投稿日: 投稿者: takan

整礎的集合 Well-Founded Set


|| 基礎 (底) がある感じの集合

辿ると最終的に『空集合』に行き着く集合のこと。

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基本は『整礎関係』の話ですね。

これはその「集合での表現」になります。

　

　

「実現したいこと」は１つ。

『基礎が欲しい』

　

∅:={}\begin{array}{llllll} \displaystyle ∅&:=&\{\} \end{array}

　

その具体的な中身として便利そうなのが「空集合」で

　

α∈α+1∅∈1∈2∈…∈α∈α+1\begin{array}{llllll} \displaystyle &&&&&&&& α&∈&α+1 \\ \\ ∅&∈&1&∈&2&∈&…&∈&α&∈&α+1 \end{array}

　

『基礎がある』っていう表現のために

その「下方向」を判別できる「帰属関係」なんかが採用され

　

∅∈1∈2∈…∈α∈α+1\begin{array}{llllll} \displaystyle ∅&∈&1&∈&2&∈&…&∈&α&∈&α+1 \end{array}

　

結果として

↑ を満たすような「集合 αα 」を用意すると

『正則性』が生まれる、と。

　

　

これはまあ、感覚的にはこんな感じの話です。

00 みたいなのがある集合（自然数）の話とも言えます。

　

　

　

　

　

定義

　

『整礎的集合 VαV_α 』もまた定義は再帰的です。

「初期値」「再帰処理」「特別な事例」で定義されています。

　

V0=∅Vα+1=2VαVα=⋃β<αVβ\begin{array}{llllll} \displaystyle V_0&=&∅ \\ \\ \displaystyle V_{α+1}&=&2^{V_α} \\ \\ \displaystyle V_α&=&\displaystyle \bigcup_{β<α}V_β \end{array}

　

VV の由来は下から上に広がってく感じか

あるいはフォン・ノイマンの名前から来ている感じで

それ自体には特に意味はありません。

　

　

　

　

　

・初期値

　

「空集合」を初期値として設定

　

V0=∅\begin{array}{llllll} \displaystyle V_0&=&∅ \end{array}

　

これは『実用的な集合論』の核の一つになります。

　

　

　

　

　

・再帰処理

　

グロタンディーク宇宙の構造を

　

Vα+1=2Vα\begin{array}{llllll} \displaystyle V_{α+1}&=&2^{V_α} \end{array}

　

冪集合の定義より

確実に『 Vα∈Vα+1V_α∈V_{α+1} 』ですから

この関係が成立する場合、上下を明確に定義できます。

　

　

　

　

　

・特殊パターン

　

αα が「極限順序数」のときの処理

　

Vα=⋃β<αVβ\begin{array}{llllll} \displaystyle V_α&=&\displaystyle \bigcup_{β<α}V_β \end{array}

　

これも普通の話です。

　

ω={0,1,2,3,4,5,6,...}=⋃n<ωn\begin{array}{llllll} \displaystyle ω&=&\{0,1,2,3,4,5,6,...\} \\ \\ &=&\displaystyle \bigcup_{n<ω}n \end{array}

　

具体的にはこういう話なので。

　

　

　

　

　

集合の階数 Rank

　

|| 下地と次の決まりから

『整礎的集合』には「階層」を定義できます。

　

rank(Vx)=sup{α ∣ Vx∈Vα+1}\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{rank}(V_x)&=&\mathrm{sup}\{α\,|\,V_x∈V_{α+1}\} \end{array}

　

それをこんな感じに書いたりするんですけど

まあ初見じゃ意味不明。とりあえず今はスルーで。

　

x∈{x}Vα∈Vα+1\begin{array}{llllll} x&∈&\{x\} \\ \\ \displaystyle V_α&∈&V_{α+1} \end{array}

　

ともかく、例えばこれは確実にこうですから、

少なくとも上下ははっきりと存在していて

　

　

だからこそ「その階層を表す数」は定義できるので

こういう考え方が使われることがあるわけです。

　

　

　

　

　

中身の定義

　

初期値は『 00 階層目』

それ以降は「 +1+1 」で表現され

　

rank(∅)=0rank({∅,{∅}})=1\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{rank}(∅)&=&0 \\ \\ \mathrm{rank}(\{∅,\{∅\}\})&=&1 \end{array}

　

「極限順序数 ωω 」に至った後は

　

ω∈{ω,{ω}}\begin{array}{llllll} \displaystyle ω&∈&\{ω,\{ω\}\} \end{array}

　

こういうのを「 ω+1ω+1 」と表現します。

　

0,1,2,3,4,...,ω,ω+1,...\begin{array}{llllll} \displaystyle 0,1,2,3,4,...,ω,ω+1,... \end{array}

　

まあつまり

階数の中身は「見慣れてる数」です。

（厳密には『順序数』）

　

　

　

　

　

階数の表現方法

　

『整礎的集合を VxV_x 』としてみます。

　

Vx∈Vα\begin{array}{llllll} \displaystyle V_x&∈&V_{α} \end{array}

　

そしてこれが分かるとすると

　

rank(Vx)=x≤α\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{rank}(V_x)&=&x&≤&α \end{array}

　

階数がこうであることは直感的に分かりますよね。

　

　

　

ただまあ、これはあくまで「有限」の範囲の話。

「無限」が絡む場合にどうなるのかはよく分かりません。

　

　

　

しかし『無限にも階層がある』ことは

「カントールの定理」より明らか。

　

　

つまり『階層が存在する』ので

「無限」が絡むパターンであったとしても

『階数 rank(Vx)=x\mathrm{rank}(V_x)=x 』を定義することは可能です。

　

　

で、じゃあ具体的にどうすんの？って話なんですが

その１つの解答が ↓ なんですよ。

　

α∈Ordinal  Number\begin{array}{llllll} \displaystyle α&∈&\mathrm{Ordinal \,\, Number} \end{array}

　

rank(Vx)=sup{α∣Vx∈Vα+1}\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{rank}(V_x)&=&\mathrm{sup}\{α \mid V_x∈V_{α+1}\} \end{array}

　

記号があれでパッとは分かりにくいかもしれませんが

　

x∈α→rank(x)<rank(α)\begin{array}{llllll} \displaystyle \begin{array}{llllll} \displaystyle x&∈&α &&→&& \mathrm{rank}(x)&<&\mathrm{rank}(α) \end{array} \end{array}

　

言ってることはこういうことなので

まあ普通の話です。

　

　

ちなみに sup\mathrm{sup} は『上限』を選択する記号で

　

rank(Vω)=sup{0,1,2,3,4,5,6,...,ω}=ω\begin{array}{llllll} \displaystyle \mathrm{rank}(V_ω)&=&\mathrm{sup}\{0,1,2,3,4,5,6,...,ω\} \\ \\ &=&ω \end{array}

　

この場合の『上限』は ωω ですから

階数は ωω ということになります。

　

　

　

　

　

以上、階数に関してはこんな感じ。

　

　

知らなくても特に問題はありませんが、

ちょくちょく見かけるのでなんとなく覚えておきましょう。

　

　

「集合」の『順序数への変換』

それによる『大小の比較』とか

「基数の定義」とかで使われたりするので。