊂σ(\mathrm{Ring}) &&→&&μ=μ^*|_{\mathrm{Ring}} \end{array}
\begin{array}{cc} \forall A\in \mathrm{Ring} & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
その上で
「 μ が σ-有限」なら
\begin{array}{c} μ \,\, \mathrm{is} \,\, σ\text{-}\mathrm{finite} \\ \\ ↓ \\ \\ \forall A\in σ(\mathrm{Ring}) \,\,\, μ(A)=μ^*(A) \end{array}
「拡張 μ^* 」は「一意に定まる」
これがこの定理の主張で
これを成立させる前提として
\begin{array}{llllll} μ \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{pre}\text{-}\mathrm{Measure} \end{array}
「集合環 \mathrm{Ring} 」上の
「前測度 μ 」が定義されています。
（全体 X を含む集合環は集合体になる）
この記事では触れない部分
この辺りの詳しい話は長くなるので省略します。
この定理の役割
「外測度の存在」を保証する
これがこの定理の持つ役割になります。
（必要になる知識が多いので初見じゃ難解過ぎる）
\begin{array}{ccc} \displaystyle \mathrm{Outer}&\mathrm{Generalize}&\mathrm{Outer} \\ \\ \mathrm{Lebesgue}&→&\mathrm{Carathéodory} \end{array}
そもそもの話
「ルベーグ外測度」を一般化した形が
「カラテオドリ外測度」です。
なので当然の帰結として
「拡張（カラテオドリ外測度）の存在」が保証されれば
「ルベーグ外測度の存在」もまた示されたことになります。
ただこれについては
認識としては後付けというか
より正確に言うなら
「ルベーグ外測度」上で
「可測な集合の集まり L_{μ^*} 」が
\begin{array}{ccccc} (X,L_{μ^*},μ^*)&&→&& (X,σ,μ^*) \end{array}
「完全加法族 σ になる」ことから
「ルベーグ外測度の存在」は直感的には明らかで
これを実現する前提を見つける形で
この定理は導かれています。
（つまり前提は後付け）
拡張 Extension
|| 範囲を大きくする感じ
「制限」とは逆の感覚の操作
（制限されたもの → 元は広い）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Field}&⊂&σ(\mathrm{Field}) \\ \\ A_{\mathrm{part}}&⊂&A \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle f&:&A&→&B \\ \\ f|_{A_{\mathrm{part}}}&:&A_{\mathrm{part}}&→&B_{\mathrm{part}} \end{array}
この「制限 f|_{A_{\mathrm{part}}} 」操作の逆
つまり「制限前の関数 f 」が「拡張」になります。
（測度論では測度 μ^* のことを指す）
\begin{array}{cccccccccc} \displaystyle f_{\mathrm{small}}=f_{\mathrm{wide}}|_{A_{\mathrm{small}}}&←&f_{\mathrm{wide}} &&\mathrm{Restriction} \\ \\ f_{\mathrm{small}}=f_{\mathrm{wide}}|_{A_{\mathrm{small}}}&→&f_{\mathrm{wide}} &&\mathrm{Extension} \end{array}
この記事で使ってる「拡張」もこの意味で
\begin{array}{llllll} \mathrm{Ring}⊂σ(\mathrm{Ring})&&→&&μ=μ^*|_{\mathrm{Ring}} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ&→&μ^* \end{array}
\begin{array}{ccc} & μ(A)=μ^*|_{\mathrm{Ring}}(A) \\ \\ \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
主に「ジョルダン測度」→「ルベーグ測度」のような
「測度の入れ替え」を厳密に定義する時に使われます。
（というかこれがあるから「拡張」が定義された）
具体的な感じ
この「拡張」という概念自体は
\begin{array}{ccccccl} 0&<&x^2&<&\infty &&R \\ \\ &&↓ \\ \\ -\infty&<&x^2&<&\infty &&R∪iR \end{array}
「範囲」だとこんな感じで
\begin{array}{ccccccc} 0&<&μ&<&\infty &&\mathrm{Field} \\ \\ &&↓ \\ \\ 0&<&μ^*&<&\infty &&σ(\mathrm{Field}) \end{array}
「測度」だとこんな感じの話なので
そこまでややこしいものではありません。
σ-有限 sigma-finite
|| 一般性を損なわない程度の緩い条件
『測度の一意性を保証できる条件』のこと
\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{non} & σ\text{-}\mathrm{finite} \\ \\ 〇& × & \begin{array}{c} \mathrm{Only} \,\, 0 \,\, \mathrm{or} \,\, \infty \end{array} \end{array}
根本的には
「無限じゃないもの」の存在を保証する
という感じの条件になります。
\begin{array}{llllll} \displaystyle (X,σ_X,μ) \,\, \mathrm{is} \,\, \mathrm{Measure \,\, Space} \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle (R,\mathrm{Borel}(R),μ_{\mathrm{Lebesgue}})&&\to&& \displaystyle\bigcup_{n∈N}[-n,n]=R \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{Lebesgue}}([-n,n])=2n&<&\infty \end{array}
「測度」と「測度空間」に定義される概念で
（測度空間は完全加法性が保証されてる）
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...&∈&σ \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle \forall n∈N &μ(A_n)<\infty \end{array}
↑ の条件を満たす時
その「測度・測度空間は σ-有限である」と言います。
（長くなるので詳細は別の記事で）
有限加法族 Finitely Additive Class
|| 完全加法族の条件を緩めたやつ
「無限回の加法」については条件に入ってないやつ
\begin{array}{rcr} && ∅\in F \\ \\ A\in F &→& A^c∈F \\ \\ A,B∈F &→& A∪B\in F \end{array}
「完全加法族」を理解していれば
この条件の感覚は理解できると思います。
（この時点では測度は未定義）
ちなみに
こいつはあまりにも抽象的過ぎる割に
けっこういろいろな性質を持つので
\begin{array}{llllll} \displaystyle A∪B&∈&F \\ \\ A∩B&∈&F \end{array}
「集合体 \mathrm{field \,\, of \,\, sets} 」
「集合代数 \mathrm{algebra \,\, of \,\, sets} 」
というような
複数の名前と役割が与えられています。
（集合体の「体」は代数学の「体 \mathrm{Field} 」です）
集合環 Ring
|| 有限加法族より緩い条件のやつ
「全体 X 」の帰属を強制しない集合体のこと
（区間塊がこれに当たります）
\begin{array}{rcr} \displaystyle && ∅ ≠ \mathrm{Ring} \\ \\ A,B\in \mathrm{Ring} &→& A\setminus B∈\mathrm{Ring} \\ \\ A,B∈\mathrm{Ring} &→& A∪B\in \mathrm{Ring} \end{array}
「有限加法族」との違いは
「全体（無限を返すことが多い）」を含むかどうかで
\begin{array}{llllll} \left( \begin{array}{rcccr} && ∅\in F \\ \\ A\in F &→& A^c∈F \end{array} \right) &&→&& ∅^c \in F\end{array}
「全体 X 」を含む場合
\begin{array}{llllll} \left( \begin{array}{rcr} ∅ ≠ \mathrm{Ring}&→& A \in \mathrm{Ring} \\ \\ A,B\in \mathrm{Ring} &→& A\setminus B∈\mathrm{Ring} \\ \\ X \in \mathrm{Ring} \end{array} \right) &&→&& X\setminus A∈\mathrm{Ring} \end{array}
\begin{array}{ccc} A^c &=& X\setminus A \end{array}
「補集合 A^c 」を定義できてしまうので
「集合環」は「有限加法族」になります。
σ-集合環 sigma-Ring
|| 無限和も全て含む集合環
「全体（無限）」を考えない時の「完全加法族」
\begin{array}{rcr} \displaystyle && ∅ ≠ σ(\mathrm{Ring}) \\ \\ A,B\in σ(\mathrm{Ring}) &→& A\setminus B∈σ(\mathrm{Ring}) \\ \\ A_1,A_2,A_3,...∈σ(\mathrm{Ring}) &→& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in σ(\mathrm{Ring}) \end{array}
「集合環」の「有限和」の縛りを
「無限和」にして強くしたやつ
「カラテオドリの拡張定理」では
「測度 μ^* 」はこの上で定義されてます。
（無限区間を考えなくて良いパターンではこっち）
前測度 Pre-Measure
|| めちゃくちゃ抽象化された測度の名前
「測度っぽいやつ」のこと
\begin{array}{ccccc} ？ &&&& 〇 \\ \\ \displaystyle μ &&→&&(X,σ_X,μ^*) \end{array}
「集合半環 \mathrm{semiRing} 」という
非常に抽象的な集合の上で定義されています。
（集合環 \mathrm{Ring} や集合体 \mathrm{Field} で定義しても良い）
\begin{array}{ccccccccccccc} \mathrm{semiRing}&⊂&\mathrm{Ring} \\ \\ && \mathrm{Ring} &⊂& σ(\mathrm{Ring}) &⊂&σ(\mathrm{Field}) \\ \\ && \mathrm{Ring} &⊂& \mathrm{Field} &⊂&σ(\mathrm{Field}) \end{array}
「測度空間」上で定義されていないので
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{pre}}&:& \mathrm{Ring} &→&[0,\infty] \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{pre}}(∅)&=&0 \end{array}
\begin{array}{ccccccc} \begin{array}{ccc} i≠j ⇒ A_i∩A_j=∅ \\ \\ A_1,A_2,...,A_n,... \in \mathrm{Ring} \\ \\ \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in \mathrm{Ring} \end{array}&→&\displaystyle μ_{\mathrm{pre}}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{pre}}(A_n) \end{array}
定義の形自体は「測度」と同じなんですが
厳密には「測度」とは異なる概念になります。
（長くなるのでこれも詳細は別の記事で）
カラテオドリの外測度 Outer Measure
|| ルベーグ外測度を一般化したやつ
「ルベーグ外測度 μ^* 」も満たしている
「すごく広い範囲」をカバーできる「測度」の条件
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{\mathrm{part}}⊂A &&→&&μ^*(A_{\mathrm{part}})≤μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
かなり条件が緩いので
「カラテオドリの外測度」は
そのまま「外測度」と呼ばれることがあります。
念のため補足しておくと
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
「互いに素 \mathrm{disjoint} 」の場合にこうなるという
「完全加法性」についてはまた別の話になります。
（ヴィタリ集合では完全加法性が成立しない）
カラテオドリの可測条件 Measurable
|| 使いやすい可測の条件
「可測」であることを表す条件の１つ
（ S は全体 X の任意の部分集合で A の判定を行う）
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*(S)&=&μ^*(S∩A)+μ^*(S∩A^c) \end{array}
初見じゃよく分からんと思いますが
\begin{array}{ccl} \displaystyle \mathrm{Inner} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) =\textcolor{steelblue}{μ_*}(A) \\ \\ \mathrm{Measurable} &→&\textcolor{steelblue}{μ_*}(A)\textcolor{pink}{=}μ^*(A) \\ \\ \\ \mathrm{General} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) \textcolor{pink}{≤}μ^*(A) \\ \\ \mathrm{Measurable} &→&μ^*(S)-μ^*(A^c∩S) \textcolor{pink}{=}μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle S⊃A &&→&& S∩A=A \end{array}
「ルベーグ内測度 \textcolor{steelblue}{μ_*} 」を深堀していくと導かれる関係
その１つでしかないのでそう難しく考えなくて良いです。
（導出の流れは別の記事で）
カラテオドリ拡張定理の証明
この定理の主張は
「ジョルダン可測な図形（集合）」は
「ルベーグ可測な図形（集合）」でもある
\begin{array}{ccc} \mathrm{semiRing} &⊂& σ(\mathrm{Ring}) \end{array}
というような感じの話なので
根本的には「可測集合」の話が由来になっていて
\begin{array}{ccc} \displaystyle \mathrm{Outer}&\mathrm{Generalize}&\mathrm{Outer} \\ \\ \mathrm{Lebesgue}&→&\mathrm{Carathéodory} \end{array}
基本「ルベーグ測度」の話をしてるだけなので
「ルベーグ外測度」「可測集合」が分かれば
直感的に正しいことはすぐに分かると思います。
基本集合の拡張
「集合半環 \mathrm{semiRing} 」である
「区間（基本集合）」の話として
この定理を考えると
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Interval}_{\mathrm{unit}}&=&\{ [a,b)⊂R \mid -\infty< a≤b <\infty \} \end{array}
「区間の長さ μ 」の「拡張」として
「区間塊の長さ」や「ジョルダン測度」
「ルベーグ外測度 μ^* 」なんかが考えられて
\begin{array}{ccc} A&⊂&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \\ \\ μ^*(A) &=&\displaystyle \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(I_n) \right\} \end{array}
その中でも
特に「ルベーグ外測度」は
「カラテオドリの基本定理」より
\begin{array}{rcr} && ∅ \in L_{μ^*} \\ \\ A \in L_{μ^*}&→& A^c \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
「 μ^* の可測集合全体 L_{μ^*} 」が
「完全加法族 σ 」になる上に
\begin{array}{lll} μ \Bigl( [a,b) \Bigr) &=&b-a \\ \\ μ^* \Bigl( [a,b) \Bigr) &=&b-a \end{array}
\begin{array}{llllll} \mathrm{Interval}_{\mathrm{unit}}&⊂&L_{μ^*} \end{array}
「区間の長さ μ 」で測れる「区間」は
「ルベーグ外測度上で可測な集合」になることから
\begin{array}{ccc} \forall I∈\mathrm{Interval}_{\mathrm{unit}} & μ(I)=μ^*(I) \end{array}
「ルベーグ外測度 μ^* 」は
「区間の長さ μ 」の「拡張」である
と言えるので
これにより
「区間の長さ μ 」の「拡張」として
「ルベーグ外測度 μ^* の存在」が示されることになります。
証明
この定理の主張は
要するに ↑ みたいな話で
\begin{array}{ccc} \displaystyle X & \mathrm{Ring} & μ \\ \\ &↓&↓ \\ \\ X & σ(\mathrm{Ring}) & μ^* \end{array}
これに加えて
「σ-有限」を考える時
「拡張 μ^* は一意に定まる」
\begin{array}{cl} \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ^*(A)=μ^*_a(A) \\ \\ \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ^*(A)=μ^*_b(A) \\ \\ \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ^*(A)=μ^*_c(A) \\ \\ &\vdots \end{array}
つまりこうなると主張しています。
ちなみに「一意に定まる」というのは
「拡張だと言えるもの」は
「全て同じ」だという意味です。
前提
「集合 X （実数全体など）」の
「部分集合の集まり」
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ring}&⊂&2^X \end{array}
その１つを「集合環 \mathrm{Ring} 」とし
\begin{array}{rcr} \displaystyle && ∅ ≠ \mathrm{Ring} \\ \\ A,B\in \mathrm{Ring} &→& A\setminus B∈\mathrm{Ring} \\ \\ A,B∈\mathrm{Ring} &→& A∪B\in \mathrm{Ring} \end{array}
「その集合環上で定義された μ 」を
「前測度」とする
\begin{array}{llllll} μ&:& \mathrm{Ring} &→&[0,\infty] \end{array}
\begin{array}{llllll} μ(∅)&=&0 \end{array}
\begin{array}{ccccccc} \begin{array}{ccc} i≠j ⇒ A_i∩A_j=∅ \\ \\ A_1,A_2,...,A_n,... \in \mathrm{Ring} \\ \\ \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in \mathrm{Ring} \end{array}&→&\displaystyle μ_{\mathrm{pre}}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) =\sum_{n=1}^{\infty}μ_{\mathrm{pre}}(A_n) \end{array}
「無限集合を特に考えていない」場合の
「区間塊の長さ」や「ジョルダン測度」
これらの抽象概念が「前測度」になります。
外測度はまだ特に定めない
またこれに加えて
「拡張」として定義できるかもしれない
\begin{array}{ccc} \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
この条件を満たすだろう「集合関数 μ^* 」は
「σ-集合環 σ(\mathrm{Ring}) 」上のものとします。
補足しておくと
結論の先取りになりますが
この「集合関数 μ^* 」に期待される性質が ↓ になります。
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle B⊂A &&→&&μ^*(B)≤μ^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
抽象的でややこしいですが
つまりこれは「ルベーグ外測度」のことです。
結論
「前測度 μ 」の「拡張 μ^* 」が存在し
\begin{array}{ccc}\forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
また「前測度 μ 」が「σ-有限」であれば
\begin{array}{ccc} \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ^*_a(A)=μ^*_b(A) \end{array}
「拡張 μ^* 」は「一意に定まる」
抽象的で分かりにくいですが
要は「ルベーグ測度が１個だけある」って話なので
そんな難しく考えなくて良いです。
前測度の拡張が存在する
話の内容としては
「ホップの拡張定理」と同様で
\begin{array}{lcl} μ_{\mathrm{Lebesgue}}(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{base}}(I_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n \right\} \\ \\ &↓ \\ \\ μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
まず「外測度の存在」を確認して
\begin{array}{ccl} μ^*(S) &=& μ^*(S∩∅)+μ^*(S∩∅) \\ \\ μ^*(S)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( S∩(A\setminus B) \Bigr) + μ^*\Bigl( S∩(A\setminus B)^c \Bigr) \\ \\ μ^*(S)&=&\displaystyle μ^* \left( S∩ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \right) + μ^* \left( S∩ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right)^c \right) \end{array}
それが「拡張であるかどうか」の確認を行います。
\begin{array}{rcr} A\in \mathrm{Ring} &→&A\in L_{μ^*} \\ \\ \mathrm{Ring} &⊂& L_{μ^*} \end{array}
\begin{array}{cc} \forall A\in \mathrm{Ring} & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
すると
「条件を満たす外測度の存在」が示されるので
\begin{array}{ccc} X,\mathrm{Ring}, μ &&→&& (X,σ(\mathrm{Ring}),μ^*) \end{array}
結果として
「前測度 μ 」の「拡張 μ^* の存在」
という結論を得ることができます。
都合の良さそうな外測度は存在するのか
「ホップの拡張定理」の内容とほぼ同じなので
\begin{array}{ccc} μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
同じ部分は簡単に終わらせます。
（ ↑ の形はこの時点では予想です）
定義域と終域
これはそのまま
「前測度 μ 」の定義から
\begin{array}{c} \displaystyle μ(∅)=0 \\ \\ 0≤μ(A)≤\infty \end{array}
これを満たす「集合 A の存在」は明らかなので
\begin{array}{ccc} A&⊂&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right\} \end{array}
「外測度」の定義から
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
この結果はすぐに得ることができます。
単調性
これは少しだけ大変ですが
\begin{array}{rcr} \displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} &\textcolor{pink}{⊃}&\displaystyle \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \\ \\ \displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} &\textcolor{pink}{≤}&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
「下限」と「部分集合」の関係に気を付ければ
（小さい集合を囲めないやつがある）
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^*\left( A \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \\ \\ μ^*\left( B \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}μ(A_n) \, \middle| \, B⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
\begin{array}{ccc} A&⊂&B \\ \\ \displaystyle μ^*\left( A \right) &≤&\displaystyle μ^*\left( B \right) \end{array}
すぐにこうなると分かります。
劣加法性
これもちょっと大変ですが
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \left( \bigcup_{m=1}^{\infty}A_m \right) &<&\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl( μ^*(A_m) + \frac{ε}{2^m} \Bigr) \end{array}
この関係式の形成過程さえ理解できれば
特に難しい部分はありません。
（詳細は外測度の記事で）
この外測度は測度になるのか
以上のことから
μ^* が「外測度である」ことは分かりました。
\begin{array}{ccc} (X,L_{μ^*},μ^*) \end{array}
しかし「拡張である」ためには
「測度である」必要があります。
（厳密には一意であるために測度である必要がある）
なのでそれを確認するために
「外測度 μ^* 」上で「可測な集合全体 L_{μ^*} 」を考えて
\begin{array}{llllll} L_{μ^*}&=&\{ A∈2^X \mid A \,\, \mathrm{is} \,\, μ^*\text{-}\mathrm{Measurable} \} \\ \\ &=&\{ A⊂X \mid A \,\, \mathrm{is} \,\, μ^*\text{-}\mathrm{Measurable} \} \end{array}
これが「測度」の条件にある
「完全加法族を成すのか」
きちんと確認しなければなりません。
可測集合全体は完全加法族になる
この結果は
\begin{array}{rcr} && ∅ \in L_{μ^*} \\ \\ A \in L_{μ^*}&→& A^c \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
「カラテオドリの基本定理」の話になるので
\begin{array}{ccl} μ^*(S) &=& μ^*(S∩∅)+μ^*(S∩∅) \\ \\ μ^*(S)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( S∩A \Bigr) + μ^*\Bigl( S∩(A^c)^c \Bigr) \\ \\ μ^*(S)&=&\displaystyle μ^* \left( S∩ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \right) + μ^* \left( S∩ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right)^c \right) \end{array}
この記事では省略します。
可測集合全体は σ-集合環になる
「カラテオドリの基本定理」の結果から
\begin{array}{ccl} μ^*(S) &≥& μ^*(S∩∅)+μ^*(S∩∅) \\ \\ μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^* \left( S∩ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \right) + μ^* \left( S∩ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right)^c \right) \\ \\ μ^*(S)&≥&\displaystyle μ^* \Bigl( S∩ \left( A∪B \right) \Bigr) + μ^* \Bigl( S∩ \left( A∪B \right)^c \Bigr) \end{array}
「和集合」については明らかなので
\begin{array}{ccl} μ^*(S)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( S∩(A\setminus B) \Bigr) + μ^*\Bigl( S∩(A\setminus B)^c \Bigr) \end{array}
ここでは「差集合」について考えていきます。
必要になる材料は「共通部分」
\begin{array}{lcl} (A^c∪B^c)^c&=&(A∩B) \\ \\ (A^c∪B^c) &=& (A∩B)^c \end{array}
\begin{array}{ccl} μ^*(S)&=&\displaystyle μ^* \Bigl( S∩ \left( A^c∪B^c \right) \Bigr) + μ^* \Bigl( S∩ \left( A^c∪B^c \right)^c \Bigr) \\ \\ &=&\displaystyle μ^* \Bigl( S∩ \left( A∩B \right)^c \Bigr) + μ^* \Bigl( S∩ \left( A∩B \right) \Bigr) \end{array}
この結果と
\begin{array}{ccc} μ^*(S)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( S∩A^c \Bigr) + μ^*\Bigl( S∩(A^c)^c \Bigr) \end{array}
「補集合」が「可測集合」であることから
\begin{array}{ccc} A\setminus B&=&A∩B^c \end{array}
「差集合」もまた
「可測集合」になると言えるので
（差集合は補集合が無くても定義できる）
\begin{array}{ccl} μ^*(S) &=& μ^*(S∩∅)+μ^*(S∩∅) \\ \\ μ^*(S)&=&\displaystyle μ^*\Bigl( S∩(A\setminus B) \Bigr) + μ^*\Bigl( S∩(A\setminus B)^c \Bigr) \\ \\ μ^*(S)&=&\displaystyle μ^* \left( S∩ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \right) + μ^* \left( S∩ \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right)^c \right) \end{array}
μ^* 上の「可測集合全体 L_{μ^*} 」は
\begin{array}{rcr} && ∅ ≠ L_{μ^*} \\ \\ A,B \in L_{μ^*}&→& A\setminus B \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
「σ-集合環になる」と言えます。
（完全加法族と違い補集合が強制ではない）
まとめ
以上の結果より
\begin{array}{ccc} μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \,\, \middle| \,\, A⊂\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right\} \end{array}
この「良い感じに定めた集合関数 μ^* 」は
\begin{array}{c} \displaystyle μ^*(∅)=0 \\ \\ 0≤μ^*(A)≤\infty \end{array}
\begin{array}{ccc} A&⊂&B \\ \\ \displaystyle μ^*\left( A \right) &≤&\displaystyle μ^*\left( B \right) \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ^* \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ^*(A_n) \end{array}
「外測度である」と言えて
\begin{array}{rcr} && ∅ ≠ L_{μ^*} \\ \\ A,B \in L_{μ^*}&→& A\setminus B \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
「可測集合全体 L_{μ^*} 」は
「σ-集合環 σ(\mathrm{Ring}) 」になるので
(X,σ(\mathrm{Ring}),μ^*)
「σ-集合環」上の「測度」である
つまり「外測度 μ^* が存在する」
という結論を得ることができます。
都合の良さそうな外測度は拡張であるか
以上が前段で
本題はこちらなんですが
\begin{array}{c} \mathrm{Ring}&⊂&L_{μ^*} \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
これもほとんど「ホップの拡張定理」と同様です。
「前測度 μ 」で測れる集合 A_n が
「外測度 μ^* 」上でも可測であること
\begin{array}{lcr} \displaystyle μ^*(S)&=&\displaystyle \inf \left(\sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right) \\ \\ μ^*(S)&≤&\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right) \end{array}
「前測度」の出力結果と
「外測度」の出力結果が一致すること
\begin{array}{llllll} \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
これを確認するだけで
「前測度の拡張の存在」を証明することができます。
前測度で測れるものは μ^*-可測
そもそもの話
\begin{array}{ccccc} A &\in & L_{μ^*} &⊂& 2^X \\ \\ A &\in & \mathrm{Ring} &⊂& 2^X \end{array}
この「前測度で測れる集合 A 」は
「全体 X の部分集合」で
\begin{array}{rcr} && ∅ ≠ \mathrm{Ring} \\ \\ A,B\in \mathrm{Ring} &→& A\setminus B∈\mathrm{Ring} \\ \\ A,B∈\mathrm{Ring} &→& A∪B\in \mathrm{Ring} \end{array}
その「部分集合の集まり」は
「集合環 \mathrm{Ring} 」で定義されています。
ということは
\begin{array}{rcr} && ∅ ≠ L_{μ^*} \\ \\ A,B \in L_{μ^*}&→& A\setminus B \in L_{μ^*} \\ \\ A_1,A_2,A_3,... \in L_{μ^*} &→& \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in L_{μ^*} \end{array}
「外測度 μ^* 上可測な集合全体 L_{μ^*} 」が
「σ-集合環 σ(\mathrm{Ring}) 」になる以上
\begin{array}{ccccc} \mathrm{Ring}&⊂&σ(\mathrm{Ring}) \\ \\ &&σ(\mathrm{Ring}) &⊂&L_{μ^*} \end{array}
その中身の関係は確実にこうなるので
（どの A を選んでもこうなる）
\begin{array}{ccc} \mathrm{Ring}&⊂&L_{μ^*} \end{array}
「拡張である」ための
この１つ目の条件は明らかに満たされます。
前測度の結果は外測度の結果と一致する
「拡張である」ための条件である
\begin{array}{llllll} \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ^*(A) \end{array}
これについては
\begin{array}{llllll}\mathrm{disjoint} &&→&& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n \right) &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right) \end{array}
「前測度」の「完全加法性」と
\begin{array}{ccc} A&⊂&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right\} \end{array}
「外測度の定義」から
\begin{array}{ccc} \forall A \in \mathrm{Ring} & μ(A)≤μ^*(A)≤μ(A) \\ \\ & ↓ \\ \\ \forall A \in \mathrm{Ring} & μ^*(A)=μ(A) \end{array}
この結果を得ることによって示されます。
集合環上の話なので良い感じにできる
欲しい結論から
\begin{array}{ccccc} μ(A)&≤&μ^*(A)&≤&μ(A) \end{array}
「集合環 \mathrm{Ring} 上の話」として
（ A を前測度で測れる集合に限定する）
\begin{array}{ccc} μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right\} \\ \\ μ^*(A)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \\ \\ μ^*(A)&≤&μ(A) \end{array}
まずは簡単そうな
上から抑える方法を考えると
\begin{array}{ccl} A_n&=&\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccl} A &&n=1 \\ \\ ∅ &&n≥2 \end{array} \right. \end{array}
例えばこのようにすれば
A_n は互いに素 \mathrm{disjoint} ですから
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n&=&A \\ \\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n)&=& μ(A) \end{array}
これは確実にこうなると言えます。
下から抑えるには
問題なのはこっちで
\begin{array}{ccccc} μ(A)&≤&μ^*(A) \end{array}
下から抑えるには
\begin{array}{llllll} μ^*(A)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(A_n) \right\} &<&μ^*(A)+ε \end{array}
「下限の存在」から導かれる
この形を考えた上で
\begin{array}{ccccc} A &=& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n &⊂& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \\ \\ μ(A)&=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right)&≤&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( A_n \right) \end{array}
このようになる
都合の良い集合 D_n を考える必要があるんですが
これがなかなか複雑で
\begin{array}{ccrcc} && A∩A_n &⊂&A_n \\ \\ \displaystyle A&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A∩A_n \end{array}
\begin{array}{llllll} D_n&=& \displaystyle A∩A_n \end{array}
単純に考えるだけでは
\begin{array}{llllll} (A_n∩A)∩(A_{n-1}∩A) &=&A_n∩A∩A_{n-1}∩A \\ \\ &=& A_n∩A_{n-1}∩A \end{array}
必ず非交和 \mathrm{disjoint} になる
という状態をうまく作れません。
となると
\begin{array}{llllll}\mathrm{disjoint} &&→&& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n \right) &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right) \end{array}
こうならないわけですから
\begin{array}{ccc} A&=&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}D_n \end{array}
このままでは欲しい結果が得られないので
それなりの工夫が必要になります。
非交和は作れる
↑ で求めた D_n をベースに
\begin{array}{ccc} D_n&=& \displaystyle A∩A_n \end{array}
どうにか非交和 \mathrm{disjoint} にしたい
この具体的な方法の１つとして
\begin{array}{llllll} A_1 \\ \\ A_2 &=& A_2∩(A_1)^c \\ \\ A_3 &=& A_3∩(A_2∪A_1)^c \\ \\ && \vdots \end{array}
例えばこのような
「 A_n と A_{n-1} が確実に非交和になる」
\begin{array}{ccc} A∩A^c&=&∅ \end{array}
「補集合」を利用する方法が考えられて
こうすると
\begin{array}{llllll} A_n&=&A_n ∩ \displaystyle \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right)^c \end{array}
この部分はこうなりますから
\begin{array}{ccl} D_n&=& A∩A_n \\ \\ &=& A∩ A_n ∩ \displaystyle \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right)^c \end{array}
A_n が非交和である以上
これもまた自動的に非交和になります。
集合環上で前測度と外測度は一致する
以上の結果から
\begin{array}{ccccc} μ(A)&≤&μ^*(A)&≤&μ(A) \end{array}
この結論が得られたので
\begin{array}{ccc} \forall A \in \mathrm{Ring} & μ(A)≤μ^*(A)≤μ(A) \\ \\ & ↓ \\ \\ \forall A \in \mathrm{Ring} & μ^*(A)=μ(A) \end{array}
「拡張である」ための条件である
この条件もまた満たされたと言えます。
前測度がσ-有限なら拡張は一意に定まる
これについても
\begin{array}{cc} \forall A∈σ(F) & μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \end{array}
「ホップの拡張定理」の話と内容はほぼ同じ
\begin{array}{ccc} X_1,X_2,X_3,...&∈&\mathrm{Ring} \\ \\ X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots &⊂& X \end{array}
\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \end{array}
\begin{array}{llllll} \forall n∈N & μ(X_n)<\infty \end{array}
「σ-有限」の条件に由来する
「単調族定理」を考えることで
\begin{array}{ccccc} σ(\mathrm{Ring})&⊂&M(\mathrm{Ring})&⊂&σ(\mathrm{Ring}) \end{array}
↓
\begin{array}{ccc} M(\mathrm{Ring})&=&σ(\mathrm{Ring}) \end{array}
「計算結果が等しくなる」
「拡張 μ^* で可測な集合」を全て抜き出し
（拡張の定義より \mathrm{Ring} 上の図形は全て同一の結果を返す）
\begin{array}{cc} \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ_a^*(A) \\ \\ \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ_b^*(A) \end{array}
\begin{array}{llllll} M(\mathrm{Ring})&=&\{ A∈2^X \mid μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \} \end{array}
\begin{array}{llllll} \mathrm{Ring} &⊂& M(\mathrm{Ring}) \end{array}
「全ての \mathrm{Ring} 上の図形」を抜き出しながら
「結果が全て等しくなる」ことを確認
（外測度の定義と共通する図形を考えると）
\begin{array}{llllll} \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \\ \\ \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ_a^*(A)=μ_c^*(A) \\ \\ \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ_a^*(A)=μ_d^*(A) \\ \\ &\vdots \end{array}
その結果から
「拡張の一意性」という結論が得られます。
ホップの拡張定理との違い
「ホップの拡張定理」では
\begin{array}{rcr} && ∅\in F \\ \\ A\in F &→& A^c∈F \\ \\ A,B∈F &→& A∪B\in F \end{array}
「有限加法族 F 」が前提となっているので
「σ-有限」の条件を使いやすいんですが
この定理は「集合環」上の話なので
\begin{array}{cccccc} σ(\mathrm{Ring}) && \mathrm{Ring} \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n && A∪B \end{array}
「ホップの拡張定理」の話を
そのまま使うことはできません。
しかし「σ-有限」の前提を考えると
\begin{array}{ccc} X_1,X_2,X_3,...&∈&\mathrm{Ring} \\ \\ X_1 ⊂ X_2 ⊂ X_3 ⊂ \cdots &⊂& X \end{array}
「単調増加列 \{ X_n \} を含む」
というのが前提に来るので
\begin{array}{llllll} \displaystyle X&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \end{array}
「σ-集合環」は
その「無限和 X 」を必ず含むことから
\begin{array}{cccccc} σ(\mathrm{Ring}) && \mathrm{Ring} \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n && A∪B \end{array}
確実に「全体 X 」を含むことになり
\begin{array}{ccc} X\setminus A &=&A^c \end{array}
「補集合 A^c 」を形成できるようになるため
「σ-有限」の条件下で
「σ-集合環」を形成すると
\begin{array}{llllll} σ\text{-}\mathrm{finite} &&→&&σ(\mathrm{Ring})=σ \end{array}
その「σ-集合環」は
自動的に「完全加法族 σ 」になります。
そうなると
後は「ホップの拡張定理」の話と同じになりますから
\begin{array}{llllll} \begin{array}{llllll} \forall A∈\mathrm{Ring}& μ(A)=μ_a^*(A) \\ \\ \forall A∈\mathrm{Ring}& μ(A)=μ_b^*(A) \end{array} &→& \begin{array}{cc} \forall A∈\mathrm{Ring}& μ_a^*(A)=μ_b^*(A) \end{array} \end{array}
「有限加法族」「完全加法族」の場合と同様の理屈で
「拡張の一意性」が示されます。
σ-集合環の全ての集合で同じ結果が返される
「集合環」と「σ-集合環」の違いは
\begin{array}{cccccc} σ(\mathrm{Ring}) && \mathrm{Ring} \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n && A∪B \end{array}
「無限和」を含むかどうかだけなので
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*_a \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&=&\displaystyle μ^*_b \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) \end{array}
「無限和」でこの結果が得られるか確認できれば
「一意性」を示すことができます。
σ-集合環上の外測度は測度である
そもそも「σ-集合環」上の要素は
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &\in&L_{μ^*} \end{array}
「全て可測集合」です。
ということは
\begin{array}{ccc} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &⊂&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n \end{array}
このようになる
「良い感じの集合 D_n 」が確実に存在するので
\begin{array}{llllll}\mathrm{disjoint} &&→&& \displaystyle μ\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n \right) &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ\left( D_n \right) \end{array}
「前測度」の「完全加法性」より
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*_a\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(D_n) \right\} \\ \\ \displaystyle μ^*_b\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(D_n) \right\} \end{array}
「前測度 μ の拡張」となる「外測度」は
それぞれ必ずこうなります。
σ-集合環上の外測度は一意に定まる
以上の結果から
\begin{array}{llllll} \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ_a^*(A) \\ \\ \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ_b^*(A) \\ \\ \forall A∈\mathrm{Ring} & μ(A)=μ_c^*(A) \\ \\ &\vdots \end{array}
「拡張」の定義より
「集合環 \mathrm{Ring} 」上の要素では必ずこうなり
\begin{array}{ccc} \displaystyle μ^*_a\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(D_n) \right\} \\ \\ \displaystyle μ^*_b\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)&=&\displaystyle \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} μ(D_n) \right\} \end{array}
「前測度 μ で表現できる」以上
「無限和」もまたこのようになるため
\begin{array}{rcr} \displaystyle && ∅ ≠ σ(\mathrm{Ring}) \\ \\ A,B\in σ(\mathrm{Ring}) &→& A\setminus B∈σ(\mathrm{Ring}) \\ \\ A_1,A_2,A_3,...∈σ(\mathrm{Ring}) &→& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in σ(\mathrm{Ring}) \end{array}
「σ-集合環」上の要素全てで
「拡張と言えるもの」は等しくなることから
\begin{array}{llllll} \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ^*(A)=μ_a^*(A) \\ \\ \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ^*(A)=μ_b^*(A) \\ \\ \forall A∈σ(\mathrm{Ring}) & μ^*(A)=μ_c^*(A) \\ \\ &\vdots \end{array}
「前測度」が「σ-有限」であれば
「拡張は一意に定まる」と言えます。
ルベーグ外測度の存在
↑ で示した「カラテオドリの拡張定理」を使うと
「ジョルダン測度の拡張」として
\begin{array}{cccc} \displaystyle &\mathrm{Generalize}& \\ \\ μ_{\mathrm{Jordan}} &\to& μ_{\mathrm{pre}} \\ \\ μ_{\mathrm{Lebesgue}} &\to& μ_{\mathrm{Carathéodory}} \end{array}
「ルベーグ外測度の存在」を導くことができます。
（拡張定理の条件を満たしていくことで）
ジョルダン測度は前測度である
順番的には
「ジョルダン測度」→「前測度の定義」なんですが
\begin{array}{cccc}&\mathrm{Generalize}& \\ \\ μ_{\mathrm{Jordan}} &\to& μ_{\mathrm{pre}} &&〇 \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{Jordan}} &←& μ_{\mathrm{pre}} &&？\\ \\ &\mathrm{Proof}& \end{array}
この「ジョルダン測度」が
きちんと「前測度の定義」を満たすかは
定義を定めた段階ではまだ分かりません。
なので確認が必要なんですが
改めて確認してみると
\begin{array}{llllll} \displaystyle μ_{\mathrm{Jordan}} &:& A &→& [0,\infty] \end{array}
\begin{array}{llllll} \mathrm{disjoint} &&→&& \displaystyle μ_{\mathrm{Jordan}}\left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) =\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} μ_{\mathrm{Jordan}}(A_n) \end{array}
「ジョルダン測度」は
きちんと「前測度」の定義を満たします。
（長くなるので証明は別の記事で）
ルベーグ外測度はカラテオドリ外測度である
こちらも順番は「ルベーグ外測度」が先です。
「カラテオドリ外測度」はこれを一般化したもの
\begin{array}{ccccc} & \mathrm{Generalize} & \\ \\ μ_{\mathrm{Lubesgue}} &\to& μ_{\mathrm{Carathéodory}} &&〇 \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{Lubesgue}} &←& μ_{\mathrm{Carathéodory}} &&？ \\ \\ & \mathrm{Proof} & \end{array}
なので「カラテオドリ外測度」の中に
「ルベーグ外測度」は含まれるんですが
こちらもこの時点ではまだ分からないため
定義に問題が無いか確認する必要があります。
ただこれも長くなるので
証明は別の記事で行います。
ルベーグ外測度の存在証明
「カラテオドリの拡張定理」より
「ジョルダン測度」が「前測度」であることと
「ルベーグ外測度」が「カラテオドリ外測度」であることから
\begin{array}{llllll} μ_{\mathrm{Jordan}} &∈& μ_{\mathrm{pre}} \\ \\ \displaystyle μ_{\mathrm{Lubesgue}} &∈& μ_{\mathrm{Carathéodory}} \end{array}
拡張定理の前提が満たされるので
「ルベーグ外測度の存在」という結論が得られました。