数学ってそもそもなんなの？

|| まずは結論から

数学とは「正しさを決めていく学問」だ、と言えます。

「決める」ではなく「決めていく」という部分がかなり重要です。

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その大雑把な根拠

数学という学問の目的を確認してみましょう。

といきなり言われても分からないと思いますが、

「論理的な根拠を提示すること」

って感じだと、どうでしょう？

「なにが正しいか」に理由を与えている

と言い換えても良いでしょうが、

ともかく、このような感じだと思われます。

目次

・数学の一般的な印象について

・数学っていったいなんなのか、ざっくりと

・数学のふわっとした全体像

・学校で扱う数学についてざっくりと

・学校で触れない部分をパッと

・まとめ

数学の一般的なイメージ

多くの人が抱く数学のイメージ

その元になっているものの話からしていきましょう。

結論としては、

大別すると、主に↓の2種類がイメージを構成しています。

・学校教育

・マスメディアからのイメージ（テレビ番組など）

より根深いのは学校教育かと思いますので、

そちらをメインに話を進めていきましょうか。

さて、学校で習った数学ですが、どうでしたか？

「面白い」ですか？

「退屈」ではありませんでしたか？

「分かり難く」はありませんでしたか？

はい、つまりはまあ、そういうことです。

一般的にまかり通っている数学のイメージ

というのは、そんなものなんです。

悲しいことですが・・・

はい。とまあそういうわけですが、

まず、これを踏まえた上で話を進めていきます。

数学とはなんなのか

これに関してですが、諸説あります。

とはいえその存在意義を思えば、

そう難しく考える必要はありません。

というのも、

『正しさを決めていく』

ということしかやってないので、

そこを軸にこういうものだ、と言えば、

その認識でだいたい合ってますから。

とはいえ↑の結論に関しては

まだまだ疑問はあるでしょう。

ですが、そう簡単には「否定できない」と思います。

繰り返しますが、

「否定できない」と思います。

んで、「否定できないなら」

ひとまず呑み込んでみてください。

納得できない人もいるかもしれませんが、

実はこの感覚がスタートラインになるので。

ただまあ、一般的なイメージの話をすると、

『数学』に対する印象はよくありません。

（良くないってか、酷い？）

数学とは「難しく」「退屈で」「堅苦しい」

そういうものだと思われています。

実際、学校教育だけを切り取れば、

この認識は否定することができません。

なので、まずはそのイメージに一石を投じるべく、

学校教育に関する数学について、

よく見ていきたいと思います。

ただその前に、

まずは数学のコンセプトをご理解ください。

数学のおおまかな全体像

用語はあまり使わず、

ふわっとした感覚だけを書いていきます。

まず、数学は「簡単」でなければいけません。

そして、数学は「分かり易く」なければなりません。

その上で、数学は「誰が見ても正しく」なければ許されません。

あらゆる分野は、これに沿って発展していきました。

数学のあらゆる分野は、基本的にはこのようになっています。

では、なぜ「難しく」「堅苦しく」感じてしまうのでしょうか。

数学でこれは明らかなコンセプト違反なんですが。

学校教育における数学の印象はなぜ悪い？

結論

肝心な部分をほとんどやっていないから。

「公理」と「定義」の重要性にもあまり触れませんし。

根拠

数学の言語である「一階述語論理」ですが、

その単語一つですら習いません。

内容には軽く触れますが、その中の重要な部分、

意訳だけ教えて、なぜか「量化記号」には触れません。

数学の基礎となる「集合論」もまた、

肝心な部分を習いません。

演算や真理集合に触れるだけで

なぜ「数の成り立ち」に触れないのか。

数学を教えるというのに、

基礎、土台となるこれを教えないのはなぜ？

まだまだたくさんあります。

しかし多すぎるので、ひとまずここまでにしておきましょう。

ともかく何が言いたいのかと言えば、

「難しい」イメージは、学校教育が生み出したということです。

数学そのものに非は無いと、そう私は主張します。

とりあえず、もっと具体的な話に移りましょうか。

これだけではただの抽象的な学校教育批判になりますので。

学校教育が扱う数学の分野について

とりあえずざっと見ていきます。

数学の大分野から見ていきましょうか。

『数理論理学』の論理結合子を少々「数 A など」で。

ただし四大分野についてはまるで触れません。

あくまで極々一部のそのまた一部に触れる程度です。

『数理論理学』は数学の基盤です。

といっても、これにはほとんど触れられません。

別に難しくもなんともないんですけどね。

実用的というと、個人的にはこれが最強です。

「集合論」「証明論」「モデル理論」「再帰理論」の四つ。

この全ての考え方を、私は常日頃から無理なく使っています。

というわけで、次は数学の「三大分野」について見てみましょう。

学校教育ではこちらにばかり触れていますので、

こちらの方が数学のイメージに近いものになるかと。

その一つである『代数学』からは、方程式論から方程式を。

これが学校教育の「全体のほとんど」になります。

数学と言えば方程式というイメージがありませんか？

実際にはほぼほぼ使われない一部の一部の一部なんですけど。

知られていませんが「方程式」という分野は、

応用範囲は広いですが、実はめっちゃ専門的な分野です。

なにせ = という記号は条件がガチガチであまり使えません。

詳しくは別に。

続いて『解析学』からは、微積分学、確率論、統計学を少々。

微積分学を除いて、確率統計なんかは「数 A で終わり」です。

ともかく実用的というと、これをイメージする人が多いかと。

実際実用的ですし、実用というとこれがイメージされやすいです。

ですが、これよりも『数理論理学』の方が遥かに実用性が高いです。

自分の感覚としては、これもまた専門性の高い分野かと。

必要になる知識が多すぎるので。

最後に『幾何学』からは、図形の性質を。

これも学校教育では「かなり多い」部分になります。

といっても、これは幾何学における初等分野に過ぎないのですが。

しかしなぜか、学校教育ではこれをメインにやります。

自分としては専門的過ぎて最低限で良い気がするんですが、

図形の問題を見る機会、なぜかめちゃくちゃ多いですよね。

これも数学のイメージに近いものでしょうか。

最後に数 3,C では、ここに『極限』が含まれてきます。

といっても「量化子」をやらないので、実質やらないんですが。

これは、個人的には使える知識の部類です。

そんなに専門性は高くないんですが、

学校教育ではなんだかやたら難しく扱います。

というのも、ふわふわなまま扱うわけで、

いわゆる実際に何をしてるか分からないけど使う感じです。

身につくはずもないんですが、それでもなぜかやります。

混乱を招くだけなのでいっそやらない方が良いと思いますが、

微積をやる上では必須なのでやるしかないのでしょう。

ならいっそ基礎をやれって話ですが、なぜかやらない不思議。

以上を整理すると、大まかには↓ような感じです。

数 I 「方程式」「図形の性質」が主

数 A 「図形」「確率」「統計」「集合」の触り（もっと増やせ）

数 II 「方程式」「図形」「関数」「微積」が主

数 B 「ベクトル」「数列」についてが主

数 III 「関数」「極限」「微積」が主

数 C 「行列」「図形（特殊）」が主

数学の基礎の基礎になる「数理論理学」はいったいどこ？

見ての通り、というか身に覚えのある通り、

ほぼ『代数学』の「方程式論」と『幾何学』の初等分野です。

専門性が高すぎて応用範囲の狭いこの二つが中心になってます。

「数学」の重要な部分は、ほとんど「数 A」に集まっています。

しかし自分から見て、めちゃくちゃ適当にしかやりません。

基礎をやらないので、あれじゃ応用のしようもないでしょう。

「極限」も重要なのですが「ε-δ 論法」を扱わないなら無駄ですね。

極限はなにを意味しているのかを知らないと扱えません。

それを教えないというなら、やる価値は無いでしょう。

そしてそもそもの話、これらは「基礎」に触れていません。

いわゆる土台無しで建築してる感じ。

そりゃあ崩れるでしょうって話です。

学校数学で触れない部分

結論から行くと、全体像のほとんどをやっていません。

じゃあどれくらいやっていないかというと、

適当な数値ですが、感覚的には「 99 %以上」です。

基礎である『数理論理学』の大分野のほとんどに触れません。

「集合論」も「証明論」も「モデル理論」も「再帰理論」も、

どれをとってもほとんど教えてはいません。

そもそもこの単語に聞き覚えのある方はほとんどいないでしょう。

それも当然です。そもそも習っていないんですから。

三大分野についても、ほとんどやってません。

基礎がすっぽ抜けた状態でふわふわしたまま、

「方程式」「図形」をこねくり回しているだけです。

「数列」も「ベクトル」も「微積」も「極限」も、

「計算」と言えば聞こえは良いですが、

やってることは結局のところ『作業』

なにをしているのか分からないまま、

ただ結果だけを求めているのが実情です。

というのも、

例えば『代数学』では、その主要分野にあたる、

「群論」「環論」「体論」などには触れません。

たまに、掛け算や足し算で入れ替えて良いのか、

というようなことをまとめた記事を見かけますが、

これを扱うのは↑のもので、

そういった記事では、

だいたいこの辺りを理解していないまま、

見当違いなことが書いてあったりします。

よく分かっていない教員も多いイメージですね。

「意味」と「計算で許可されているもの」を分けて、

「意味を重視しなさい」と書かれていないなら、

順番はどう書いても別にいいわけで、

代数学を理解しているのなら、

順番が違うから×をつける

みたいな見当違いなことはしないはず。

しかし実際のところ、

×をつける教員がいたりするので驚きです。

加えて『解析学』に至っては、

そのほとんどの基礎になる分野、

いわゆる長さや面積の意味を整える「測度論」に触れません。

これは「微積」や「確率」「統計」

といった分野の基礎になる分野なんですが、

なぜかやらないんですよね。

俗に言う「 1=2 問題」とか

面白い話なんですが。

『幾何学』に関しても、肝心なことはやりません。

例えば「平行線公準」を無断で適用しているんですが、

なぜか一切それに触れません。

いわゆる「直線」についても曖昧なまま、

空間の歪曲については無視したまま扱います。

せめてどう解釈するのかくらいやっても良いと思うんですが、

それでもなぜか頑なにやりません。

理科でなんとなく

「粒の集合」として図形を考えますが、

この解釈は、本来なら数学でやっておくべきことです。

しかしなぜかやりません。不思議です。

「極限」についても同じことです。

ε-δ論法を扱うこともなく「曖昧」なまま扱います。

なんか名前は厳ついですが、

難しいことは言ってません。

この「論法」は、あくまで考え方です。

しかしその考え方を知らないと、

なにをやっているのか分かりません。

なにをやっているのか分からないのに扱って、

なにを算出しているのか分からないまま答えを出す。

だから、学校教育で扱う「極限」は作業でしかないわけです。

専門用語が多くなってしまいましたが、

要は「土台無しでやっている」わけですね。

そう、つまり「よく分からない」のは当たり前なんです。

寧ろ正常と言って良いでしょう。分かるわけないんです。

なぜなら、そもそも基礎をやっていないのですから。

まとめ、もといお願い

ともかく、まずやって欲しいことは、

「学校教育で培った数学の印象」を捨て去ることです。

あんなのほとんど忘れて良いと思います。どうせ使えません。

ですから、ほんとに一から見ていきましょう。

数学は「難しく」ありません。

数学は「退屈」なものではありません。

数学は「堅苦しい」もの、という部分は一部否定できませんが・・・

ともかく、数学は面白いものだと思います。

だから皆さんにもどうか、数学を好きになってもらいたいんです。

このブログは、そのための情報を提供します。

専門的な話から、興味を持っていただけそうな話題まで、

面白いと思って頂けるようなコンテンツを提供するつもりです。

興味を惹かれたら、是非他の記事も見てやってください。