単調族定理 Monotone Class Theorem

|| 単調族と完全加法族の関係についての定理

「完全加法族」「一意性」に深く関わっています。

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事前知識

　

集合論「数学の最小単位を扱う分野」

集合の演算「和集合やら補集合やら」

　

完全加法族「普通のことが普通にできる集合の集まり」

有限加法族「完全加法族の条件を緩めた感じのやつ」

　

　

　

目次

　

単調族定理「単調族と完全加法族の関係を説明したやつ」

　

　　　単調族「単調増加・減少列の端っこを含む感じ」

　　　証明

　　　　　　完全加法族の定義を満たす

　　　　　　　　　空集合

　　　　　　　　　補集合

　　　　　　　　　完全加法

　　　　　　同値性

　

　

　

　

　

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単調族 Monotone Class

　

|| 上限とか下限についてのやつ

「極限」の集合論的な感覚を表現したもの

（以下の性質を満たす集合族 $M$ のこと）

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle X&≠&∅ \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \{A_1,A_2,A_3,...\}&⊂&M&⊂&2^X \\ \\ \{B_1,B_2,B_3,...\}&⊂&M&⊂&2^X \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂A_3⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈M \\ \\ B_1⊃B_2⊃B_3⊃\cdots &&→&&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n∈M \end{array}$

　

「測度」が持っていて欲しい性質の１つで

分かりやすく「極限」の性質を表しています。

　

　

　

　

　

単調族定理 Monotone Class Theorem

　

|| 完全加法族になる条件の一つ

「有限加法族 $F$ を含む最小の単調族 $M$ 」は

「 $F$ から作れる完全加法族 $σ(F)$ 」になる

　

$\begin{array}{llllll} F⊂σ&&→&&σ(F) \\ \\ \displaystyle F⊂M&&→&&M(F) \\ \\ \min (M(F)) &&→&&M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle σ(F)&=&M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

「有限加法族 $F$ 」と

「完全加法族 $σ$ 」の違い

　

$\begin{array}{c} \begin{array}{llllll} \displaystyle μ \left( \bigcup_{i=1}^{n}A_i \right)&=&\displaystyle \sum_{i=1}^{n}μ(A_i) \end{array} \\ \\ ↓ \\ \\ \displaystyle \begin{array}{llllll} \displaystyle μ \left( \bigcup_{i=1}^{\textcolor{pink}{\infty}}A_i \right)&=&\displaystyle \sum_{i=1}^{\textcolor{pink}{\infty}}μ(A_i) \end{array} \end{array}$

　

これを知ってれば

この定理の主張はわりと直感的に分かると思います。

（最小の理由は初見だと分からないかも）

　

　

　

　

　

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単調族定理の証明

　

$M_{\mathrm{min}}(F)$ が「完全加法族」である

この証明を行うために

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle\left( \begin{array}{llllll} \displaystyle S≠∅ \\ \\ σ⊂2^S \\ \\ A^c = S\setminus A \end{array} \right) &\to& \displaystyle \left( \begin{array}{rllllll} \displaystyle ∅∈σ \\ \\ A∈σ &\to&A^c ∈σ \\ \\ A_n∈σ &\to&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ\end{array} \right) \end{array}$

　

まずはこの３つの性質を確認していきます。

　

　

　

　

　

最小の単調族

　

「最小の単調族 $M_{\mathrm{min}}(F)$ 」を考えるのはなぜか

　

$\begin{array}{llllll} && && M(F)&⊂&2^X \\ \\ && M_{\mathrm{min}}(F)&⊂& M(F) \\ \\ F&⊂& M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

その最大の理由は

「任意の $M(F)$ が完全加法族ではない」からで

　

　

他にも

「単調族全体 $\mathrm{Mono}$ 」を考えた時

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Mono}&=&\{ M \mid M \mathrm{\,\, is \,\, Monotone} \} \\ \\ \mathrm{Mono}(F)&=&\{ M(F) \mid M(F) \mathrm{\,\, is \,\, Monotone} \} \end{array}$

　

↓ のように「共通部分」をとれば

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \min(M) &=& \displaystyle \bigcap_{M∈\mathrm{Mono}}M \end{array}$

　

『最小の単調族』が得られることから

　

$\begin{array}{ccccccccc} A∈F &→&A∈M_{\mathrm{min}}(F) &→&A∈M(F) &&\mathrm{Fact} \\ \\ A∈F &←&A∈M_{\mathrm{min}}(F) &←&A∈M(F) && \mathrm{Define} \end{array}$

　

このように定義することができるので

ここでは「最小の単調族」が採用されています。

（部分集合 $F$ に寄せられる）

　

　

　

　

　

空集合

　

まず「空集合」についてですが

　

$\begin{array}{llllll} && && M_{\mathrm{min}}(F)&⊂&M(F) \\ \\ \displaystyle ∅&∈&F&⊂&M_{\mathrm{min}}(F) && \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} ∅&∈&\displaystyle M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

これは当然こう。

　

$\begin{array}{rcr} \displaystyle && ∅\in F \\ \\ A\in F &→& A^c∈F \\ \\ A,B∈F &→& A∪B\in F \end{array}$

　

「有限加法族 $F$ の定義」より

$∅∈F$ である以上これは明らかです。

　

　

　

　

　

補集合

　

次、補集合についてですが

　

$\begin{array}{rcr} \displaystyle A\in F &→& A^c∈F \\ \\ A^c\in F &→& (A^c)^c∈F \end{array}$

　

これは「有限加法族 $F$ の定義のみ」では

『 $M(F)$ の余計な要素 $A_{\mathrm{un}}$ 』が入り込んで

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_{\mathrm{un}}\not\in F && A_{\mathrm{un}}\in M(F) \\ \\ A_{\mathrm{un}}^c \not\in F && A_{\mathrm{un}}^c \not\in M(F) \end{array}$

　

「その補集合 $A_{\mathrm{un}}^c$ が $M(F)$ に含まれない」

という可能性が出てくるため

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M_{\mathrm{complement}}(F)&=& \{ A∈2^X \mid A^c∈M(F) \} \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M_{\mathrm{min}}(F)&⊂&M_{\mathrm{complement}}(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A∈M_{\mathrm{min}}(F)&&→&&A^c∈M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

それを避けるために

このような「単調族 $M_{\mathrm{complement}}(F)$ 」を定義し

『中身を制限する』必要があります。

　

　

　

　

　

完全加法

　

これについても

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...∈σ &\to&\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ \end{array}$

　

「単調族 $M$ の定義」から

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...&∈&M(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈M(F) \end{array}$

　

$M_{\mathrm{min}}(F)$ もまた「単調族」であるため

条件そのものはすぐに求められそうですが

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \{A_1,A_2,...,A_n,...\}&⊂&M(F) \end{array}$

　

この「単調族 $M(F)$ 」は

「有限加法族 $F$ を含む」上に

『最終着地が完全加法族 $σ$ 』です。

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_n^c&∈&M(F) \end{array}$

　

まあつまり結論を考えると

$M(F)$ は必ず「補集合」を含まなければならず

これの「和集合」もまた含まなければなりません。

　

　

特に『最小の単調族 $M_{\mathrm{min}}(F)$ 』については

　

$\begin{array}{llllll} F &⊂&\displaystyle M_{\mathrm{min}}(F)&⊂& \{ A∈2^X \mid A^c∈M(F) \} \end{array}$

　

この制限かかかることになるので

確実に「補集合」を含むことになります。

　

　

　

まとめると

この時点では

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &∈&M(F) \end{array}$

　

「単調族の定義」から

「一部では」こうなる

ということは分かっていますが

　

$\begin{array}{rcr} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n&∈&M(F) \\ \\ \displaystyle \left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)∪\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n \right) &∈&M(F) \end{array}$

　

全部でこうなるかどうかは分かっていません。

　

　

　

↓ のやつについては

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right)∪\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n \right) &∈&M(F) \end{array}$

　

確実に「全体 $X$ 」になるので

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_n∪A^c_n&=&X \end{array}$

　

$\begin{array}{rcr} A∈F &→&A^c∈F \\ \\ \displaystyle ∅∈F &→&X∈F \end{array}$

　

「有限加法族 $F$ の定義」から

「単調族 $M(F)$ 」の中に必ず含まれると言えて

　

　

　

同様に、有限の加法についても

　

$\begin{array}{lclccc} \displaystyle A,B∈F&→&A∪B∈F &&〇 \\ \\ A,B∈M(F)&→&A∪B∈M(F) &&？ \end{array}$

　

結論となる「完全加法族」が

「有限の加法について閉じている」上に

　

　

以下が「有限加法族 $F$ の定義」より明らかなことから

　

$\begin{array}{ccccc} A,B∈M(F) &&→&& A∪B∈M(F) \end{array}$

　

例えば ↓ のように

　

$\begin{array}{ccc} \displaystyle M_{\mathrm{sum}}(F)&=&\{ A,B∈M(F) \mid A∪B∈M(F) \} \end{array}$

　

「 $A,B$ が含まれている」こと前提の

「和集合 $A∪B$ 」による制限をかければ

「有限加法族 $F$ の定義」から

　

$\begin{array}{lcc} A^c∪B^c &∈&M_{\mathrm{min}}(F) \\ \\ \displaystyle A∪B^c &∈&M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

これらもまた確実に含むと言えます。

　

　

　

となると

残るは以下についてなんですが

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n&∈&M(F) &&？ \end{array}$

　

これについてはまだ

$M_{\mathrm{min}}(F)$ が含むかどうか分かっていません。

（集合の演算を理解していれば含みそうだと分かる）

　

　

　

　

　

補集合と完全加法

　

というわけで

これが含まれるかどうか確認していきます。

（有限加法族と単調族の定義だけで）

　

$\begin{array}{llllll} \begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈M(F) \\ \\ B_1⊃B_2⊃\cdots &&→&&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n∈M(F) \end{array} \end{array}$

　

そのために

一通り定義を確認しておくと

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n &∈&σ \end{array}$

　

まずゴールはここ

　

$\begin{array}{rcr} \displaystyle A\in F &→& A^c∈F \\ \\ A^c\in F &→& (A^c)^c∈F \end{array}$

　

「有限加法族 $F$ の定義」からこれは明らかで

　

$\begin{array}{ccc} \displaystyle (A_1∩A_2)^c&=&A^c_1∪A^c_2 \\ \\ \displaystyle \left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n \end{array}$

　

$\begin{array}{rcccr} A\in F &&→&& A^c∈F \\ \\ \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in F &&→&& \displaystyle \left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\in F \end{array}$

　

「集合の演算」を思い返してみると

このような変形が可能である

ということも思い起こされます。

　

　

というわけで

以上を踏まえて

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n &∈&M(F) \end{array}$

　

この結論を得る方法を考えると

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n \end{array}$

　

自然とこの関係に行き着くことから

　

　

↓ のゴールを考えてみると

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in F &&？ \end{array}$

　

「共通部分」が含まれる

ということを確認したくなります。

　

$\begin{array}{rcccr} \displaystyle A\in F &&→&& A^c∈F \\ \\ \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in F &&→&& \displaystyle \left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\in F \end{array}$

　

そこで

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...,A_n,...&∈&M(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈M(F) \end{array}$

　

前提となるこの事実を踏まえて

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}$

　

これについて考えてみると

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=A_1 \end{array}$

　

$A_1$ が「全ての $A_n$ の部分集合」である以上

これは明らかにこうなることから

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,A_3,...,A_n,...&∈&M(F) \end{array}$

　

この前提を踏まえれば

　

$\begin{array}{ccc} A_1&∈&M(F) \\ \\ \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n&∈&M(F) \end{array}$

　

間違いなくこうだと言えます。

　

$\begin{array}{rcccrccr} A\in F &&→&& A^c∈F \\ \\ \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in F &&→&& \displaystyle \left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\in F \\ \\ \displaystyle &&&& \displaystyle \left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\in F&&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n\in F \end{array}$

　

ということは

これらが明らかなので

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A^c_n &\in& F \end{array}$

　

結果として

「補集合 $A^c$ 」の「無限和」もまた

「単調族 $M(F)$ 」に含まれることが分かります。

　

　

　

　

　

任意の無限和

　

以上の結果より

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}$

　

「無限和が存在する」なら

「その構成要素を全て含める」という形にすれば

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...∈M(F) &&←&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈σ(F) \end{array}$

　

「単調族」の定義から

「無限和の構成要素」を全て含めると

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈M(F) \end{array}$

　

この「無限和」を $M(F)$ は持つと言えるので

　

　

結果

「含むかどうか不明な無限和」に対し

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...∈M(F) &&←&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈σ(F) \end{array}$

　

「単調族で定義される無限和」を構成するような

「無限和の構成要素の全て」を含めるとすれば

　

　

「 $σ(F)$ 上の要素で構成可能」な

「全ての無限和」を含めることができ

　

$\begin{array}{llllll} σ(F) &⊂&M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

結果として

この関係を得ることができます。

　

　

　

　

　

無限和を単調増加列で構成できる

　

本当に「全ての無限和は構成可能か」

この点はちょっと疑問なので確認しておくと

　

$\begin{array}{llllll} X&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \end{array}$

　

まず「全体 $X$ 」については

　

$\begin{array}{llllll} X_1⊂X_2⊂\cdots⊂X_n⊂\cdots &⊂&X \end{array}$

　

「 $X$ の部分集合」の中にある

「 $F$ の要素で構成できる単調増加列」の

「和集合」を考えると

　

$\begin{array}{ccc} \{a,b\} &=&\{a\}∪\{b\} \\ \\ X_{n+1} &=&X_{n}∪S_n \end{array}$

　

$\begin{array}{lllllcl} X_1 && ⊂ && X_1∪X_2 &=& X_2 \\ \\ X_2 && ⊂ && X_2∪X_3 &=& X_3 \\ \\ && && &\vdots \\ \\ X_n && ⊂ && X_n∪X_{n+1} &=& X_{n+1} \end{array}$

　

例えばこのように

単純に「要素を追加する」感じで構成すれば

　

$\begin{array}{ccc} X_1⊂X_2⊂\cdots⊂X_n⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} n\to\infty &&⇒&& X_n\to X \end{array}$

　

$F$ の中に含まれる要素で

これは確実に構成可能になります。

　

　

　

　

　

全ての要素は単調増加列で構成可能

　

そしてこれを考えると

「 $X$ は全体」ですから

　

$\begin{array}{llllll} A&=&A∩X \\ \\ &=&\displaystyle A∩\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n \end{array}$

　

「最大の集合族 $2^X$ 」に含まれる

「任意の無限和 $A$ 」は

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A∩(B∪C)&=&(A∩B)∪(A∩C) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A∩\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A∩X_n \end{array}$

　

このように変形できるので

　

$\begin{array}{llllll} A_1⊂A_2⊂A_3⊂\cdots ⊂A \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} A&=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}$

　

この着地を考えると

　

$\begin{array}{rcr} \begin{array}{r} A∈F \\ \\ X_n∈F \\ \\ (A^c∪X_n^c)^c∈F \end{array} &&→&& A∩X_n∈F \end{array}$

　

「完全加法族 $σ(F)$ 」は

「共通部分」を含むことから

　

$\begin{array}{lclcl} X_1 &→& (A∩X_1) &&A∩X_1∈M(F) \\ \\ X_1 ⊂ X_2 &→& (A∩X_1) ⊂ (A∩X_2) &&A∩X_2∈M(F)\\ \\ X_2 ⊂ X_3 &→& (A∩X_2) ⊂ (A∩X_3) &&A∩X_3∈M(F) \\ \\ X_3 ⊂ X_4 &→& (A∩X_3) ⊂ (A∩X_4) &&A∩X_4∈M(F) \\ \\ &\vdots \\ \\ X_n ⊂ X &→& (A∩X_n) ⊂ (A∩X) &&A∩X∈M(F) \end{array}$

　

例えばこれはこうなるので

　

$\begin{array}{llllll} && F&⊂& M_{\infty}(F) \\ \\ \{ X_1,X_2,X_3,...X_n,... \}&⊂& F \end{array}$

　

この前提の元

　

$\begin{array}{llllll} M_{\infty}(F)&=&\left\{ A∈2^X \,\,\middle| \,\, \forall n∈N \,\, A∩X_n ∈ M(F) \right\} \end{array}$

　

このようにすれば

　

$\begin{array}{llllll} A_n&=&A∩X_n \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} A_1⊂A_2⊂A_3⊂ \cdots ⊂A_n⊂\cdots \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A &=&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \end{array}$

　

「全ての無限和 $A$ 」を

「単調増加列」で構成することができます。

　

　

　

整理しておくと

　

$\begin{array}{ccccc} \{ X_1,X_2,X_3,...X_n,... \}&⊂& F &⊂&M(F) \\ \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n &∈& M(F) &⊂& 2^X \end{array}$

　

要素それぞれの所在はこうなります。

$σ(F)⊂2^X$ なので $σ(F)$ よりも広いです。

　

　

　

　

　

同値性

　

以上のことから

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M(F)&→&σ(F) \end{array}$

　

「有限加法族 $F$ を含む」

「最小の単調族 $M_{\mathrm{min}}(F)$ 」が

「完全加法族 $σ(F)$ 」であることは示されましたが

　

$\begin{array}{c} σ(F)&=&M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

まだこの関係は得られていません。

　

$\begin{array}{llllll} M(F)&←&σ(F) \end{array}$

　

『 $F$ の要素で単調族 $M(F)$ を構成できる』以上

この結論は直感的には明らかですが

念のため証明しておきます。

　

　

そのために

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M(F)&→&σ(F) &&〇 \\ \\ M(F)&←&σ(F) &&？ \end{array}$

　

「有限加法族 $F$ を含む単調族 $M(F)$ から」ではなく

「 $F$ の要素で構成できる完全加法族 $σ(F)$ から」

「単調族」を構成してみます。

　

　

　

　

　

定義の確認

　

というわけで確認していくと

　

$\begin{array}{rcr} \displaystyle && ∅\in σ \\ \\ A\in σ &→& A^c∈σ \\ \\ A_1,A_2,...,A_n,...∈σ &→& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in σ \end{array}$

　

まず「完全加法族 $σ$ 」はこれで

　

$\begin{array}{rcr} \{A_n\}⊂M &→& \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...∈M \\ \\ \{B_n\}⊂M &→& B_1,B_2,...,B_n,...∈M \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈M \\ \\ B_1⊃B_2⊃\cdots &&→&&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n∈M \end{array} \end{array}$

　

「単調族 $M$ 」はこれです。

　

　

　

　

　

ざっくりとした方針

　

以上の各用語の定義と着地を考えると

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...∈σ \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈σ \end{array}$

　

これを満たして

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle B_1,B_2,...,B_n,...∈σ \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle B_1⊃B_2⊃\cdots &&→&&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n∈σ \end{array}$

　

これも満たせば

「完全加法族から」「単調族」を構成できる

　

　

そう言えるので

そういった都合の良い操作を考える必要があります。

　

　

　

　

　

単調増加列

　

といっても使えるものは限られてるので

とりあえず分かりやすい形として

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A&⊂&A∪B \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A,B∈F &→& A∪B\in F \end{array}$

　

「有限加法族 $F$ の定義」から

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1∪A_2&=&A_2 \\ \\ A_n∪A_{n+1}&=&A_{n+1} \end{array}$

　

こんな感じの

　

$\begin{array}{ccr} A_n&⊂&A_n∪A_{n+1} \\ \\ A_n&⊂&A_{n+1} \end{array}$

　

「 $A_{n}$ の要素を全て持つ集合 $A_{n+1}$ 」を定義して

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1&⊂&A_2&⊂&\cdots \end{array}$

　

シンプルな「単調増加列」を構成してみます。

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...∈σ(F)&→& \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈σ(F) \end{array}$

　

すると

「有限加法族 $F$ 」から構成できる

「完全加法族 $σ(F)$ の定義」を考えると

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...&∈&σ(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} A_1⊂A_2⊂\cdots&→&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈σ(F) \end{array}$

　

そのまま「単調族の定義」が得られるので

まずこの定義を満たすことに成功します。

　

　

　

　

　

単調減少列

　

残る「減少列」についてですが

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1∪A_2&=&A_2 \\ \\ A_n∪A_{n+1}&=&A_{n+1} \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1&⊂&A_2&⊂&\cdots \end{array}$

　

これは「単調増加列」から構成できる

「補集合」について考えてみると

　

$\begin{array}{rcl} \displaystyle (A_1∪A_2)^c&=&A^c_1∩A^c_2 \\ \\ (A_2)^c&=&A^c_1∩A^c_2 \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} (A_{n+1})^c&=& A^c_n∩A^c_{n+1} \\ \\ && A^c_n∩A^c_{n+1}&=&A^c_{n+1} \end{array}$

　

$\begin{array}{rcl} \displaystyle A^c_1∩A^c_2&⊂&A^c_1 \\ \\ A^c_2&⊂&A^c_1 \\ \\ A^c_n∩A^c_{n+1}&⊂&A^c_n \\ \\ A^c_{n+1}&⊂&A^c_n \end{array}$

　

これは明らかに「単調減少列」になる上に

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1^c&⊃&A_2^c&⊃&\cdots&⊃&A_n^c &⊃&\cdots \end{array}$

　

この「共通部分」は

「完全加法族」の要素である以上

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \left( \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c ∈σ(F) &&→&&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A^c_n∈σ(F) \end{array}$

　

必ず以下のようになります。

　

$\begin{array}{lcr}A_1,A_2,...,A_n,...&∈&σ(F) \\ \\ \displaystyle A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,...&∈&σ(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle A_1^c⊃A_2^c⊃\cdots &→&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A^c_n∈σ(F) \end{array}$

　

以上のことから

結果的に全ての単調族の性質を満たせたので

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M(F)&←&σ(F) \end{array}$

　

これで「 $F$ からできた完全加法族 $σ(F)$ から」

「単調族」が構成できました。

　

　

　

　

　

同じになる

　

以上のことを整理してみると

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M(F)&→&σ(F) &&〇 \\ \\ M(F)&←&σ(F) &&〇 \end{array}$

　

まず「単調族 $M(F)$ から」構成された

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M(F)&→&σ(F) \end{array}$

　

「有限加法族 $F$ の要素で作られた」

「完全加法族 $σ(F)$ 」は

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle σ(F) && &⊂&M(F) \\ \\ && M_{\mathrm{min}}(F) &⊂&M(F) \\ \\ σ(F) &⊂& M_{\mathrm{min}}(F) && \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle σ(F) &⊂& M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

当然ですが

「 $M(F)$ の要素から作られている」以上

「単調族 $M(F)$ 」の「部分集合」です。

　

　

　

そして

「完全加法族 $σ(F)$ から」構成された

「単調族 $M(σ(F))$ 」は

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M(σ(F))&←&σ(F) \end{array}$

　

「完全加法族 $σ(F)$ の要素のみ」で構成されている以上

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M_{\mathrm{min}}(F)&⊂&M(σ(F)) \end{array}$

　

「最小の単調族 $M_{\mathrm{min}}(F)$ 」を考えれば

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle σ(F) &⊃& M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

同様の理屈で

「 $σ(F)$ の部分集合」であると言えるので

　

　

　

↑ で得られた結果をまとめると

　

$\begin{array}{llllll} M_{\mathrm{min}}(F)&⊃&σ(F) &&〇 \\ \\ M_{\mathrm{min}}(F)&⊂&σ(F) &&〇 \end{array}$

　

このような関係が成立すると言えることから

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M_{\mathrm{min}}(F)&=&σ(F) \end{array}$

　

結果、こうであると言えます。

　

　

　

　

　

---

結論

　

まとめると

　

$\begin{array}{rcr} \displaystyle && ∅\in F \\ \\ A\in F &→& A^c∈F \\ \\ A,B∈F &→& A∪B\in F \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle F&⊂&M(F) \\ \\ F&⊂&σ(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{rcr} \{A_n\}⊂M(F) &→& \displaystyle A_1,A_2,...,A_n,...∈M(F) \\ \\ \{B_n\}⊂M(F) &→& B_1,B_2,...,B_n,...∈M(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \begin{array}{llllll} \displaystyle A_1⊂A_2⊂\cdots &&→&&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n ∈M(F) \\ \\ B_1⊃B_2⊃\cdots &&→&&\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n∈M(F) \end{array} \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{Mono}(F)&=&\{ M(F) \mid M(F) \,\, \mathrm{is \,\, Monotone} \} \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle M_{\mathrm{min}}(F)&=&\displaystyle \bigcap_{M(F)∈\mathrm{Mono}(F)} M(F) \end{array}$

　

以上の前提から

　

$\begin{array}{rcr} && ∅∈\displaystyle M_{\mathrm{min}}(F) \\ \\ A∈M_{\mathrm{min}}(F)&→&A^c∈M_{\mathrm{min}}(F) \\ \\ A_1,A_2,...,A_n,...∈M_{\mathrm{min}}(F) &→&\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n∈M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle σ(F)&=&M_{\mathrm{min}}(F) \end{array}$

　

この結論が得られたので

これで「単調族定理」の証明は終わりになります。

（これを一般化した定理もあります）