|| 様相っていう聞き慣れない単語
これは「必然性」と「可能性」について言及したものです。
数学と哲学の両方に片足ずっぽりな感じのする論理になります。
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あまり基礎的なものではないのですが、
面白いので紹介させてください。
形式は述語論理に似ていて、
「～は必然的に真である」
「～は可能である」の2つの意味を使います。
まああれです。
量化記号とかと似たようなものだと思ってください。
必然性演算子「～は必然的に真である」
\Box （なんかしっかりしてるイメージで覚える）
可能性演算子「～は可能である」
\lozenge （なんか宙に浮いてる感じのイメージ）
使い方
例えば、
「神は存在しない」という主張（必然的に存在しない）とか
「神は存在し得る」という主張（存在する可能性がある）とか
こういう感じの主張ってよくありますよね。
「神は存在しない」を A とする
\begin{array}{llllll} \displaystyle \Box A \\ \\ \lozenge A \end{array}
それでいて、
これらはそれぞれ「真偽を定めることが可能」です。
実際、数値としては、
\begin{array}{llllll} \displaystyle \Box &&0\%&\mathrm{or}&100\% \\ \\ \lozenge&&0\%<&x&<100\% \end{array}
これはまあこういう感じになってて、
「確率」が対応しています。
加えて、
この２つはちょうど「否定」の関係になってて、
\begin{array}{lllll} \displaystyle \neg \Box &&\leftrightarrow&& \lozenge \\ \\ \neg \lozenge &&\leftrightarrow&&\Box \end{array}
ちゃんと「論理」してるんです。
はい。
とまあそういう感じで、
こいつはわりと数値数値してるんですよ。
否定と真偽
「 必然的に存在しない 」（0,100）
「 存在する可能性がある 」（0,100ではない）
この２つは互いに「否定」の関係にある
これは見たまま、ただの事実なんですが、
\begin{array}{llllll} \mathrm{True}& \Box A&&&& \lozenge \lnot A&\mathrm{True} \\ \\ \mathrm{False}& \lozenge B&&&&\Box \lnot B&\mathrm{False} \end{array}
実はこの主張、互いに両立してしまいます。
どういうことかというと、
例えば「神は存在しない」という主張なら、
「これまで認識されてない」から存在しない
と解釈できて（認識論）
「神は存在し得る」という主張なら、
「認識が真実とは限らない」から存在し得る
と解釈できる（真理論）
とまあこういう感じに、
「正反対な主張」なのは事実なんですけど、
実は「どちらも否定できない」ものになっていて、
結果として、
この２つの主張はどちらも正しいと言えてしまうんです。
面白くないですか？（面白いよね？）
量化（存在・全）と様相（必然・可能性）
様相論理はまあこんな感じなんですけど、
『量化』に関しては、正反対は確実に両立しません。
『量化』だけは、確実に「真偽」が定まるんです。
\begin{array}{llllll} \mathrm{True}&\displaystyle \Box A&&&& \lozenge \lnot A&\mathrm{True} \\ \\ \mathrm{False}& \lozenge B&&&&\Box \lnot B&\mathrm{False} \\ \\ \\ \mathrm{True}&\displaystyle \forall x\,A&&&& \exists x\, \lnot A&\mathrm{False} \\ \\ \mathrm{True}& \exists x\, B&&&&\forall x\, \lnot B&\mathrm{False} \end{array}
一見似通った「様相」では成立しないのに、
なぜか『量化』だけ、そのようになります。
なんかすごくないですか？
『量化だけ』なんですよ？
こういう「様相」のような理屈はいろいろあるのに、
『量化だけ』は、真偽が定まるんです。
不思議ですよね。
実に身近な「必然性・可能性」はダメなのに、
「存在・全」だけは、これが成立するんですから。
義務論理
様相論理は、表現のやり方を変えれば、
「～べきではない」と「～してもよい」のような、
『義務』を表す表現に置き換えることができます。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{しなければならない} &&0&\mathrm{or}&100 \\ \\ \mathrm{してもいい} &&0<&x&<100 \end{array}
これも元は「確率」ですから、
この感覚はなんとなくわかると思います。
当然、こういうのは他にもいろいろあります。
例えば「断言・予測」とかもそうですし、
より具体的には、
「絶対・たぶん」「確実に・たぶん」とか
探せばいろいろ出てきます。
日常的に出てくるものなので、
たまに意識してみるとちょっと楽しいかもしれません。
様相論理の公理
以上の話から分かる通り、
これは論争の的になっています。
解釈によって真偽が分かれるので、
「基礎」として扱うには不十分。
『量化』と違って、
これは「命題記号」をうまく扱えません。
しかし、実は全部がそうなわけではなくて、
一部、ちゃんと使える記号があるんですよ。
\begin{array}{llllllll} \displaystyle \neg(A \land B) &&=&& \neg A \land \neg B \\ \\ \displaystyle \neg(A \lor B) &&=&& \neg A \lor \neg B \end{array}
数学の各所でみられる
「ド・モルガンの法則」ってやつがあるんですが、
詳しくは置いておいて、
実は、この法則みたいな関係が
「必然・可能性」の 2 つの演算子には存在するんです。
「～は必然的に真である」（絶対にそう！）
「～が偽である可能性はない」（間違いなはずない！）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \Box p &&≡&& \neg \lozenge \neg p \end{array}
「～が真である可能性がある」（ほんとかも？）
「～が必然的に偽であることはない」（嘘とは限らないよ）
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lozenge p &&≡&& \neg\Box \neg p \end{array}
以上の２つ。
不思議なもので、
これを間違っていると思えないのが人間。
命題の真偽は「解釈に左右される」んですが、
それが「確定した後」に関しては、
この関係は、確実に正しいとするほかにありません。
不思議ですね。
まあ、だから「公理」なんですけど。
使われ方
実はこれ「話に同意したくない」けど
「否定してはいけない時」とか
そういう場面でわりと使われます。
まあ要はあれです。
「こうだよな！」みたいに同意を求められたときとかに、
「そうかもね」みたいな返しをするときがありますよね？
いやそうか？ ってほんとは思ってるけど、
とりあえず「同意してるように見せる」あれ。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \lozenge p &&≠&& \Box p \end{array}
「必然を肯定していない」ので、
実はこの返しって「同意はしない」ってことなんですが、
なんか『同意しているように見える』
それに「否定もしていない」から、
実質的には『同意っぽいポーズ』なわけで
ともかく、様相論理はこんな感じに、
この時の「本音」を論理的に明らかにできちゃうんですよ。
\begin{array}{llllll} \displaystyle \Box p && ≠ && \lozenge p \\ \\ \Box \neg p && ≠ && \lozenge \neg p \end{array}
なにより「同意のポーズ」であることを
『論理的に説明できる』という点で、
この論理は重要になります。