級数 Series

|| 級数って響きがなんか難しそう

総和（全部を足し算する感じ）の名前

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$\begin{array}{llllll} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n &=&a_1+a_2+a_3+\cdots \\ \\ \displaystyle \sum_{n}^{} a_n &=&a_1+a_2+a_3+\cdots \\ \\ \displaystyle \sum_{n∈N} a_n &=&a_1+a_2+a_3+\cdots \end{array}$

　

記号だとこんな感じのやつ。

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i &=&a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \end{array}$

　

「有限」のやつには

「部分和」「有限級数」なんて名前がついてます。

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目次

　

級数「無限個のやつを足し算したもの」

　

テイラー級数「微分を使って多項式で表す感じ」

　　　マクローリン展開「テイラー展開の定数 $0$ のパターン」

　

フーリエ級数「波を重ねて整理する感じ」

　

　

　

　

　

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これは「数列 $\{a_n\}$ 」の話で出てくるやつで

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \{a_n\}&=&\{a_k\}_{k=0,1,2,3,...,n,...} \\ \\ &=&a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_n,... \end{array}$

　

まあいろいろあるんですけど

基本的に「級数」の意味だけ理解していれば十分です。

　

　

以下、一部を紹介していきますけど

↓ のやつらは「関数項級数」なんて名前がついてますが

この用語を使うことはほぼ無いですね。

　

　

　

　

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テイラー級数 Taylor Series

　

|| 元のやつを多項式で作る

ほとんどの関数は「多項式」で分解できる

その事実を利用して作られた級数

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)^1+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a)^2+\cdots \\ \\ &=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{array}$

　

以下のものから導かれました。

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \left( x^n \right)^{(n)}&=&\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}x^n \\ \\ &=&\displaystyle \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}nx^{n-1} \\ \\ &=&n(n-1)(n-2)\cdots 2 * 1 \\ \\ &=&n! \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots +a_nx^n \\ \\ &=&\displaystyle f(0)x^0+f^{\prime}(0)x^1+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(0)x^2+\cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{array}$

　

発想自体はすごいシンプルです。

証明は驚くほど大変ですが。

　

　

　

　

マクローリン級数 Maclaurin Series

　

|| 定数 $0$ をぶち込んだ形

『テイラー級数』の定数 $a$ に $0$ を入れたやつ

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle f(x)&=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \\ \\ &=&\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x-0)^n \\ \\ &=&\displaystyle f(0)+f^{(1)}(0)(x)^1+\frac{1}{2!}f^{(2)}(0)(x)^2+\cdots \end{array}$

　

使えるのも実際に使うのも基本はこっちです。

テイラー級数は主に証明とかで使います。

　

　

　

　

　

具体的な感じ

　

『正弦関数』『余弦関数』は

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \sin(0)&=&0 \\ \\ \cos(0)&=&1 \end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x &=& \cos x \\ \\ \displaystyle \frac{d}{dx}\cos x &=& -\sin x \\ \\ \\ \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\sin x &=& -\sin x \\ \\ \displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\cos x &=& -\cos x \\ \\ \\ \displaystyle \frac{d^4}{dx^4}\sin x &=& \sin x \\ \\ \displaystyle \frac{d^4}{dx^4}\cos x &=& \cos x \end{array}$

　

こうなるので

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \sin x &=& \displaystyle 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6 +\cdots \\ \\ \cos x &=&\displaystyle -\frac{1}{1}x^1+\frac{1}{3!}x^3-\frac{1}{5!}x^5+\frac{1}{7!}x^7 +\cdots \end{array}$

　

こんな感じになります。

　

　

　

微分しても変わらない『指数関数 $e^x$ 』だと

必ず「 $e^0=1$ 」ですから

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle e^x&=&\displaystyle x^0+\frac{1}{1}x^1+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+\cdots \end{array}$

　

こんな感じになって

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle e^1&=&\displaystyle 1^0+\frac{1}{1}1^1+\frac{1}{2!}1^2+\frac{1}{3!}1^3+\frac{1}{4!}1^4+\frac{1}{5!}1^5+\cdots \\ \\ e&=&\displaystyle 1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots \end{array}$

　

この展開式から

「ネイピア数 $e$ の近似式」が得られたりします。

　

　

　

　

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フーリエ級数 Fourier Series

　

|| 波を重ねて元のやつを作る

『三角関数の積分値』から得られたやつ

　

$\begin{array}{llllllllllll} \displaystyle a_k&\displaystyle =&\displaystyle\frac{1}{π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos kx \,dx \\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}a_0&=&\displaystyle \frac{1}{2π}\displaystyle\int_{-π}^{π} f(x)\cos 0x \,dx \\ \\ \displaystyle b_k&=&\displaystyle\frac{1}{π}\int_{-π}^{π} f(x)\sin kx \,dx\end{array}$

　

$\begin{array}{llllll} \displaystyle \displaystyle f(x)&=&\displaystyle\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cos kx + b_k\sin kx \end{array}$

　

式はこんな感じ。